Статистика и анализ геологических данных

Глава 4 МАТРИЧНАЯ АЛГЕБРА

Эта глава посвящена матричной алгебре. Большинство мето­ дов, которые мы рассмотрим в следующих главах, основано на операциях с матрицами, часто выполняемыми вычислительными машинами. Особое внимание мы уделим математическим опера­ циям, которые лежат в основе анализа поверхностей тренда, ме­ тода главных компонент, дискриминантного анализа и др. Вы­ числительные процедуры, связанные с этими методами, почти невыполнимы без вычислительных машин в связи со сложностью и Многократностью производимых вычислений. С помощью же матричной алгебры их можно представить в доступном и сжатом виде. Таким образом, если читатель владеет основами матрич­ ной алгебры, то он сможет понять основные процедуры, которые мы рассмотрим ниже.

К сожалению, большинству геологов при обучении не препо­ дают курс матричной алгебры, несмотря на то что этот не труд­ ный предмет, по-видимому, более полезен, чем ряд других мате­ матических курсов. Курс матричной алгебры в колледжах обычно насыщен многочисленными теоремами и их доказатель­ ствами. Такое изложение непригодно для этой короткой главы, и мы ограничимся только теоремами, которые нам потребуются в последующем изложении. При этом предпочтение будет отдано не Доказательствам, а примерам.

Матрица

Матрица — это набор чисел, расположенный в прямоугольной таблице. Именно такими таблицами мы пользовались в гл. 2 . В Матричной алгебре таблица рассматривается не как набор от­ дельных элементов, а как единое целое, что приводит к значи­ тельным упрощениям ряда процедур и зависимостей. Как уже отвечалось во второй главе, отдельный элемент матрицы обычно обозначается буквой с приписанными внизу индексами.

Элементами матрицы могут быть дисперсии и ковариации, ре­ зультаты наблюдений, коэффициенты системы уравнений и про­ сто любые числа.

Так, например, в гл. 3 требовалось вычислить оценки диспер­ сий и ковариаций для содержаний микроэлементов, приведенных в табл. 3.3. Полученные результаты можно представить в виде следующей матрицы:

или ||Х||.

В этой книге мы будем применять квадратные скобки и обо­ значать отдельные элементы матрицы заглавными буквами с ин­ дексами, например Хц. Вообще в литературе встречаются и такие условные обозначения, как [Хц], [Х]ц, или эквивалентные грече­ ские буквы, как %ij. Символ Хц — означает элемент i-той строки

то Хзз=9, Xi3= 7 , Хг1 = 2 и т. д. Если число столбцов равно числу строк, то матрица называется квадратной, а ее элементы, ин­ дексы которых равны (т. е. i = j) , называются диагональными элементами. В вышеприведенной матрице характеристик распре­ деления микроэлементов диагональными являются дисперсии со­ держаний. Все остальные элементы — ковариации. В следующей матрице диагональные элементы равны соответственно 1, 5 и 9. Чаще всего встречаются квадратные матрицы, но неквадрат­ ные тоже нередки, несмотря на то что операции с ними подчи­ нены строгим ограничениям. Особенно часто используются две формы неквадратных матриц: вектор-строка, т. е. матрица по­ рядка lX m , и вектор-столбец, т. е. матрица порядка m x l.

Очень часто приходится иметь дело с двумя типами квадрат­ ных матриц. Это симметричная матрица, в которой Xij=Xji, как,

Добывается три основных типа глины: один применяется для приготовления бурового раствора, другой — в качестве литейной глины и последний используется как лекарственное и космети­ ческое средство, для керамических целей и др. Все эти данные можно записать в виде матрицы порядка 3X 3 [А]:

'105 63 5'

IAJ = 218 80 2

220 76 1

Продукцию, добытую в следующем году, также можно оха­ рактеризовать матрицей [В]:

’ 84 1 02 4*

Аналогично изменение добычи можно представить как раз­

Отметим, что положительные элементы матрицы [В}— [А] со­

( [А]+ [В]) + [С ]= [А]+ ( [В ]+ [С]). Порядок матриц при вычита­ нии, конечно, существен.

Матричное сложение и вычитание можно легко запрограмми­ ровать для ЭВМ, используя таблицы с двумя входами. Чтобы избежать многократного повторения инструкций по вводу и вы­ воду данных и повторной записи предложений на формате в ка­ ждой программе этой главы, мы представим каждую матричную

операцию в виде подпрограммы, которую можно будет использо­ вать в случае необходимости. Ввод и вывод данных может вы­ полняться с помощью специальных подпрограмм, выполняющих только эти задания. Таким образом, в этой главе представлена небольшая библиотека программ работы с матрицами. Подпро­ граммы создаются в расчете на возможные изменения порядка матриц. Конкретные значения порядка матрицы принимаются в списке параметров оператора CALL. Главная программа, есте­ ственно, должна содержать предложение DIMENSION, описы­ вающее массив, порядок которого достаточен для размещения

строк, а М — число столбцов. Матрица читается построчно, при­ чем в строке пробивается не более десяти отверстий (если М > >10, то каждая строка матрицы занимает две карты). Число строк и столбцов должно быть задано до чтения матрицы. Форма представления данных на носителе определяется предложением,

описывающим формат.

Программа 4.2 — это подпрограмма PRINTM для записи мат­ рицы на устройство построчной печати. Ограничения в этом слу­ чае такие же, как и в программе 4.1. Матрица печатается бло­ ками по 10 столбцов, дополнительные столбцы записываются во

втором блоке.

Программа 4.3 — это подпрограмма, называемая ADDM, предназначенная для сложения двух матриц. Все три упомяну­ тые подпрограммы можно вызвать краткой главной программой, приведенной ниже, которая прочтет и сложит матрицы [А] и [В], а затем получит и напечатает матрицу [С]. Составьте короткую программу, использующую эти подпрограммы, и попробуйте

Подпрограммы CMULT и CDIV (программы 4.5 и 4.6) пред­ назначены для выполнения операций умножения и деления эле-

C( I f J ) = A ( I f J ) / B

101C O N T IN U E

10 0 C O N T I N U E

RETU R N

END

Программа 4.6. Подпрограмма CDIV

ментов матриц на константу. Они в точности соответствуют ра­ нее разработанным программам и могут быть включены для ис­ пользования в библиотеку программ.

Умножение матриц

Вспомним задачу с бросанием монеты, рассмотренную в гл. 3, где вычислялась вероятность появления последовательности гер­ бов после ряда бросаний, если вероятность выпадения герба при одном бросании равна 1/2. Вероятность выпадения трех гербов при трех бросаниях равна 72 * 72 - 72, или 1/23- Аналогичную за­ дачу можно сформулировать при изучении литологической ха­ рактеристики стратиграфического разреза. Предположим, что

при изучении разреза в нем выделены три литологические разно­ видности пород: песок, сланец, известняк. Каждый погонный фут разреза можно отнести к одному из перечисленных типов. В итоге можно построить матрицу частот доявления каждого типа пород в разрезе вслед за другими типами:

Эта матрица называется матрицей переходных частот и по­

сланцем 41 раз, повторение известняка встречается 51 раз, а за песком — только 2 раза.

Чтобы получить из этих частот вероятности, нужно разделить каждый элемент матрицы на сумму элементов соответствующей строки. Таким образом мы получим матрицу переходных вероят­ ностей, приведенную ниже, которая содержит вероятности собы­ тий, заключающихся в том, что, порода одного типа следует за породой другого типа:

В

в анализе временных рядов. Теперь же нас интересует матрица вероятностей, аналогичных вероятностям в задаче о бросании монеты.

Так же как и в задаче о бросании монеты, где мы определили вероятность выпадения последовательности гербов с помощью возведения в степень вероятности выпадения герба при одном бросании, мы можем определить вероятность появления опреде­ ленных последовательностей пород в заданном интервале. Для этого достаточно возвести в степень матрицу переходных вероят­ ностей, и полученная после п таких перемножений матрица ве­

Однако для выполнения этой операции нужно знать правила перемножения матриц.

Самая простая форма матричного умножения — это умноже­ ние двух квадратных матриц [А] и [В] одинакового порядка, произведение которых снова является квадратной матрицей [CJ. При этом удобно располагать матрицы следующим образом:

[В].

[А] [результат].

Чтобы получить значение элемента Су, нужно умножить каж­ дый элемент i-й строки матрицы [А] (начиная слева) на соот­ ветствующий элемент j-ro столбца матрицы [В], начиная сверху. Для получения искомого элемента Су все эти произведения сум­ мируются. Ниже на примере двух матриц показана последова­ тельность операций при матричном умножении:

Сначала умножим Ац на Ви и в результате получим 1:

Далее, умножая А12 на В21, получаем 1 2 :

Наконец, умножая А13 на В31, получаем 35:

Значение элемента Си представляет собой сумму трех вы­ численных значений 1 + 12+ 35=48. Последовательность этих операций изображена на приведенной ниже диаграмме. Отме­ тим, что каждый элемент Су произведения матриц получается в результате умножения и последовательного сложения произ­ ведений элементов i-й строки матрицы [А] на элементы j-ro столбца матрицы [В}.