Математическое моделирование в естественных науках.-1

W.D. McCall, D.B. Marx, R. Ohrbach, J.C. Nickel // Orthopedic Reviews. – 2009. – Vol. 1. – P. 90–93.

26.Osseous morphology and spatial relationships of the temporomandibular joint: comparisons of normal and anterior disc positions / R.D. Kinniburgh, P.W. Major, B. Nebbe, K. West, K.E. Glover // Angle Orthodontist. – 2000. – Vol. 70, №1. – P. 70–80.

27.Koolstra J.H. Masticatory muscles. Part III: Biomechanics of the masticatory muscles // Ned. Tijdschr. Tandheelkd. – 1997. – Vol. 104, № 8. – P. 302–305 (in Dutch).

28.Koolstra J.H, van Eijden T.M. Biomechanical analysis of

jaw-closing movements // J. Dent. Res. – 1995. – Vol. 74, № 9. –

P.1564–1570.

29.Koolstra J.H., van Eijden T.M.G.J. A method to predict muscle control in the kinematically and mechanically indeterminate

human masticatory system // J. Biomech. – 2001. – Vol. 34. – P. 1179–1188.

30. A three-dimensional mathematical model of the human masticatory system predicting maximum possible bite forces / J.H. Koolstra, T.M.G.J. van Eijden, W.A. Weijs, M. Naeije // Journal of Biomechanics. – 1988. – Vol. 21, № 7. – P. 563–576.

31.Laboissière R., Ostry D.J., Feldman A.G. The control of multimuscle systems: human jaw and hyoid movements // Biol. Cybern. – 1996. – Vol. 74. – P. 373–384.

32.Association between magnetic resonance signs of temporomandibular joint effusion and disk displacement / D. Manfredini, D. Basso, R. Arboretti, L. Guarda-Nardini // Oral. Surg. Oral.

Med. Oral. Pathol. Oral. Radiol. Endod. – 2009. – Vol. 107. –

P.266–271.

33.Mello C.F. Jr., Saito O.C., Guimarães Filho H.A. Sonographic evaluation of temporomandibular joint internal disorders // Radiol. Bras. – 2011. – Vol. 44, № 6. – P. 355–359.

34.Nordin M., Franke V.H. Basic Biomechanics of the Musculoskeletal System. – 3rd ed. – Philadelphia: Lippincott Williams & Wilkins, 2001. – 496 p.

601

35. Osborn J.W. Features of human jaw design which maximize the bite force // Journal of Biomechanics. – 1996. – Vol. 29,

№5. – P. 589–595.

36.Osborn J.W., Baragar F.A. Predicted pattern of human muscle activity during clenching derived from a computer assisted model: symmetric vertical bite forces // Journal of Biomechanics. – 1985. – Vol. 18, № 8. – P. 599–612.

37.Pedotti A., Krishman V.V., Stark L. Optimization of mus- cle-force sequencing in human locomotion // Mathematical Biosciences. – 1978. – Vol. 38, № 1/2. – P. 57–76.

38.Pérez del Palomar A., Doblaré M. An accurate simulation model of anteriorly displaced TMJ discs with and without reduction // Med. Eng. Phys. – 2007. – Vol. 29, № 2. – P. 216–226.

39.Slavicek R. The masticatory organ: funktions and dysfunktions. – Klosterneuburg: GAMMA Medizinisch-wissenschaftliche Fortbildungs-GmbH, 2002. – 543 p.

40.Throckmorton G.S. Quantitative calculations of temporomandibular joint reaction forces. Part II: The importance of the direc-

tion of the jaw muscle forces // J. Biomech. – 1985. – Vol. 18,

№6. – P. 453–461.

41.The fraction of myosin motors that participate in isometric contraction of rabbit muscle fibers at near-physiological temperature / A.K. Tsaturyan, S.Y. Bershitsky, N.A. Koubassova, M. Fernandez, T. Narayanan, M.A. Ferenczi // Biophys. Journal. – 2011. – Vol. 101, No. 2. – P. 404–410.

42.Van Eijden T.M.G.J., Korfage J.A.M., Brugman P. Architecture of the human jaw-closing and jaw-opening muscles // The Anatomical Record. – 1997. – Vol. 248. – P. 464–474.

43.Anatomically based modelling of the human skull and jaw / N.L. Van Essen, I.A. Anderson, P.J. Hunter, J.B. Carman, R.D. Clarke, A.J. Pullan // Cells Tissues Organs. – 2005. – Vol. 180. – P. 44–53. DOI: 10.1159/000086198.

602

ТОЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ АЛЛЕНА–КАНА: АНАЛИЗ ДВИЖЕНИЯ АНТИФАЗНЫХ ГРАНИЦ

И.Г. Низовцева1,2, П.К. Галенко2, Д.В. Александров1, С.В Вихарев1, А.А. Иванов1, А.П. Малыгин1, И.О. Стародумов1, Е.А. Титова1

1 Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н. Ельцина, Екатеринбург, Россия, 2Университет Йены им. Фридриха Шиллера,

Йена, Германия, nizovtseva.irina@gmail.com

Справедливость моделей гиперболического типа в теории быстрых фазовых переходов была подтверждена при молекулярно-динамическом моделировании эффекта неравновесного захвата примеси быстро движущимися фронтами кристаллизации [7] и при грубо-зёренном осреднении, примененном для получения уравнений фазового поля [8]. Для гиперболического уравнения Аллена–Кана было предложено частное решение ввиде бегущей волны профиля фазового поля, описываемой функцией гиперболического тангенса [9]. К настоящему времени обобщенный набор решений в виде бегущих волн для гиперболического уравнения Алле- на–Кана отсутствует. Поэтому основной целью настоящей работы явилось получение множества точных аналитических решений для гиперболического уравненияАллена–Кана.

Ключевые слова: кристаллизация, фазовые переходы и превращения, затвердевание, математическое моделирование, частные производные, неравновесный захват примеси.

Уравнение Аллена–Кана в частных производных [1] было предложено для анализа движения антифазных границ и далее нашло применение в широком спектре математических и физических прикладных задач [2]. В рамках моделей фазового поля [3] уравнение Аллена–Кана описывает динамику и статику параметра порядка, создавая основу для математического описания задач со свободной границей в процессах фазовых переходов и превращений.

Уравнения в частных производных могут быть эффективно проанализированы с использованием класса аналитических

603

решений в виде бегущих волн [4]. На сегодняшний день один из наиболее удобных и полных аналитических методов получения бегущих волн заключается в использовании метода первого интеграла [5]. Особое внимание в классе уравнений с частными производными уделяется гиперболическому уравнению Алле- на–Кана ввиду его применимости для описания быстрых фазовых переходов [6]:

где φ – фазовое поле (параметр порядка); τR – время релаксации скорости фазового поля; D – константа диффузии фазового поля; Mφ – мобильность фазового поля.

Справедливость моделей гиперболического типа в теории быстрых фазовых переходов была подтверждена при молеку- лярно-динамическом моделировании эффекта неравновесного захвата примеси быстро движущимися фронтами кристаллизации [7] и при грубозёренном осреднении, примененном для получения уравнений фазового поля [8]. Для получения множества точных аналитических решений для гиперболического уравнения Аллена–Кана в работе использован метод первого интеграла [5] и получено решение в виде бегуших волн с его проверкой на существование функций гиперболического тангенса. В результате настоящей работы было получено множество аналитических решений в виде бегущих волн, которые описывают профили фазового поля вдоль направления x в функции гиперболического тангенса:

604

частного решения, использованного в задачах высокоскоростного затвердевания [9]. В предельных случаях показано, что полученные решения для гиперболического уравнения Аллена–Кана включают, как частный случай, найденные ранее решения для параболического уравнения Аллена–Кана [10] на множестве конечного числа функций гиперболического тангенса.

Список литературы

1.Allen S.M., Cahn J.W. A microscopic theory for antiphase boundary motion and its application to antiphase domain coarsening // Acta Metall. – 1979. – 27. – C. 1085–1095.

2.Elliott Ch.M., Songmu Zh. On the Cahn-Hilliard equation // Arch. Rat. Mech. Analysis. – 1986. – 96. – C. 339–357.

3.Provatas N., Elder K., Phase-Field Methods in Materials Science and Engineering // Wiley-VCH. – Weinheim, 2010.

4.Field R.J., Burger M. (Editors). Oscillations and Traveling Waves in Chemical Systems. – Wiley, New York, 1985.

5.Feng Zh. The first-integral method to study the Burgers- Korteweg-de Vries equation // J. Phys. A: Math. Gen. – 2002. – 35. – C. 343–349.

6.Galenko P., Jou D. Diffuse-interface model for rapid phase transformations in nonequilibrium systems // Phys. Rev. E. – 2005. – 71. – C. 046125-1-13.

7.Atomistic simulations of nonequilibrium crystal-growth kinetics from alloy melts / Y. Yang, H. Humadi, D. Buta, B.B. Laird, D. Sun, J.J. Hoyt, M. Asta // Phys. Rev. Lett. – 2011. – 107. – 025505-1-4.

8.Jou D., Galenko P. Coarse graining for the phase-field model of fast phase transitions // Phys. Rev. E. – 2013. – 88. – C. 042151-1-8.

605

9.Solute trapping in rapid solidification of a binary dilute system: A phase-field study / P.K. Galenko, E.V. Abramova, D. Jou, D.A. Danilov, V.G. Lebedev, D.M. Herlach // Phys. Rev. E. – 2011. –

84.– C. 041143-1-17.

10.Tascan F., Bekir A. Travelling wave solutions of CahnAllen equation by using first integral method // Applied Mathematics and Computation. – 2009. – 207 (1). – C. 279–282.

ТРЕХОСНЫЕ ИСПЫТАНИЯ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ГЕОМЕХАНИКЕ

К.Б. Устинов

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН, Москва, Россия, ustinov@ipmnet.ru

Дается описание различных типов оборудования для исследования механического поведения геоматериалов. Особое внимание уделяется установкам истинного трехосного независимого нагружения, позволяющего осуществлять нагружение по трем взаимно перпендикулярным осям. Дается описание подходов к математическому моделированию геомеханических процессовсучетомсвойств, присущихгеоматериалам, такихкакзависимость разрушающих напряжений от величины сжатия, анизотропии деформационныхипрочностныхсвойств.

Ключевые слова: сложное напряженное состояние, фильтрация, трехосное нагружение, неупругость в геоматериалах, модель Друкера–Прагера, анизотропия прочности

Необходимость геомеханических исследований обусловлена потребностями горнодобывающей и нефтегазовой промышленности, а также подземного строительства. Особое значение приобретают вопросы, связанные с добычей трудноизвлекаемых запасов нефти, в частности, из сверхглубоких горизонтов. Основными задачами являются определение свойств материалов для обеспечения устойчивости горных выработок и скважин, а также определе-

606

ние влияния напряженного состояния на фильтрационные свойства пород коллекторовдляобеспечениядобычиуглеводородов.

Лабораторные исследования (наряду с натурными) являются основным источником информации о свойствах пород. Определение механических (упругих и прочностных) свойств осуществляется на образцах породы, взятой непосредственно из горных выработок или скважин (керновый материал). Существует большое количество типов испытательных машин, наиболее распространенными из которых являются одноосные и трехосные прессы. Последние обеспечивают возможность осевого нагружения цилиндрических образцов, обеспечивая при этом дополнительное независимое равномерное поджатие боковых поверхностей. Подобная схема нагружения носит название схемы Кармана. Нагружение при этом являетсядвухпараметрическим [1].

Существенно расширить спектр экспериментов позволяет использование установок истинно трехосного нагружения [2–7]. Подобные установки достаточно редки, каждая из них практически уникальна. В установках данного типа исследуются образцы кубической формы, нагружение которых осуществляется независимо по трем взаимно перпендикулярным осям.

К установкам данного класса относится ИСТНН – испытательная система трехосного независимого нагружения, созданная в Институте проблем механики Российской академии наук [7]. Данная установка позволяет нагружать кубические образцы с гранью 40 или 50 мм независимо по каждой из осей как в режиме контроля силы, так и в режиме контроля перемещения по заранее заданной программе нагружения, с возможностию измерения проницаемости вдоль одной из осей в процессе нагружения.

Установки данного типа позволяют не только определять деформационные и прочностные свойства, но и осуществлять прямое физическое моделирование, т.е. воссоздавать напряженное состояние, наиболее приближенное к тому, которое испытывают породы в месте их залегания при применении различных технологических процессов [8, 9].

607

Следующим этапом исследования является математическое моделирование механических процессов, протекающих во время различных технологических операций, осуществляемое обычно с помощью пакетов конечно-элементных программ. Особенностью моделирования поведения геоматериалов является необходимость учета их специфических свойств, таких как зависимость разрушающих напряжений от величины сжатия, анизотропии деформационных и прочностных свойств, влияние процессов фильтрации на изменение напряженно-деформиро- ванного состояния, влияние напряженного состояния на изменение фильтрационных свойств.

Работа выполнена при финансовой поддержке Программы фундаментальных исследований Президиума РАН П-14.

Список литературы

1.Jaeger J.C., Cook N.G.W., Zimmerman R.W., Fundamentals of rock mechanics, Malden, Mass. – Oxford: Blackwell, 2007.

2.True Triaxial Testing of Rocks / Eds: M. Kwasniewski, X. Li, M. Takahashi. – CRC Press. Balkema. – 384 p.

3.Mogi K Effect of the intermediate principal stress on rock failure // J. Geophys. Res. – 1967. – Vol. 72. – P. 5117–5131.

4.Алексеев А.Д., Норель Б.К., Стариков Г.П. Механические испытания образцов угля на установке трёхосного сжатия // Физико-технические проблемы разработки полезных ископае-

мых. – 1983. – № 1. – С. 106.

5.New method for true-triaxial rock testing / W.R. Wawersik, L.W. Carlson, D.J. Holcomb, R.J. Williams // Int J Rock Mech Min Sci. – 1997. – Vol. 34. – P. 330

6.Haimson B. True Triaxial Stresses and the Brittle Fracture of Rock, Rock Damage and Fluid Transport. Part I: Part of the series Pageoph Topical Volumes. – P. 1101–1130.

7.Karev V.I., Kovalenko Yu.F. Triaxial loading system as a tool for solving geotechnical problems of oil and gas production.

608

True Triaxial Testing of Rocks. Leiden: CRC Press. Balkema, 2013. – P. 301–310.

8.О разрушении осадочных горных пород в условиях сложного трехосного напряженного состояния / Д.М. Климов, В.И. Карев, Ю.Ф. Коваленко, К.Б. Устинов // Изв. РАН. МТТ. – 2016. – № 5. – С. 15–21.

9.Модель фильтрации в скважину с учетом зависимости проницаемости от напряжений / В.И. Карев, Ю.Ф. Коваленко,

А.Б. Журавлев, К.Б. Устинов // Процессы в геосредах. – 2015. –

№4 (4). – С. 35–44.

СТРУКТУРНО-ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА РАЗРУШЕНИЯ НЕОДНОРОДНОЙ ПЛАСТИНЫ

ПРИ КВАЗИСТАТИЧЕСКОМ ОДНООСНОМ РАСТЯЖЕНИИ

Д.В. Шавкун, А.В. Зайцев

Пермский национальный исследовательский политехнический университет,

Пермь, Россия, disaa2103@mail.ru

Разработаны структурно-имитационная модель процесса разрушения неоднородной пластины при квазистатическом одноосном растяжении и итерационная процедура пошагового нагружения. При проведении вычислительных экспериментов макроразрушение регистрировалось вмомент выполнения перколяционного условия, которое соответствовало разделению пластины на части, которые потеряли связность. Исследованы смена стадий структурного разрушения и закономерности зарождения, развитияивзаимодействиядефектов.

Ключевые слова: одно- и многослойная имитационная модель, неоднородная пластина, пошаговое нагружение, стадии разрушения, условие макроразрушения.

Процессы структурного разрушения неоднородных тел при квазистатическом нагружении имеют многомасштабный и многостадийный характер и являются причиной появления различного роды эффектов неупругого деформирования [1–10].

609

Разработаны однослойная и многослойная имитационные модели процесса накопления повреждений в тонкой неоднородной пластине, которая представлялась в виде совокупности квадратных элементов структуры, прочно скрепленных на границах раздела и не изменяющих геометрию и взаимное расположение в процессе разрушения. Прочностные постоянные элементов структуры предполагались случайными, распределенными по равномерному, логарифмически нормальному законам распределения и закону Вейбулла. В рамках разработанных моделей предполагалось, что перераспределение напряжений при повреждении элемента структуры происходило в пределах одного слоя (однослойная модель) и в пределах двух ближайших слоев (нижнего и верхнего). Разработан метод учета концентрации напряжений, вызванных появлением отдельных дефектов на удалении от внешних границ пластины и выходящих на границы; кластеров и макродефекта. Влияние боковых внешних границ моделировалось заданием условий периодичности и условия типа «отражения». Для двух разработанных моделей (однослойной и многослойной) записаны выражения, позволяющие вычислить напряжения в каждом элементе структуры, не потерявшем способность сопротивляться внешней нагрузке.

Разработана итерационная процедура пошагового нагружения, имитирующая проведение эксперимента на одноосное растяжение. На основе подходов теории перколяции сформулировано условие макроразрушения (появление связности во множестве разрушенных элементов) и разработан алгоритм, позволяющий зарегистрировать этот момент при проведении вычислительных экспериментов.

Проанализировано влияние количества слоев, в пределах которых происходит перераспределение напряжений, и типа закона распределения случайных пределов прочности на характер накопления повреждений в процессе одноосного растяжения неоднородной пластины. Определены закономерности местной и общей локализации разрушения, смены стадий процесса накопления повреждений. Проведено исследование влияния мас-

610