Статистика и анализ геологических данных

средним значением совокупности, в данном случае проверяется гипотеза, имеющая следующий вид:

Но : P'1 = Р2.

Проверяемая гипотеза заключается в том, что среднее значе­ ние совокупности, из которой взята первая выборка, равно сред­ нему значению совокупности, из которой взята вторая выборка.

Множество альтернатив для гипотезы Hi •* Pl ф Р2

утверждает, что средние значения двух совокупностей не равны. Снова мы должны задать уровень значимости, и пусть он будет равен а=0,10 . Теперь статистический критерий имеет следующий

вид:

где Sp — оценка стандартного отклонения совокупности, получен­ ная по двум объединенным выборкам. Эту оценку можно вы­

числить по формуле

где индексы соответствуют выборкам, взятым из пород впадины Бигхорн и бассейна реки Уинд. Для того чтобы оценить дис­ персию исходной совокупности, из которой были взяты обе вы­ борки, нужно сначала оценить дисперсию каждой выборки, а за­ тем, комбинируя их, получить требуемое значение s p по формуле

(3.24). Эта процедура требует оценки дополнительных парамет­ ров [ о \ ; так же как и а \), а также вычисления дополнитель­

ного числа степеней свободы v—tii+tii 2. Является ли разли­ чие между двумя средними значимым при десятипроцентном

уровне значимости?

Так как табличные значения двустороннего критерия с 18 сте­ пенями свободы, соответствующие десятипроцентному уровню

что две изучаемые выборки взяты из совокупностей, имеющих разные средние значения.

Для того чтобы применять этот критерий, необходимо выпол­ нить следующие условия. Во-первых, обе выборки должны быть получены на основании процедуры случайного выбора. Во-вто­ рых, значения случайных величин в совокупностях, из которых были извлечены выборки, должны описываться нормальным рас­ пределением. В-третьих, дисперсии этих совокупностей должны быть равны. Выполнение первого условия в большинстве геоло­

щение (как в том случае, когда измерения пористости произво­ дятся только в образцах, взятых из продуктивных зон или неф­ тяных полей), может явиться серьезным источником ошибок. Конечно, проверку гипотезы о нормальности распределения зна­ чений признака изучаемой совокупности можно провести, так как одно отклонение от нормальности редко приводит к изме­ нению результатов, в особенности если выборочная совокупность достаточно велика (скажем, больше 30). Третье условие — ра­ венство дисперсий двух совокупностей — очень важно, так как почти все статистические критерии основаны на предположении о равенстве дисперсий сравниваемых совокупностей. К счастью, это предположение легко проверяется.

F -критерий

Критерии для проверки гипотезы о равенстве дисперсий осно­ ваны на так называемом F -распределении Фишера. Это теорети­ ческое распределение отношения

S2

двух выборочных дисперсий для выборок, извлеченных из нор­ мальных совокупностей при условии, что истинные дисперсии равны.

Вполне естественно, что выборочные дисперсии в случае, ко­ гда число наблюдений, используемое для их вычисления, мало, меняются от испытания к испытанию в довольно широком диа­ пазоне. Поэтому вид F -распределения изменяется с изменением объема выборки. Это снова заставляет нас учитывать степени свободы, но в данном случае F -распределение зависит от двух значений v, каждое из которых соответствует одной из двух оце­ нок дисперсий F -отношения. Так как F -статистика является от­ ношением двух положительных чисел, то ясно, что случайная величина F не может принимать отрицательных значений. Если выборка велика, то при условии равенства истинных значений дисперсий среднее значение отношения будет близко к 1,0.

ции льда. СУ ^ с^ иУкоочаСтицы попадают в снег из воздуха, припути, к0Т°Рымио^ пй концентрации микрочастиц в снегу на зем-

Т а б л и ц а 3.12, б

Критические значения F-распределения с V| и Vj степенями свободы для 2,5%-ного уровня значимости (а=0,025) [10]

/

в табл. 3.13. Можно ли считать обе выборки извлеченными из одной и той же совокупности и приводят ли результаты испыта­ ний к подтверждению или опровержению идеи об атмосферной однородности?

Предполагая, что выборки были взяты без смещения и что распределение микрочастиц подчиняется нормальному закону на всем протяжении снеговых полей, проверим сначала гипотезу о равенстве дисперсий по двум выборкам. Используя формулу (3.25), запишем нулевую гипотезу и альтернативу:

Используя критерий(3.23). запишем соответствующую нулевую гипотезу и альтернативу.

Т а б л и ц а 3.13 Концентрация микрочастиц в талой воде

дисперсий. Если дисперсии и средние окажутся неразличимыми, т. е. нулевая гипотеза не может быть отклонена на основании выборочных данных, то нет и статистических оснований считать, что средние концентрации микрочастиц на двух изучаемых пло­ щадях соответствуют различным совокупностям. С другой сто­ роны, если хотя бы один из двух критериев приводит к отклоне­ нию нулевой гипотезы, то вопрос об атмосферной однородности можно поставить под сомнение. Более того, если критерий (3.25) приведет к отклонению гипотезы о равенстве дисперсий, то и при­ менение критерия (3.23) в нашей задаче теряет смысл. Прибли­ зительные критерий, аналогичные описанному в работе Гюн­ тера [7], применимы для проверки гипотезы о равенстве средних в условиях неравенства дисперсий, но они мало помогают при решении данной задачи.

Дисперсионный анализ

До сих пор мы рассматривали только методы сравнения двух выборок, тогда как существует еще ряд задач, касающихся групп наблюдений. Предположим, например, что мы получили пять образцов песчаника с кальцитовым цементом. Каждый из них обладает своими литологическими особенностями: в одном бросается в глаза его крупнозернистость, другой характеризуется наличием глинистых частиц, третий слабо ожелезнен и т. д. Мы хотим определить, одинаковы ли в них содержания карбоната.

Для решения этой задачи можно использовать один из статисти­ ческих методов, называемый дисперсионным анализом.

В общем виде этот метод основан на разделении общей дис­ персии изучаемой совокупности на компоненты, соответствующие источникам изменчивости, а применяемые критерии позволят одновременно изучить различия как в средних значениях, так и в дисперсиях.

Экспериментальный подход к этой задаче заключается в дро­ блении образцов на более мелкие части и определении содер­ жания карбоната в каждой из них путем взвешивания после об­ работки кислотой. Каждая мелкая часть называется повторе­ нием. Цель, которую мы преследуем, разбивая первоначальный кусок на части,— определение изменчивости, вызванной погреш­ ностями взвешивания. Очевидно, что если изменчивость между повторными определениями для одного образца велика по срав­ нению с различиями между образцами, то последние трудно об­ наружить,

Предположим, что мы разбили исходный образец на шесть частей и собираемся проанализировать каждую из них. Наблю­ даемые изменения возникают по ряду причин: из-за колебаний состава внутри исходного образца, из-за небрежности в получе­ нии повторных наблюдений (остатки одного травления могут быть промыты более тщательно, чем остатки другого), из-за из­ менения условий взвешивания (повторные образцы могут содер­ жать различные количества влаги либо на результаты взвеши­ вания может повлиять зависимость положения нулевой точки на весах от изменений температуры в течение дня и т. д.) и благо­ даря влиянию других более тонких факторов. Комбинация всех этих источников изменчивости приводит к возникновению так называемой экспериментальной ошибки или изменчивости, не учитываемой только различиями между образцами.

Чтобы избежать возможности появления систематической ошибки в статистическом анализе, повторные наблюдения дол­ жны быть отобраны наудачу. Это так называемая рандомизация наблюдений. Необходимость этой процедуры станет очевидной, если имеется некоторый фактор, который непрерывно меняется во время эксперимента, как, например, продолжающееся высы­ хание проб, ожидающих своей очереди взвешивания. Если взве­ сить все шесть проб, полученных из образца 1, а затем все пробы, полученные из образца 2 и т. д., то при последнем взве­ шивании могут быть зарегистрированы большие весовые потери лишь по той причине, что пробы высыхали в течение более про­ должительного периода времени. Одним из способов решения этой задачи является последовательная нумерация каждой по­ вторной процедуры и выбор этих номеров в процессе анализа по таблице случайных чисел. Действительно, если процесс про­