Математическое моделирование в естественных науках.-1

Дополнительно был рассмотрен вариант задачи с включением слабого диполь-дипольного взаимодействия между частицами. Это позволило оставаться в рамках описания процесса одним временем релаксации. Обнаруженная ранее зависимость времени от расстояния сохранилась и в этом случае, но магнитное взаимодействие немного (~5–7 %) увеличивало τD .

Моделирование проводилось в пакете ESPResSo [6] на кластере «Уран» ИММ УрО РАН и кластере Института вычислительной физики Университета Штутгарта.

Работа была выполнена при поддержке проекта РНФ

15-12-10003.

Список литературы

1.Roehm D., Arnold A. Lattice Boltzmann simulations on GPUs with ESPResSo // The European Physical Journal. Special Topics. – 2012. – Т. 210, № 1. – С. 89–100.

2.Adhikari, R, Stratford K., Cates M. E., Wagner A. J. Fluctu-

ating lattice Boltzmann // Europhysics Letters. – 2005. – Т. 71,

№3. – С. 473.

3.Fischer L.P., Peter T., Holm C., de Graaf J. The raspberry model for hydrodynamic interactions revisited. I. Periodic arrays of

spheres and dumbbells // Journal of Chemical Physics. – 2015. – Т. 143. – С. 084107.

4.Dünweg B., Ladd A. Advanced Computer Simulation Approaches for Soft Matter Sciences III. – Берлин/Хадельберг: Springer, 2003. – С. 89–166.

5.Coffey W.T., Kalmykov Yu.P. The Langevin Equation With Applications to Stochastic Problems in Physics, Chemistry and Electrical Engineering – Сингапур/Лондон/Нью Джерси: World Scientific Publishing, 2012. – 852 с.

6.Сайт группы разработчиков пакета ESPResSo. – URL: http: //espressomd.org.

511

КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НАНОЧАСТИЦ AU РАЗЛИЧНОЙ ФОРМЫ ДЛЯ СОЗДАНИЯ ИНСТРУМЕНТА ПРОГНОЗИРОВАНИЯ НАИБОЛЕЕ ВЕРОЯТНОЙ ФОРМЫ И ЭНЕРГИИ ЧАСТИЦЫ

А.В. Мышлявцев, А.И. Свалова, П.В. Стишенко

Омский государственный технический университет, Омск, Россия, svalovaai@mail.ru

Методом Монте-Карло моделируются наночастицы Au на размерном диапазоне от 140 до 3000 атомов с шагом в 80 атомов. На основе полученных конфигураций и, опираясь на идеи Вульфа, строится аналитическое приближение зависимости энергии в расчете на один атом от размера и формы наночастицы.

Ключевые слова: алгоритм Метрополиса, наночастица золота, потенциал Саттона–Чена, метод Монте–Карло.

Целью данной работы было создать аналитическую формулу для разработчиков наночастиц различного назначения (катализаторов, сенсоров и др.), позволяющую по размеру предсказать наиболее вероятную стабильную форму наночастицы Au

ипредполагаемую энергию наночастицы.

Вданной работе исследовалась зависимость между фор-

мой и размером для наночастиц Au неидеальной формы, с неполными внешними оболочками, со ступеньками и адатомами на поверхностях. Опираясь на данные работы [1], расчеты проводились на размерном диапазоне от 140 до 3000 атомов, так как именно в этих пределах, вероятно, происходит переход между икосаэдром, декаэдром и кубооктаэдром. На размерном диапазоне были выбраны 36 значений с шагом в 80 атомов. Расчеты проводились с использованием метода Монте–Карло, алгоритмом Метрополиса [2] в рамках решеточной модели на трех типах решеток. Для вычислений использовался квантовый неаддитивный эмпирический потенциал Саттона-Чена (QSC), параметры которого были подобраны [3] таким образом, чтобы получить значение поверхностной энергии с лучшей точностью за счет меньшей точности для упругих констант.

512

Проводилась имитация отжига, т.е. в ходе моделирования проводилось постепенное понижение температуры с 3000 до 300 К, с кратковременным повышением температуры до 2430 К. Всего проводилось 16 вычислительных экспериментов для каждого размера. Из них затем выбиралась наночастица с минимальным значением энергии. Далее проводилась локальная оптимизация в нерешёточной модели для учета релаксации поверхности и внутренних напряжений.

В процессе моделирования рассчитанная энергия наночастицы быстро убывает и достигает плато, на котором и остается в течение всего остального времени моделирования. Такое поведение говорит об эффективности алгоритма и позволяет надеяться на достижение значения, близкого к глобальному минимуму. Полученные значения энергии наночастицы в расчете на один атом убывают монотонно с ростом размера частицы (рис. 1) и стремятся к определенному значению, что соответствует теоретическим ожиданиям. В случае гранецентрированной кубической решетки полученные конфигурации наночастицы с минимальной энергией принимают форму усеченного октаэдра, в случае пятиосевой структуры – форму, близкую к идеальному икосаэдру (это видно на рис. 2). Но так как количество атомов не соответствует «магическим числам», на поверхности возникают дефекты.

Рис. 1. Значения средней энергии наночастицыAu на атом

513

Поскольку зависимости носят монотонный характер, мы решили не проводить расчеты для декаэдра на всем размерном диапазоне, а ограничиться только 6 точками (140, 300, 700, 1340, 2620, 3000). Формы полученных наночастиц приведены на рис. 2.

Рис. 2. Примеры построенных наночастиц для 2860 атомов: a – ГЦК решетка, b – икосаэдрическая решетка,

c – декаэдрическая решетка

Для анализа полученных данных были построены аналитические приближения зависимости средней энергии наночастицы на атом от количества атомов. Мы опирались на идеи Вульфа [4] о том, что вклад основной массы атомов в энергию наночастицы мало отличается от энергии когезии и с ростом частицы средний вклад атома в энергию наночастицы должен стремиться к энергии когезии. Вклад атомов на границе отличается от вклада атомов, расположенных в глубине. На границе частицы можно выделить атомы, находящиеся в вершинах, на ребрах и гранях. Можно считать количество атомов в вершинах константой (не зависит от размера частицы), количество атомов на ребрах имеет линейную зависимость от радиуса частицы, а на гранях квадратичную. Таким образом, используя эту идею, мы построили аппроксимации в виде

514

где ec – коэффициент, соответствующий энергии когезии рассматриваемого металла [3], ef ,ee ,ev – коэффициенты, отражающие

вклады граней, ребер и вершин в среднюю энергию. Коэффициент аппроксимации во всех случаях приближения не менее 0,999, что говорит о хорошем описании полученных зависимостей. Параметр

ec отличается от энергии когезии менее чем на 1,7 % т.е. асимпто-

та аппроксимаций близка к энергии когезии Au. В случае ГЦКрешетки и решетки декаэдра отклонения аппроксимации от рассчитанных данных носят случайный характер. Адля решетки спятиосевой симметрией в форме икосаэдра прослеживаются закономерности: на общем хаотическом фоне в областях, близких кзначениям «магических чисел», полученное методом МонтеКарло значение средней энергии в расчете на один атом опускается ниже, чем построенная аппроксимация. Несмотря на наличие регулярных отклонений для структуры с пятиосевой симметрией, в абсолютном значении отклонения незначительны и практически не заметнынаграфике.

Предполагалось, что на маленьких размерах наночастицы предпочтительнее будет форма в виде икосаэдра, затем в виде декаэдра, и на больших размерах в виде кубооктаэдра. Наш вычислительный эксперимент соответствует этим ожиданиям, но переход от икосаэдра к декаэдру проходит вне рассмотренного размерного диапазона, а переход между декаэдром и кубооктаэдром, вычисленных по построенным аппроксимациям, происходит примерно на 1088 атомах. Разница в энергии между кубооктаэдром и декаэдром невелика, т.е. и на размерах, намного больших, чем 1088 атомов, возможнососуществование этихструктурных мотивов.

Построенное приближение позволит предсказать по размеру наночастицы ее наиболее вероятную форму и энергию, а также строить более сложные модели, например, ансамбли из большого количества наночастиц, рассматривая каждую частицу не как набор атомов, а в комплексе.

515

Данная работа выполнена в рамках государственного задания Минобрнауки России 16.2413.2014/K.

Список литературы

1.Myshlyavtsev AV, Stishenko PV. Relative stability of icosahedral and cuboctahedral metallic nanoparticles // Adsorption. – 2013. – 19. – P. 795–801.

2.Metropolis N., Ulam S. The Monte Carlo method // Journal of the American Statistical Association. – 1949. – Vol. 44. – P. 335–341.

3.Sutton AP., Chen J. Long-range Finnis-Sinclair potentials // Philosophical Magazine Letters. – 1990. – Vol. 61, no. 3. – P. 139–146.

4.Wulff G. Zur Frage der Geschwindigkeit des Wachsthums und der Auflosung der Krystallflachen // Z Kristallogr Mineral. – 1901. – 34. – P. 449–530.

ОБОДНОМПОДХОДЕ КОЦЕНИВАНИЮУРОВНЯСФОРМИРОВАННОСТИ ЗАЯВЛЕННЫХКОМПЕТЕНЦИЙ СТУДЕНТАВУЗА

А.А. Овчинников

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

В представленной работе предлагается подход к оцениванию уровня сформированности компетенции выпускника технического вуза. При оценивании используется агрегирование частных оценок, получаемых студентом в процессе освоения отдельных разделов образовательной программы в рамках текущего, рубежного, промежуточного и государственного итогового контроля.

Ключевые слова: компетенция выпускника, кривая научения, триада ЗУВ, уровни оценивания.

На современном этапе развития высшего профессионального образования возникает необходимость системного оценивания компетенций студентов с целью выявления характера

516

продвижения обучающихся в своем последовательном развитии при освоении образовательной программы (ОП). При этом оценивание уровня сформированности компетенций каждого студента как достигнутых результатов образования при изучении учебных дисциплин и прохождении практических разделов приобретает все большее значение для оценивания успешности реализации образовательной программы вуза.

Компетенция выпускника состоит из нескольких компонентов, под которыми понимается триада ЗУВ: знания, умения, владения – логичный переход от традиционной ЗУНовской (знания, умения, навыки) образовательной модели в сторону практиконаправленности современного обучения. Оценивание компетенций студента заключается в решении ряда сложных задач синтеза частных знаний, умений и владений в комплексные характеристики его общекультурной и профессиональной квалификации.

Части компетенции и её компоненты формируются в процессе изучения различных дисциплин, а также во время практической и самостоятельной работы студента. Следует отметить, что процесс освоения компонентов компетенции является нелинейным, и для каждой дисциплины учебного плана вид этой нелинейности различный, что задаётся так называемой «кривой научения» [1], предоставляемой экспертом, в качестве которого может выступать опытный преподаватель вуза, ответственный за ту или иную дисциплину образовательной программы. «Кривые научения» делятсяна два типа: экспоненциальные илогистические.

Экспоненциальная кривая, представленная на рис. 1, соответствует итеративному обучению и описывается уравнением (1).

Логистическая кривая [2] (рис. 2), в отличие от экспоненциальной, характеризуется наличием начального пологого участка «накопления» учебной информации, после которого происходит резкое увеличение скорости научения, что может быть связано стехнологией обучения, спецификой учебного материала и т.д. Качественно логистическаякриваяописываетсяуравнением(2).

517

где t – время научения, y(t) – уровень наученности в момент времени t, y0 – начальное значение уровня наученности, ymax – конечное значение уровня наученности, γ – некоторая неотри-

цательная константа, определяющая скорость научения, зависящую от характера изучаемого материала и применяемых образовательных технологий.

Рис. 1. Экспоненциальная кривая научения

Рис. 2. Логистическая кривая научения

518

В рамках данной работы была разработана автоматизированная информационная система (АИС), позволяющая оценить уровень освоения образовательной программы студентом в рамках компетентностного подхода. Для реализации АИС был использован паттерн проектирования MVC [9–10] с единым удалённым хранилищем данных. В качестве системы управления базами данных была выбрана PostgreSQL, программный код написан на языке C# [11], для связи объектной модели АИС и модели базы данных была использована ORM технология NHibernate. Разработанная система дает возможность ввода и хранения всей необходимой информации, а также является средством контроля освоения образовательной программы в течение всего процесса обучения. В рамках разработанной системы возможна оценка уровней сформированности отдельных компетенций, их дисциплинарных частей и компонентов, групп компетенций, а также уровня освоения образовательной программы в целом.

Список литературы

1.Новиков Д.А. Закономерности итеративного научения / Институт проблем управления РАН. – М., 1998. – 77 с.

2.Новиков А.М. Процесс и методы формирования трудовых умений: профпедагогика. – М.: Высшая школа, 1986. – 288 с.

3.Приемы объектно-ориентированного проектирования. Паттерны проектирования / Э. Гамма, Р. Хелм, Р. Джонсон, Дж. Влиссидес. – СПб.: Питер, 2001.

4.Тепляков С.В. Паттерны проектирования на платфор-

ме.NET. – СПб.: Питер, 2015.

5.Хейлсберг А., Торгерсен М., Вилтамут С., Голд П. Язык программирования C#. Классика Computers Science. – 4-е изд. – СПб.: Питер, 2012.

519

ОБ ЭФФЕКТИВНОСТИ РЕАЛИЗАЦИИ АЛГОРИТМОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КРИСТАЛЛИЧЕСКОГО РОСТА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ БИБЛИОТЕК PETSС И PETIGA

Е.В. Павлюк1, И.О. Стародумов1, Д.В. Александров1, П.К. Галенко2, А.А. Деревянко3

1Уральский федеральный университет, Екатеринбург, Россия, Evgeny.Pavluk@urfu.ru,

2Университет Фридриха-Шиллера, г. Йена, Германия, 3Киевский национальный университет им.Шевченко, г. Киев, Украина

Работа посвящена анализу производительности реализаций вычислительных методов решения задач кристаллического роста, описываемых моделью кристаллического фазового поля. Реализации алгоритмов используют библиотеки программ PETSc и PETIGA, написанные на языке C, и поддерживают параллельные вычисления. Особенности вычислительного процесса исследовались в ходе многократных экспериментов на кластере. Исследования показали высокую эффективность работы рассматриваемых алгоритмов на мультиядерных вычислительных системах и позволяют рекомендовать PETSc и PETIGA для решения дифференциальных уравнений высших порядков.

Ключевые слова: кристаллический рост, изогеометрический анализ, PETSc, PETIGA, параллельные алгоритмы, производительность

Уравнение кристаллического фазового поля (Phase Field Crystal – PFC) в гиперболической постановке, позволяющее описывать фазовые превращения из неустойчивого или метастабильного состояния, является дифференциальным уравнением шестого порядка по пространству и второго порядка по времени [1, 2]:

где φ – атомная плотность (сохраняющийся параметр порядка); t – время; τ – время релаксации атомного потока к стационарному состоянию, μ представляет химический потенциал:

520