Математическое моделирование в естественных науках.-1

возрастания нагрузки. Из рисунка видно, что до момента появления первой трещины собственные частоты остаются практически неизменными. При изгибающем моменте 4,4 кН·м появляется первая трещина шириной раскрытия менее 0,5 мм. С этого момента начинается активный процесс образования трещин в бетоне. На тоновом изображении этой стадии соответствует резкое уменьшение собственных частот.

Для трех выделенных собственных частот (2,069, 3,904, 4,798 kHz) зарегистрированные изменения частот на интервале от начала нагружения до момента прорастания трещин через все сечение балки составили соответственно 7,2, 13,7 и 18,7 % (таблица). Обнаруженные в эксперименте особенности изменения собственных частот, связанные с развитием трещин в бетоне, нашли подтверждение в численном моделировании. Решение последовательности задач о колебаниях балки с трещиной в центральном сечении, увеличивающейся по мере возрастания изгибающего момента, позволили оценить соответствующие изменения собственных частот. В таблице для одного из этапов нагружения (изгибающий момент М = 5,0 кН·м) показаны изменения Δν трех выделенных значений собственных частот ν, накопленные к данному моменту от начала нагружения. Сравнение расчетных и экспериментальных данных свидетельствует об их хорошем соответствии.

Накопленные изменения собственных частот (изгибающий момент М = 5,0 кН·м)

Подробное изучение полученных диаграмм на начальных стадиях деформирования показывает, что хотя видимых изменений в бетоне еще не наблюдается, изменения собственных час-

571

тот уже начинаются, но составляют не более 0,5 % от первоначального значения. Таким образом, в процессе нагружения балки четко выделяются два этапа. На первом реализуется неконсервативный процесс деформирования, признаки которого еще визуально не наблюдаются, но при достаточной чувствительности регистрирующей аппаратуры могут быть зарегистрированы. На втором этапе происходит активное развитие зародившихся трещин и образование новых, что сопровождается резким уменьшением собственных частот. Очень важно, что граница перехода от одного этапа к другому хорошо регистрируется. Именно эта граница и может служить признаком начала активного процесса трещинообразования.

В последнее время широко применяется технология усиления железобетонных конструкций лентами из композиционного материала на основе углеродных волокон. Разработанный метод вибродиагностики позволил проанализировать деформационное поведение железобетонной балки, усиленной углепластиком, и оценить эффективность данного способа усиления. Анализ спектра собственных частот такой балки позволил установить, что можно четко увидеть резкие изменения собственных частот в момент формирования как первичных трещин, так и трещин, формирующихся при нагружении балки, прошедшей процесс реставрации, а также идентифицировать стадию полной утраты несущей способности бетона.

Совокупность осуществленных экспериментально-теоре- тических исследований позволила разработать общий алгоритм вибродиагностического анализа трещинообразования железобетонных конструкций. Эти результаты могут быть использованы для организации автоматизированных систем деформационного мониторинга железобетонных конструкций.

Работа выполнена за счет средств гранта Российского научного фонда (проект № 14-29-00172).

572

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДЕФОРМИРОВАНИЯ ТКАНЫХ КЕРАМО-КЕРАМИЧЕСКИХ КОМПОЗИТОВ ПОЛОТНЯНОГО ПЛЕТЕНИЯ С ЛОКАЛЬНЫМИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМИ ДЕФЕКТАМИ

Д.В. Дедков, А.А. Ташкинов

Пермский национальный исследовательский политехнический университет,

Пермь, Россия, denis.v.dedkov@gmail.com

Разработана математическая модель деформирования слоя тканого керамо-керамического композита с поликристаллической матрицей, описывающая сложную геометрию полотняного плетения и контакт с трением между искривленными нитями армирующего каркаса, а также наличие локальных технологических дефектов. Получены численные решения краевых задач для фрагментов слоя тканых композитов, определены эффективные упругие модули, проведена оценка влияния типа локальных технологических дефектов на поля напряжений, деформаций и их инвариантов в матрице и волокнах, армированных тканями полотняного плетения материалов с поликристаллической матрицей при различных сложных макроскопически однородных на- пряженно-деформированных состояниях.

Ключевые слова: тканый композит с искривленными волокнами, поликристаллическая матрица, локальный технологический дефект, эффективные упругие модули, коэффициенты концентрации напряжений, механизмы начального разрушения.

Керамо-керамические тканые композиты с поликристаллической матрицей получили широкое распространение в авиа- ционно-космической технике. Отличительными особенностями процесса изготовления готовых изделий из этих материалов являются раскрой и выкладка на оправку слоев ткани с искривленными волокнами (полотняной, сатиновой, саржевой), а также прошивка этих слоев между собой. Армирующий каркас насыщается поликристаллической матрицей, в результате чего происходит одновременное создание самого элемента конструкции и материала, из которого он изготовлен. При производстве изделий из тканых композитов неизбежны технологические дефекты, снижающие эксплуатационные свойства изделий. Типичны-

573

ми локальными дефектами являются пропуск волокон основы или утка, разрывы нитей армирующего каркаса при прошивке слоев, обнаруживающиеся только на этапе выходного ультразвукового контроля элементов конструкций. Гарантированное обеспечение наличия в этих участках поликристаллической матрицы (при осаждении из газовой фазы или при карбонизации полимеров после пропитки под давлением, вакуумирования и доуплотнения каркаса), матрицы на основе терморасширенного графита (после прокатки слоев фольги) или керамики затруднено. Это связано с тем, что образующийся на поверхности нитей слой осаждаемого материала препятствует дальнейшему насыщению каркаса.

Применение тканых композитов для изготовления элементов конструкций ответственного назначения, работающих в условиях многократно изменяющихся внешних нагрузок в течении длительного срока эксплуатации, предопределяет необходимость проведения уточненного анализа механического поведения слоев этих материалов с локальными дефектами при сложном напряженно-деформированном состоянии. Проведена оценка влияния сложной геометрии армирующего каркаса и локальных технологических дефектов (пропуск нити основы, разрыв основы и утка, внутренняя технологическая пора) на коэффициенты концентрации напряжений в слое композита полотняного плетения (саржа 1/1 с равными рапортами по основе и утку), которые были получены при помощи разработанной ранее двухуровневой модели тканого материала с искривленными волокнами и поликристаллической матрицей [1–3]. Выбор полотняного переплетения обеспечил наиболее короткие перекрытия нитей, наибольшую прочность, плотность и повышенную жесткость, однородную, геометрически идентичную с лицевой и изнаночной стороны поверхность ткани. Армирующая ткань была образована волокнами круглого поперечного сечения постоянного диаметра, а толщина слоя композита соответствовала материалу с коэффициентами ар-

574

мирования по 0,14 в двух взаимно ортогональных направлениях, принадлежащих плоскости слоя. Искривление нитей основы и утка задавалось дугой окружности с центральным углом π4 (неизменным при нагружении слоя) и отрезком прямой.

Моделирование произвольного нагружения слоя тканого композита, волокна и матрица которого полагались изотропными, линейно упругими, не изменяющими геометрию, взаимное расположение и тип симметрии, в своей плоскости проводилось на основе численных решений краевых задач методом конечных элементов с помощью открытой интегрируемой платформы SALOME-MECA. Степень дискретизации выбиралась таким образом, чтобы полученные значения деформаций и напряжений в слое идеальной периодической структуры и с локальными технологическими дефектами ни качественно, ни количественно не изменялись при уменьшении характерных размеров конечных элементов. Для фрагмента слоя идеальной периодической структуры этим условиям удовлетворяли сетки с 298255 10-уз- ловыми тетраэдральными и 77760 20-узловыми гексаэдральными элементами.

Для верификации разработанной модели проводилось сравнение численного и аналитического решения задач по нахождению эффективных свойств слоя тканого композита идеальной периодической структуры. Вычисление эффективных упругих модулей осуществлялось при помощи разработанного расширения платформы SALOME–MECA, выполненного в виде подключаемого модуля на языке Python с возможностью реализации многопроцессорных параллельных вычислений. Многопроцессорность достигалась с помощью пакетов Parallel Python и MPI4PY, продемонстрировавших одинаковые результаты линейного кратного уменьшения временных затрат на проведение операций с плавающей точкой [4]. Полученные значения эффективных модулей Юнга в направлении нитей основы и утка не превышают значений, рассчитанных по приближенным аналитическим формулам [5] на 3,5 %.

575

С помощью платформы SALOME-MECA и разработанного модуля, расширяющего ее возможности по обработке больших массивов данных, получены численные решения краевых задач о макрооднородных напряженно-деформированных состояниях слоя тканого композита полотняного плетения и определены значения безразмерных коэффициентов концентрации напряжений, вызванных наличием локальных технологических дефектов при наличии гарантированной прослойки матрицы вокруг нитей армирующего каркаса, а также контакта с трением. Эти безразмерные коэффициенты были введены [1–3] как отношение компонент тензора напряжений в слое модельного тканого композита с локальным технологическим дефектом к соответствующим компонентам в слое материала идеальной периодической структуры.

Было обнаружено, что при наличии пропуска волокна основы, разрыва волокна основы или одновременного разрыва волокон основы и утка может произойти разрушение матрицы по механизмам сдвигов в плоскости слоя. Если в технологическом процессе изготовления элемента конструкции из тканого композита были предусмотрены операции насыщения материалом матрицы полостей, образованных дефектами, то безразмерные коэффициенты концентраци напряжений снижались в 1,3–1,9 раза.

Работа выполнена в рамках задания № 2015/152 на выполнение государственных работ в сфере научной деятельности в рамках базовой части госзадания Минобрнауки РФ (код проекта 1911).

Список литературы

1. Дедков Д.В., Зайцев А.В., Ташкинов А.А. Концентрация напряжений в слое тканого композита с закрытыми внутренними технологическими порами // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Ме-

ханика. – 2011. – № 4. – С. 29–36.

576

2.Дедков Д.В., Ташкинов А.А. Коэффициенты концентрации напряжений в слое тканого композита с локальными технологическими дефектами при чистом формоизменении // Вычислит. механика сплошных сред. – 2013. – Т. 6. № 1. – С. 103–109.

3.Дедков Д.В., Зайцев А.В. Концентрация напряжений

вслое тканого композита с локальными дефектами при двухосном однородном равнокомпонентном деформировании // Вестник Самар. гос. техн. ун-та. Сер. Физико-математические нау-

ки. – 2013. – № 4 (33). – С. 66-75.

4.Дедков Д.В., Зайцев А.В., Ташкинов А.А. Эффективные упругие модули тканого композита полотняного плетения с локальными технологическими дефектами // Известия Самар. науч.

центра. – 2014. – Т. 16. № 4 (3). – С. 526–530.

5.Тарнопольский Ю.М., Жигун И.Г., Поляков В.А. Про- странственно-армированные композиционные материалы: справочник. – М.: Машиностроение, 1987. – 224 с.

СТАТИСТИЧЕСКИЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ СЛУЧАЙНОЙ СТРУКТУРЫ, ПОЛЕЙ НАПРЯЖЕНИЙ И ДЕФОРМАЦИЙ В СПЕЧЕННЫХ ПОРОШКОВЫХ КОМПОЗИТАХ

А.В. Зайцев, В.С. Кокшаров, Ю.В. Соколкин

Пермский национальный исследовательский политехнический университет,

Пермь, Россия, KoksharovVS@gmail.com

Разработан метод аналитического построения условных и безусловных многоточечных моментных функций стохастической структуры, случайных полей напряжений и деформаций порошковых спеченных композитов. Сформулированы и доказаны теоремы о знаке производных условных и безусловных моментных функций структурных полей напряжений и деформаций второго порядка в точках, соответствующих нулевым значениям аргументов, и о локальной изотропии искомых случайных полей.

Ключевые слова: спеченные порошковые композиты, стохастическая структура, условные и безусловные моментные функции.

577

Микроструктура спеченных порошковых композитов предопределяет их физико-механические свойства. Как правило, исследование микроструктуры, проводимое на образцах микрошлифов, связано с определением некоторых скалярных структурных параметров: среднего размера неоднородности, объемной концентрации фаз, текстурного угла, определяющего преимущественную ориентацию зерен. Выбор технологических параметров при производстве порошковых композитов (измельчение с целью получения заданной исходной морфологии порошка и механолегирование, смешивание, уплотнение и спекание) влияют на разброс размеров, форму, совместного расположения элементов структуры в объеме материала и, как следствие, на его свойства. Недостаточная информативность скалярных величин при определении закономерностей внутренней случайной структуры материала привела к необходимости использования аппарата статистических многоточечных моментных функций.

На основе доказанных теорем о геометрическом смысле условных вероятностей [1, 2] предложен новый метод аналитического построения многоточечных моментных функций случайной структуры 2D (однонаправленных волокнистых) и 3D (дисперсно-упрочненных) армированных композитов матричного типа, который позволяет записать выражения в виде рядов с конечным числом членов. В рамках разработан-

функций различных порядков, позволивший исследовать такие

фект самоорганизации) и периодических составляющих в случайных полях структуры 2D и 3D армированных композитов матричного типа [3–9], 2D и 3D высокопористых материалов. Получены значения производных условных и безусловных моментных функций второго и третьего порядков случайной

578

структуры композитов в точках, соответствующих нулевому значению аргументов, которые, как было показано, определяются отношением мер, связанных с межфазной границей и исследуемым фрагментом. Сформулированы и доказаны теоремы о знаке искомых производных и о локальной изотропии случайных полей структуры [1, 2].

Программная реализация алгоритмов на основе разработанного метода, а также сконструированных на основе комплексного применения аппарата кластерного и вейвлет-анализа процедур идентификации и классификации фаз позволила вычислить значения моментных функций до третьего порядка включительно, определить стохастические закономерности модельных и реальных случайных структур спеченных порошковых композитов, а также сформулировать новый критерий определения характерных размеров представительных объемов для этих материалов. Отличительными особенностями (по сравнению с существующими аналогами) разработанного метода и алгоритмов являются независимость от шага, взаимосвязи симметрий сетки и формы, типа и текстуры исследуемых элементов случайной структуры композитов, возможность в рамках одного метода построить не только условные, но и безусловные моментные функции различных порядков, а также возможность использования методов многопроцессорных вычислений для реализации высокоэффективных параллельных вычислений.

В рамках полидисперсных моделей для 2D и 3D композитов матричного типа из решения вспомогательных задач получены соотношения для условных и безусловных моментных функций второго порядка полей напряжений и деформаций [10], определены закономерности взаимодействия в ансамбле частиц, если внутри фрагмента спеченного порошкового композита можно выделить области, в пределах которых структурные напряжения и деформации постоянны. Проведены обобщения на новый класс неоднородных материалов – спеченных порошковых композитов, сформулированы и доказаны

579

следующие теоремы об общих свойствах случайных полей напряжений и деформаций.

Теорема 1. Производные условных и безусловных моментных функций второго порядка случайных полей напряжений и деформаций в 2D и 3D спеченных порошковых материалах в точках, соответствующих нулевому значению аргумента, отрицательны, их значения не зависят от направления, в котором ведется построение этих функций, и координационного числа случайной структуры, а величина обратно пропорциональна суммарному периметру (площади) межфазных границ, легирующих включение – матрица.

Теорема 2. Случайные поля напряжений и деформаций в 2D и 3D неоднородных спеченных порошковых материалах локально изотропны в приближении «малых расстояний».

На основании полученных результатов сделаны выводы о том, что искомые производные могут рассматриваться в качестве одного из возможных критериев для верификации и отбраковки существующих и разрабатываемых моделей, используемых при построении приближенных решений стохастических краевых задач механики неоднородных материалов. Кроме того, вопросы влияния законов распределения легирующих элементов, характерных размеров и формы зерен на статистические характеристики случайных полей напряжений и деформаций в спеченных порошковых композитах требуют дополнительного исследования.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант РФФИ № 15–01–08678).

Список литературы

1. Зайцев А.В. Моментные функций второго порядка случайной структуры однонаправленно армированных волокнистых композитов // Вестник УГТУ–УПИ. Механика микронеоднородных материалов и разрушение. – 2006. – № 12. – С. 63–69.

580