Математическое моделирование в естественных науках.-1

Для того чтобы иметь представление о производительности конкретного СМО, требуется уметь описывать вероятности состояний системы (т.е. вероятность того, что система перейдёт из одного состояния в другое за промежуток времени t; под состоянием понимается нахождение системы в положении «занято» или «свободно») и определять эффективность работы, что возможно благодаря входным данным (например, производительность одного обслуживающего канала, нагрузка на один канал, среднее время ожидания и т.д.).

Целью работы является составление модели СМО. Данная модель необходима для исследования закономерностей работы СМО, при этом результаты численных экспериментов должны коррелировать с результатами эмпирических экспериментов.

Главной частью работы являются описание вероятностей состояний СМО в конкретный момент времени, а также выведение средних значений производительности и расчёт коэффициентов эффективности, по которым можно определить реальную производительность системы.

При составлении модели необходимо корректно преобразовывать уравнение вероятностей состояний Колмогорова, конечная форма которого зависит от типа СМО. Тип системы – СМО с неограниченной длиной очереди.

Математическая модель была успешно реализована. В результате численных экспериментов были получены следующие параметры: процент необслуженных запросов, время работы каждого канала, время работы всей СМО, коэффициент занятости системы. Полученные в результате расчетов значения с достаточной точностью совпадают с результатами натурных экспериментов, проводимых ранее.

Полученная математическая модель позволяет исследовать СМО путем регулирования различных параметров, таких как время прибытия нового требования, время обслуживания требования, количество каналов и т.д. Так можно получать данные о производительности СМО и делать из этого выводы о работе и эффективности системы.

441

ЧИСЛЕННЫЙ РАСЧЁТ НАПРЯЖЁННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ОБРАЗЦА ИЗ ПОЛИМЕРНОГО КОМПОЗИЦИОННОГО МАТЕРИАЛА ПРИ ПРОВЕДЕНИИ ИСПЫТАНИЙ НА ВИБРОСТЕНДЕ

М.Ю. Шаклеина, П.В. Писарев

Пермский национальный исследовательский политехнический университет Пермь, Россия, Mari.shakleina@mail.ru

В рамках данной работы был произведен расчёт напряженнодеформированного состояния образца для тарировки оборудования.

Ключевые слова: циклическое нагружение, напряжение, вибростенд, композитный образец, тарировка.

При проектировании элементов конструкций авиационных двигателей из полимерных композиционных материалов (ПКМ) необходимо знать широкий спектр их физико-механических свойств, в частности характеристики усталостной прочности. В настоящее время отсутствуют необходимые для прочностных расчетов данные о свойствах ПКМ, применяемых или планируемых к применению в конструкциях современных авиационных двигателях. В связи с этим необходимо проведение циклических испытаний на образцах из используемых материалов.

В рамках данной работы были проведены испытания на вибростенде для определения усталостной прочности образцов из ПКМ с приложением различных нагрузок и определена его усталостная прочность.

Объект исследования – плоский слоистый образец, изготовленный из ткани Porcher 3692 со схемой армирования (0; 45). Технические упругие постоянные углепластика, используемые в численном моделировании, принимались как по результатам испытаний стандартных образцов (для E11, E22, G12), так и по оценочным данным из работ*.

* Технологии и задачи механики композиционных материалов для создания лопатки спрямляющего аппарата авиационного двигателя / А.Н. Аношкин, В.Ю. Зуйко, Г.С. Шипунов, А.А. Третьяков // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. – 2014. – № 4. – С. 5–44.

442

Для проведения эксперимента необходимо произвести тарировку измерительного оборудования. Для тарировки необходимо вычислить максимальное напряжение, возникающее в зоне крепления тензодатчика, и перемещение свободного конца образца при консольном закреплении с грузами различной массы. На рисунке представлен образец с грузом для тарировки измерительного канала.

Для численного определения напряжения были построены геометрические модели образца. Геометрическая модель представляет собой конструкцию, состоящую из 15 слоёв, в каждом слое учтён угол армирования.

Граничные условия для расчёта напряжений принимались следующие: с одного торца модели образца задавалась постоянная нагрузка, равная массе подвешиваемого груза. Перемещения другого торца ограничены во всех направлениях в местах крепления образца. Массы грузов представлены в таблице.

Данные, полученные при расчёте, представлены в таблице.

Рис. Образец для тарировки измерительного оборудования

443

Результаты расчёта в программе ANSYS

Для тарировки оборудования вводим данные из таблицы в программный комплекс «МЕРА», что позволяет измерительному комплексу построить тарировочный график, позволяющий определить истинное значение напряжений на образце при проведении эксперимента.

В ходе проведения вычислительных экспериментов по расчету НДС были получены поля распределения напряжений, перемещений и деформаций для каждого слоя конструкции.

Анализ распределения полей напряжений в направлениях армирования слоев по основе и утку показывает, что они достигают наибольшего значения в окрестности зоны закрепления образца. Максимальные нормальные растягивающие напряжения вдоль основы σ11 = 22 МПа, вдоль утка σ22 = 61 МПа. Максимальные значения нормальных межслоевых напряжений σ33 наблюдаются в районе крепления образца и между первым и вторым слоем составляют σ33 = 41,49 МПа

Максимальное значение напряжений в плоскости армирования τ12 составили 32 МПа. Максимальные значение касательных межслоевых напряжений τ13 и τ23 составили 18 и 4,99 МПа соответственно.

Учитывая характер нагружения, наиболее опасными для данной конструкции являются касательные напряжения τ13

Оценка статической прочности образца из ПКМ проводилась по критерию максимальных напряжений. При модальных нагрузках наиболее опасными в образце из ПКМ являются нормальные межслоевые напряжения. Запас статической проч-

444

ности углепластикового образца определяется этими напряжениями и составляет 1,13. Можно ожидать, что разрушение конструкции начнется в областях концентрации касательных напряжений τ13.

МНОГОУРОВНЕВАЯ МОДЕЛЬ ПОЛИКРИСТАЛЛИЧЕСКИХ МАТЕРИАЛОВ С ОПИСАНИЕМ РЕЖИМОВ УПРУГОВЯЗКОПЛАСТИЧНОСТИ И СТРУКТУРНОЙ СВЕРХПЛАСТИЧНОСТИ

Э.Р. Шарифуллина

Пермский национальный исследовательский политехнический университет,

Пермь, Россия, elvira16_90@mail.ru

Предлагается математическая модель для описания деформирования поликристаллических материалов в режимах упруговязкопластичности и структурной сверхпластичности. При построении модели применяется многоуровневый подход на основе физических теорий пластичности, позволяющий описывать состояние внутренней структуры материала и ее эволюцию, а также физические механизмы за счет введения внутренних переменных на каждом масштабном уровне и формулировки для них эволюционных и замыкающих уравнений. Воснове модели лежит рассмотрение основных физических механизмов деформирования– внутризеренного дислокационного скольжения и зернограничного скольжения, наиболее значимых для описания указанных режимов деформирования. Полученные результаты расчетов иллюстрируют возможности предложенноймодели.

Ключевые слова: многоуровневые конститутивные модели, физические теории пластичности, упруговязкопластичность, структурная сверхпластичность, внутризеренное дислокационное скольжение, зернограничное скольжение.

Сегодня имеется возрастающая потребность в создании моделей, способных описывать как интегральные характеристики процессов термомеханической обработки материалов, так и эволюцию внутренней структуры, от которой зависят физикомеханические свойства. Такие модели позволяют вырабатывать

445

рекомендации по назначению параметров технологических процессов для получения материалов с требуемыми структурой и свойствами. Для перечисленных задач наиболее целесообразно использовать многоуровневые модели на базе физических теорий пластичности [1, 2], в рамках которых возможно комплексное описание процессов деформирования на различных масштабных уровнях с учетом их взаимосвязи, действующих механизмов и эволюции внутренней структуры.

В данной работе предлагается вариант развития ранее разработанных двухуровневых моделей поликристаллических металлов [2] путем описания механизма зернограничного скольжения. В качестве другого основного механизма неупругого деформирования рассматривается внутризеренное дислокационное скольжение. В зависимости от внешних воздействий (приложенных кинематических воздействий и температурно-скоростных условий) и состояния внутренней структуры материала реализация данных механизмов и их вклад в неупругое деформирование являются различными. В частности, зернограничное скольжение достаточно существенно при повышенных температурах и мелкозернистой структуре материала, а также является лидирующим механизмом в режиме структурной сверхпластичности; при этом одной из важных задач является описание взаимодействия зернограничного и внутризеренного дислокационного скольжения.

Разработана статистическая многоуровневая модель, в которой в качестве представительного макрообъема выступают поликристалл, состоящий из различно ориентированных структурных элементов: кристаллитов и границ кристаллитов (представляются как плоские площадки – фасетки) с учетом их взаиморасположения в пространстве. В модели выделяются два масштабных уровня (макро- и мезоуровень) и три структурных уровня: макро- и два низших, один из которых связан с описанием кристаллитов, другой – с описанием границ. Таким образом, модель можно рассматривать как трехуровневую, вводя в структуру двухуровневых (макро- и мезоуровень) моделей [2]

446

промежуточный уровень – уровень реализации зернограничного скольжения [3].

Под внутризеренным дислокационным скольжением понимается смещение одной части кристаллита относительно другой по известным для данного материала плоскостям скольжения путем движения по ним краевых дислокаций. Для определения скоростей внутризеренных сдвигов используется упруговязкопластическое соотношение степенного типа c учетом термоактивируемого движения внутризеренных дислокаций [2]. Закон упрочнения для описания эволюции критических напряжений внутризеренных сдвигов учитывает изменения, связанные с действием внутризеренного движения дислокаций, зернограничного скольжения и температуры.

Полагается, что зернограничное скольжение осуществляется смещением одного кристаллита относительно другого вдоль общей границы. Для определения скоростей зернограничных сдвигов используется упруговязкопластическое соотношение степенного типа c учетом термоактивации механизма зернограничного скольжения. В соотношениях для описания критических напряжений сдвигов, достижение которых необходимо для активации зернограничного проскальзывания, учитываются приток внутризеренных дислокаций, изменение структуры границы при прохождении зернограничного скольжения, а также ее упорядочение, нарушенное притоком внутризеренных дислокаций, и диффузионные процессы [4]. Конститутивные соотношения модели содержат описание температуры и ее изменения в процессе деформирования. Воздействия с макроуровня на элементы нижнего уровня передаются с помощью обобщенной гипотезы Фойгта; для описания отклика представительного объема используется процедура осреднения, основанная на условиях согласования определяющих соотношений соседних уровней [2]. Используется новый способ разложения движения [5]: на нижележащем масштабном уровне спин определяется скоростью поворота подвижной системы координат, связанной с симмет-

447

рийными элементами кристаллита – кристаллографическим направлением и плоскостью; спин макроуровня определяется осреднением спинов кристаллитов, составляющих представительный макрообъем.

Разработан алгоритм реализации модели, проведены численные эксперименты для различных видов нагружения представительного объема поликристалла чистой меди. Полученные результаты, в том числе характеристики изменяющейся внутренней структуры, описывают особенности рассматриваемых режимов деформирования и показывают важность учета обозначенных механизмов для их описания.

Работа выполнена в Пермском национальном исследовательском политехническом университете при поддержке гранта Правительства Российской Федерации (Постановление № 220 от

9 апреля 2010 г.), договор № 14.В25.310006 от 24 июня 2013 г.,

Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 15-08-06866-а).

Список литературы

1.Trusov P.V., Shveykin A.I. Multilevel crystal plasticity models of singleand polycrystals. Statistical models // Physical Mesomechanics. – 2013. – Vol. 16, no. 1. – Р. 23–33.

2.Multilevel models of inelastic deformation of materials and their application for description of internal structure evolution / P.V. Trusov, A.I. Shveykin, E.S. Nechaeva, P.S. Volegov // Physical Mesomechanics. – 2012. – Vol. 15, is. 3–4. – Р. 155–175.

3.Trusov P., Sharifullina E., Shveykin A. Three-level modeling of fcc polycrystalline inelastic deformation: grain boundary sliding description // IOP Conf. Series: Materials Science and Engineering. – 2015. – Vol. 71. – P. 012081. DOI: 10.1088/1757-899X/71/1/012081.

4.Trusov P.V., Shveykin A.I., Sharifullina E.R., Kondratev N.S. Model of polycrystalline inelastic deformation with grain boundary sliding description // Advanced Materials Research. – 2014. – Vol. 1040. – Р. 86–91.

448

5. Трусов П.В., Швейкин А.И., Янц А.Ю. О разложении движения, независимых от выбора системы отсчета производных и определяющих соотношениях при больших градиентах перемещений: взгляд с позиций многоуровневого моделирования // Физиче-

скаямезомеханика. – 2016. – Т. 19, №2. – С. 47–65.

МНОГОУРОВНЕВЫЕ МОДЕЛИ НЕУПРУГОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ ПОЛИКРИСТАЛЛИЧЕСКИХ МЕТАЛЛОВ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ

ДЛЯ ОПИСАНИЯ ПРОЦЕССОВ ТЕРМОМЕХАНИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ

А.И Швейкин

Пермский национальный исследовательский политехнический университет,

Пермь, Россия, alexsh59@bk.ru

Рассмотрены вопросы, связанные с развитием многоуровневых конститутивных моделей поликристаллических материалов, позволяющих описывать изменение структуры и зависящих от ее состояния физико-механических свойств, а также их применением для описания процессов термомеханической обработки. Для описания деформирования с большими градиентами перемещений предложено мультипликативное представление градиента деформации с явным выделением движения подвижной системы координат, которая связывается с элементами материальной симметрии. С использованием этого представления движения сформулированы конститутивные упруговязкопластические соотношения мезоуровня. Предложены двух- и трехуровневые модели поликристаллических металлов и сплавов, учитывающие ключевые механизмы неупругого деформирования: внутризеренное дислокационное скольжение, повороты кристаллических решеток, дробление и фрагментация кристаллитов, зернограничное скольжение. Результаты моделирования различных нагружений представительных объемов металлов и сплавов, в том числе характеристики изменяющейся внутренней структуры, согласуются с экспериментальными данными. По результатам анализа чувствительности разработанных многоуровневых моделей к возмущениям воздействий и параметров моделей отмечена устойчивость моделей к рассмотренным возмущениям. Были созданы алгоритмы решения краевых задач с использованием предложенных моделей материалов на основе метода конечных

449

элементов, разработан комплекс вычислительных программ, с помощью которого исследованы некоторые процессы термомеханической обработки материалов с анализом изменения их структуры и эффективных физико-механических свойств.

Ключевые слова: многоуровневые конститутивные модели, физические теории пластичности, термомеханическая обработка, упруговязкопластичность, большие деформации.

Для совершенствования существующих и разработки новых методов термомеханической обработки с целью получения материалов и изделий с повышенными эксплуатационными характеристиками необходимо построение математических моделей материалов, способных описывать эволюцию структуры при деформировании и учитывать ее влияние на параметры процесса и эффективные свойства материала на макромасштабном уровне. Для этой цели наиболее приемлемым представляется подход к моделированию материалов, основанный на введении в структуру конститутивных моделей внутренних переменных – тензорзначных параметров, характеризующих мезо- и микроструктуру материалов [1–3 и др.], и формулировке эволюционных соотношений для них.

Для реализации данного подхода в последние десятилетия широко используются многоуровневые модели, основанные на физических теориях упруговязкопластичности [4–7 и др.]. Можно выделить три основные группы моделей: статистические, самосогласованные и прямые. В статистических моделях элементы мезоуровня (совокупности или отдельные зерна, субзерна) рассматриваются относительно независимо друг от друга; объединение элементов мезоуровня в элемент макроуровня осуществляется для части характеристик на основе принимаемых гипотез кинематического или статического типа, по остальным характеристикам осуществляется статистическое осреднение. Всамосогласованных моделях на мезоуровне рассматривается поведение отдельных элементов мезоуровня в окружении матрицы материала с эффективными характеристиками, определяемыми итерационным путем

450