Статистика и анализ геологических данных

тях слоя ила и медленно убывает, почти стабилизируясь, в осадке вблизи основания слоя. Рассмотрим теперь различные способы исследования и записи неявных соотношений между этими наблюдениями.

Значение 47,75, указанное на фиг. 5.5, — среднее содержание влаги в пробах — представляет собой точку, относительно ко­ торой дисперсия минимальна, т. е. минимальна сумм-а квадра­ тов отклонений содержаний влаги относительно этой точки. Чи­ татель должен помнить (см. гл. 3), что если некоторые пробы вызывают сомнение, то их можно заменить несмещенной и эф­ фективной оценкой выборочного среднего, которое является наилучшим предсказанием для дополнительных проб, которые могут быть извлечены из той же совокупности. Однако ясно, что среднее значение не может адекватно представлять данные фиг. 5.5. Пробы отбирались последовательно, и потому они не являются независимыми. Еще более, чем точечная оценка, нам подошла бы прямая линия, которая выразила бы связь между содержанием влаги и глубиной на всем множестве изме­ нения значений переменных. Интуитивные соображения под­ сказывают нам, что в качестве такой линии можно было бы выбрать прямую, отклонения которой от данных значений можно было бы свести до минимума. Если рассуждать по ана­ логии со средним, то один из способов состоит в минимизации суммы квадратов отклонений от прямой. (Среднее — это значе­ ние, относительно которого дисперсия и, следовательно, сумма квадратов отклонений, является наименьшей.) Мы можем по­ строить единственную прямую, относительно которой дисперсия минимальна. Если значения этой линейной функции в данных точках вычесть из соответствующих наблюдаемых значений, то полученная совокупность будет иметь нулевое среднее значение и меньшую дисперсию, чем набор отклонений от любой другой прямой, построенной по данным точкам.

Имеется, однако, несколько способов определения и измере­ ния отклонений от подбираемой линии. Например, мы можем рассмотреть отклонения значений влажности, отклонения глу­ бин или некоторую их комбинацию. На фиг. 5.6 отрезок А изоб­ ражает отклонение содержаний влажности от подобранной пря­ мой, а отрезок С — отклонение значений глубины от той же прямой. Отклонение В измерено по перпендикуляру к ней. Можно было бы построить прямые, используя любой из этих способов измерения отклонений, но мы ограничимся лишь за­ мечаниями по поводу каждого из этих способов. Если наша задача будет заключаться в минимизации отклонений содер­ жаний влаги, то мы получим прямую, представляющую наилуч­ шую оценку влажности при заданных глубинах. Наоборот, если задача будет состоять в минимизации отклонений глубин, то мы

тренда, которую мы хотим построить, определим некоторые тер­ мины. Изучаемая переменная является зависимой (т. е. функ­ цией) или регрессионной и обозначается Yi. Отклонения Yi от прямой линии должны быть минимальными. Другая перемен­ ная является независимой (или аргументом) и обозначается Хь Пусть аппроксимирующая прямая пересекает ось Y в точке Ьо и имеет угловой коэффициент bi. Тогда ее уравнение имеет вид

где — оценка для Yi при данном значении Хь Тогда рассмат­

риваемое отклонение равно Yi — Yi, и наша задача сводится к нахождению такой прямой, для которой сумма квадратов от­ клонений

Получение окончательного результата требует применения дифференциального исчисления, поэтому мы не будем рассмат­ ривать доказательство, а ограничимся тем, что приведем так

формулам (5.12) и (5.14), будут одинаковыми. Наоборот, если сумма квадратов (5.14) будет меньше, то разность

Если для имеющихся данных прямая хорошо подобрана, то это отношение будет близко к единице; ниже мы рассмотрим критерии, позволяющие судить о том, насколько хорошо это от­ ношение характеризует качество оценки. Величину R2 нередко выражают в процентах. Та же терминология принята в тренданализе, который, как мы увидим, является прямым обобщением этого метода. Необходимо отметить, что квадратный корень из R2 равен множественному коэффициенту корреляции R:

V s s x • s S y

Таким образом, при нахождении уравнения прямой, харак­ теризующей зависимость влажности осадка от глубины, по ме­ тоду наименьших квадратов мы вычислили различные вели­ чины, необходимые при определении сумм квадратов, качества приближения и коэффициента корреляции. Вычислите величины S S T , SS R , SSD , R2 и R д л я данных табл. 5.7.

Программу построения уравнения линейной регрессии легко составить по приведенной серии уравнений. Ее главными со­ ставными частями являются операции нахождения сумм квадра­ тов и смешанных произведений X и Y, а также запись этих данных в виде матрицы порядка 2 x 2 с последующим реше­ нием системы уравнений. Последнюю задачу можно реализо­ вать с помощью подпрограммы, аналогичной подпрограмме SLE

(программа 4.9). Подпрограммы READM (программа 4.1) и PRINTM (программа 4.2) можно использовать для ввода и вы­ вода данных матриц и матриц сумм квадратов и смешанных произведений. Кроме нахождения коэффициентов уравнения

регрессии, с помощью этой программы можно вычислить ожи- /S

даемые значения переменной (Y) и различные суммы квадра­ тов, а также коэффициент корреляции. Используя программу 5.3, LINFIT, найдите статистики, указанные в табл. 5.7, а также проведите расчеты для данных табл. 5.10.

Совершенно очевидно, что прямая линия не всегда хорошо аппроксимирует данные даже в случаях высокой корреляции. Плохое приближение возникает как следствие ряда причин, среди которых следует отметить высокую дисперсию зависимой переменной (чрезмерный разброс данных), а также выбор не­ подходящей модели. В этом примере мы склонны подозревать последнее, так как расположение исходных данных наводит на мысль, что для аппроксимации более пригодна кривая, а не пря­ мая линия. Ниже мы рассмотрим нелинейную аппроксимацию. Однако прежде нам придется изучить статистические критерии, применяемые для проверки предположения, что данные подчи­ няются некоторым заданным требованиям.

Если Yi — случайная переменная, которой соответствует не­ который интервал изменения переменной Xj, мы можем пред­ положить, что имеющиеся данные подчиняются следующей тео­ ретической модели:

где i — номера последовательных наблюдений. Величина е яв­ ляется случайной нормально распределенной величиной с нуле­ вым средним и неизвестной дисперсией а2, не зависящей от величин Yi. Иными словами, предполагается, что наблюдаемые значения Yi являются суммами постоянной величины, называе­ мой средним значением (если Yi и Xi отсчитываются от своих средних значений, то р0 равно нулю), линейной функции от Xi и случайной компоненты, или отклонения е. Это соотношение изображено на фиг. 5.8. Предполагается, что для каждой точки линии регрессии существует нормальное распределение частот возможных значений переменной Yi. Применяя метод наимень­ ших квадратов и используя выборочные коэффициенты регрес­ сии, вычисленные по формулам (5.9), (5.10), мы можем оценить параметры регрессии [(т. е. параметры р0 и Pi в формуле (5.20)]. Если сделанные нами ограничения выполнены, то метод наи­ меньших квадратов даст нам оценки максимального правдопо­ добия параметров регрессии Ь0 и Ьь и построенная линия регрессии будет ближе к истинной прямой регрессии, чем лю­

бая другая прямая. Если построенное линейное уравнение является удачной регрессионной моделью, то дисперсия ошибки равна дисперсии относительно линии регрессии. Наоборот, если модель выбрана неудачно, то дисперсия относительной прямой регрессии будет больше, чем дисперсия величины е.

СPROGRAM 5 - 3

D ( I , I ) * A ( 1 , 1 )

D ( I , 2 ) - A ( I , 2 )

D ( I , 3 ) » C ( I ) + C ( 2 ) * D ( I • I ) D ( I , 4 ) » D ( I , 2 ) - D ( I , 3 )

1 0 3 C O N T IN U E

C A L L P R I N T M ( D , N , 4 , I 0 0 , 4 ) W R IT E ( 6 , 1 0 0 4 )

с

Можно использовать полученные суммы квадратов для вы­ числения оценок дисперсий, которые в свою очередь можно ис­ пользовать для проверки двух альтернатив. В частности, S S D используется как оценка дисперсии относительно линии регрес­ сии. Мы можем получить адекватную оценку а2 только в том случае, если проведем измерения Yi для каждой точки Хь так как это единственный путь, который позволяет оценить значе­ ние дисперсии Y независимо от дисперсии X. Однако значение S S R дает оценку дисперсии а 2 в том случае, если наша модель правильна. В том случае, если наша модель неправильна, это значение превосходит а2 на некоторое положительное число. Используя S S R , можно провести дисперсионный анализ, приво­ дящий к отклонению нулевой гипотезы в любом из двух слу­ чаев, либо когда изменчивость наблюдений слишком велика для того, чтобы сделать надежные выводы, либо если постули­ рованная нами модель неверна. В табл. 5.8 приведена схема дисперсионного анализа.

Т а б л и ц а 5.9

Результаты дисперсионного анализа, проведенного для определения значимости регрессии, характеризующей зависимость содержания воды в осадке от глубины

Так как мы имеем дело с бесповторной схемой анализа, то

вышающих F = 5,99. Вычисленное значение критерия попадает в критическую область, поэтому мы должны отклонить гипотезу о том, что дисперсия относительно линии регрессии не отли­ чается от дисперсии, полученной по наблюдениям. Однако, даже несмотря на то что существует значительный линейный тренд,

В 50 футах от первой скважины в илистых отложениях устья реки была пробурена вторая скважина. Содержания воды в пробах из этой скважины образуют последовательность из­ мерений Yi, позволяющих оценить а2. В результате мы можем определить, является ли слабая корреляция между содержа­ нием воды в осадке и глубиной следствием сильного разброса данных или результатом непригодности уравнения, выбранного в виде модели. Данные по второй скважине приведены в табл. 5.10. Нанесите эти точки на график и сравните полу­ ченное распределение с распределением, соответствующим дан­

ным табл. 5.7.

Данные табл. 5.7 можно объединить вместе с данными табл. 5 .1 0, после чего построить уравнение регрессии по всем наблюдениям. Вычисления величин S S T, SS R и SS D проводятся так же, как и раньше, только теперь число наблюдений удвои­ лось. Так как сейчас у нас в распоряжении имеются новые наблюдения, мы можем подсчитать сумму квадратов, возникаю­ щую из-за недостаточной точности аппроксимации (S S LF),