Статистика и анализ геологических данных

Величина п — 1 , которая содержится как в формуле (3.7), так и в формуле (3.8), требует некоторого пояснения. Дисперсия определяется как среднее значение квадратов отклонений от среднего. Однако, имея дело лишь с выборкой, мы не знаем ис­ тинного среднего значения совокупности р, но можем оценить

его с помощью выборочного среднего X, которое вычисляется так, чтобы минимизировать квадраты отклонений от него. Иначе

говоря, операция Х = — £]Xi дает значение X, для которого

. 2 № — X) 2 имеет минимальное значение среди всех возможных значений, которые могли бы быть выбраны. В силу этого свой­ ства выборочного среднего оценка дисперсии будет занижена.

22 (Xi— X)2

зуем в качестве знаменателя в формуле для выборочной диспер­ сии п — 1 , увеличивая таким образом оценку дисперсии.

Вычисление этих величин можно показать на примере гео­ химических данных по содержанию хрома в глинистых сланцах, приведенных в табл. 3.1. Переписав эту таблицу так, чтобы она содержала столбец квадратов, получим табл. 3.2.

Допуская, что содержания хрома распределены приблизи­ тельно по нормальному закону, можно ожидать, что около двух третей значений расположено в пределах 198—246 млн-1. Ана­ лиз таблицы показывает, что три значения из пяти, т. е. 60%, действительно попадают в этот интервал.

Процедуру вычисления оценок дисперсии и стандартного от­ клонения можно легко запрограммировать для вычислительной машины. Программа 3.2 предназначена для вычисления оценок дисперсий и стандартных отклонений по выборке любого объема.

ляются числа, содержащие семь знаков. Эта тенденция к возник­ новению в процессе вычисления очень больших чисел приводит иногда к возникновению затруднений в ЭВМ, приспособленных для работы с числами, содержащими мало значащих цифр. Это также приводит к возникновению трудностей при выводе дан­ ных, если поля формата недостаточно широки для того, чтобы вмещать числа, которые должны быть напечатаны.

Для большинства геологических исследований характерно, что на каждом изучаемом объекте измеряется более одной пере­

менной. В качестве примеров можно привести результаты изме­ рений коллекции кораллов, последовательности проб из ряда скважин или же определения параметров пород в коллекции об­ разцов песчаника. Такие данные обычно записываются в виде таблицы порядка пХш, где п — число наблюдений, а ш — число изучаемых переменных. Так, например, полные анализы, из кото­ рых извлечены данные табл. 3.1, содержат 17 переменных. Если мы рассмотрим только три из них, а именно содержания никеля, ванадия и хрома, то получим табл. 3.3. Для каждого столбца можно подсчитать соответствующие суммы и оценить среднее значение и стандартное отклонение. Необходимо отметить, что различные переменные, измеренные на одном и том же объекте, обычно обладают тенденцией к согласованному изменению. Пе­ ременные, которые не имеют связи друг с другом, называются взаимно независимыми; это значит, что увеличение или умень­ шение одной переменной не сопровождается заранее предсказуе­ мым изменением другой переменной. Так как переменные могут не быть независимыми, то нужно ввести некоторую меру их вза­ имной связи.

Т а б л и ц а 3.3

Вычислительные процедуры, используемые для вычисления | оценки дисперсии одной переменной, можно расширить для вы­ числения меры взаимной изменчивости пары переменных. Эта мера, называемая ковариацией, является характеристикой сов­ местного изменения двух переменных по отношению к их общему среднему значению. Это соотношение показано на фиг. 3.8, где изображены формы поверхностей распределения вероятностей, порожденных двумя кривыми нормального распределения.

ГЛАВА 3

Фиг. 3.8. Совместное вероятностное распределение двух независимых нор­ мальных случайных величин.

шанных произведений. Связь величины SPjk с суммой квадратов

Чтобы закончить анализ геохимических данных, приведенных в табл. 3.3, остается вычислить дополнительно три величины. Это оценки ковариаций для хрома и ванадия (COV13), никеля и ва­ надия (СОУгз) и дисперсию ванадия (s^). Следуя процедурам,!

использованным при построении табл. 3.4, вычислите величину (COVis).

Т а б л и ц а 3.4

Вычисление оценки ковариаций между хромом (X]) и никелем (Х2)

SP12 = 152 000 - Ш Ё> i 675>. =, 2150

О

COVi2 = — — 537,5

Вычисление оценок ковариаций можно легко запрограммиро­ вать по общей схеме, указанной в программе 3.2 (VAR). Однако сначала нам надо прочитать два множества наблюдений, вычис­ лить две промежуточные суммы, две суммы квадратов и сме­ шанных произведений. Программа 3.3, BICOV, предназначена для вычисления оценки ковариации по двум рядам наблюдений переменных, каждый из которых содержит п значений. Исполь­ зуя эту программу, вычислите остальные оценки ковариаций (COV13 и СОУгз); по ней можно оценить также дисперсии со­ держаний, включая последнюю дисперсию (sij). Эти величины

заполнят таблицу порядка 3X 3 оценок ковариаций геохимиче-

Фиг. 3.9. Диаграмма рассеяния двух переменных с высоким коэффициентом ковариации.

Д и сп ерси я X i р ав н а 5,7, д и сп ерси я Х 2 р а в н а 7,1, к о эф ф и ц и ен т к овар и ац и и р авен 5,9.

ских данных. На фиг. 3.9 приведена диаграмма совместного рас­ пределения двух переменных, которые тесно связаны и имеют довольно высокое значение ковариации. Распределения двух пе­ ременных, изображенные на фиг. ЗЛО, имеют те же дисперсии, что и приведенные на фиг. 3.9, но являются независимыми одно от другого, о чем свидетельствует относительно низкое значение ковариации. Интерпретация значений оценок ковариаций должна проводиться таким же образом, как и дисперсий, но при этом следует помнить, что рассматриваемые значения не слишком со­ держательны, так как они зависят от единиц измерения.

Для оценки степени взаимной связи между переменными, не зависящей от единиц измерения, используется коэффициент кор­ реляции г, который представляет собой отношение ковариации двух переменных к произведению их стандартных отклонений:

COVjk

(3.16)

rjk SjSk

Так как коэффициент корреляции является отношением, то эта величина безразмерная. При этом ковариация может рав­ няться, но не может превышать величины произведения стан­ дартных отклонений рассматриваемых переменных. Поэтому ко-

1— I— I— I— I— I— I— I— Г

Фиг. ЗЛО. Диаграмма рассеяния двух переменных, имеющих низкую ковариа­ цию.

Д и сперси и X i и Х 2 т ак и е ж е, к а к на ф и г. 3.9. К оэф ф и ц и ен т ковари ац и и р авен —2,3.

эффициент корреляции принимает значения в интервале от — 1 до + 1 . Если коэффициент корреляции равен + 1 , это указывает на прямую линейную связь между двумя переменными. Если же коэффициент корреляции равен —1 , это указывает на то, что одна переменная изменяется в противоположном направлении по отношению к другой. Между двумя упомянутыми крайними случаями находится спектр менее сильных связей, включающий случай равенства коэффициента корреляции нулю, что указы­ вает на полное отсутствие любого типа линейных зависимостей.

На фиг. 3.11, а изображена ситуация, когда сильная корреля­ ция между переменными очевидна и коэффициент корреляции почти равен +1,00. Менее явная корреляция изображена на фиг. 3.11,6. В этом случае коэффициент корреляции равен только + 0,54. Положение точек на фиг. 3.11, в определено по таблице случайных чисел, и поэтому значения двух переменных совсем не имеют связи друг с другом, о чем свидетельствует коэффи­ циент корреляции, близкий к нулю. Отрицательная корреляци­ онная зависимость с коэффициентом корреляции, равным —0,90, изображена на фиг. 3 .1 1 , г, которая иллюстрирует тот случай, когда одна переменная уменьшается, в то время^как другая уве­