Статистика и анализ геологических данных

и сумму квадратов, соответствующую «чистой» случайной компо­ ненте ( S S P E ), которые разбивают сумму квадратов отклонений на две части. В случае пар повторных наблюдений мы можем найти величину SS PE по формуле

Эта величина имеет одну степень свободы для каждой точки, а остаточная сумма квадратов S S L F находится путем вычита­ ния, так же как и ее число степеней свободы:

удастся осуществить более точно. Можно также использовать более двух повторений Yi для каждого значения Хь но при этом вычисление величины S S P E становится несколько более слож­ ным. Эти и другие усовершенствования описаны в книгах по регрессионному анализу Ли [15], Дрейпера и Смита [8], и мы не будем останавливаться .на них более подробно.

Схема модифицированного дисперсионного анализа приве­

ния. В нашем случае мы сделали это для всех точек, и поэтому к равно у , так как половина наблюдений Yi дублирована.

Т а б л и ц а 5.11

Дисперсионный анализ в случае простой линейной регрессии с повторением. Число наблюдений Yi равно п; число точек, в которых сделаны повторные измерения, равно к

аКритерии качества приближения,

бКритерии соответствия модели.

Мы отмечали, что величина SS D является мерой дисперсии вокруг регрессии плюс некоторое смещение, которое может воз­ никнуть из-за выбора неподходящей модели, и поэтому среднее значение квадратов S S LF является оценкой только этого сме­

Если вычисленное значение критерия попадает в критиче­ скую область, то мы должны сделать вывод, что построенная модель не отвечает действительности. Если проверка не приво­ дит к отклонению модели, то обе оценки дисперсий можно сло­ жить ( M S L F + M S P E = M S D ) и оценить качество аппроксимации, как мы делали это раньше. Вычислите F -отношение и дополните табл. 5.11, а затем определите, является ли эта простая линей­ ная модель достаточно хорошей. На фиг. 5.9 изображены четыре возможные ситуации для двух характеристик, одна из

которых — соответствие модели, а вторая — качество аппрокси­ мации.

После вычисления F -критерия для проверки соответствия модели выборочным данным вы можете прийти к выводу, что

произведений элементов строк и столбцов с заданными номе­ рами. Имея в виду значение Х°, мы определяем элемент Ац как 2 1 * 1 = п; другие элементы верхней строки получаются умно­ жением 1 на соответствующий столбец. Например, элемент А43 матрицы равен 2 Х 3 *Х2= 2 Х 5. Напомним, что при умножении показатели степени складываются, т. е. Ха -Хь= Х а+ь.

Вычисление нелинейного приближения к данным по методу наименьших квадратов с помощью вычислительной машины сравнительно просто. Сначала данные считываются и записы­ ваются в память машины. После этого ряд предложений, вво­ димых в машину, приводит к нахождению сумм степеней, необ­ ходимых для заполнения матрицы, которую мы назовем 1 2 X]. Для удобства выполнения этой операции сначала вычисляется верхняя строка матрицы ( 2 X], а затем производится перекрест­ ное умножение этой строки на единичный вектор-столбец, что дает полную матрицу. Перекрестное умножение осуществляется с помощью использования двух циклов DO, индексы которых соответствуют индексам элемента Хц в матрице (2 Х ]. Эта операция выполняется по схеме

]

СTHESE STATEMENTS CREATE INITIAL VECTOR XP (1) = 1,0

105 □ CONTINUE

Здесь IORD1 имеет значение 1+ш , где m — максимальная степень полиномиального уравнения. В результате получаем матрицу, входящую в матричное уравнение, решение которого дает коэффициенты аппроксимирующего многочлена, в част­ ности коэффициент Ь0. Для этого необходимо построить вектор соответствующей степени и осуществить перекрестное умноже­ ние для всех п наблюдений. К счастью, современные вычисли­ тельные машины требуют для этих целей мало времени даже при больших объемах массивов наблюдений при условии, что максимальная степень аппроксимирующего полинома невелика, например меньше десяти. Время, требуемое для вычисления матрицы [2 X J, увеличивается прямо пропорционально числу данных точек и пропорционально квадрату числа коэффициентов.

Как только матрица получена, соответствующее ей матричное уравнение можно решить с помощью подпрограммы, аналогичной программе 4.9. Эта программа выдает коэффициенты регресси­ онного уравнения, полученного по методу наименьших квадратов.

Необходимо отметить, что обычно экспериментатор хочет получить некоторую дополнительную информацию, и поэтому в программу вводятся дополнительные предложения, которые повторно вызывают исходный массив данных. Для каждого значения Yi, используя метод наименьших квадратов, получаем

желательно получать значения Yi, Yi и Yi — Yi последовательно; если хранить их в массиве в порядке появления, то их можно распечатать с помощью подпрограммы программы 4.2. Вели­

и подбираемой линии часто бывает очень полезным, так как позволяет проникнуть в структуру данных, которую нельзя изу­ чить только на основе статистических соображений. Программы построения графиков являются наиболее трудными для нович­ ков в программировании, так как требуют сложных предложе­ ний формата и вывода. Подпрограмма PLOTER (программа 5.4)' позволяет нанести на график две переменные в зависимости друг от друга. Используя ее вместе с предложениями, порож­

дающими значения Yi для последовательности значений Xj, мы построим линию наименьшего квадратичного отклонения. Ее также можно использовать для нанесения на график исходных данных, отклонений или различных комбинаций последних. Вывод автоматически производится в масштабе 25x25 см.