Статистика и анализ геологических данных

степеней свободы и уровней значимости приведены в табл. 3.16. Отметим, что кривая распределения %2, так же как и кривая F- распределения, выходит из начала координат и, проходя через положительные значения, стремится к бесконечности. %2-распре- деление подробно рассмотрено в книге Ли [14].

Распределение %2 имеет большое значение в практике, так как его можно использовать для проверки гипотез, содержащих как номинальные, так и порядковые данные. До сих пор мы рассмат­ ривали только методы исследования данных, представляющих собой результаты измерения значений переменных. Теперь же мы обратимся к некоторым методам изучения данных подсчета, например, таким, как количество морских ежей на единицу пло­ щади морского дна, или число кристаллов плагиоклаза, распо­ ложенных на пересечении шлифа, или число зерен заданной гра­ нулометрической фракции в раздробленном песчанике.

Общеизвестная задача статистического анализа заключается в сравнении выборочного распределения с некоторым заранее заданным стандартным распределением. Так, например, стати­ стические критерии можно применить для проверки гипотезы, заключающейся в том, что имеющиеся данные извлечены из со­ вокупности с заранее известным распределением, возможно, нор­ мальным или логнормальным. Чтобы убедиться в том, что это предположение не противоречит действительности, надо сравнить выборочное и теоретическое распределения. В большинстве слу­ чаев геолог задает соответствующие классы размеров частиц и затем проверяет, согласуется ли распределение размеров частиц в естественных скоплениях гравия или на выходе из камнедро­ билки с некоторым заданным теоретическим распределением. В обоих рассмотренных задачах требуется установить соответст­ вие между формой двух распределений, одно из которых полу­ чено по выборке, а другое либо заранее известно, либо предпо­ лагается имеющим определенный вид. Требуется в вероятност­ ных терминах получить ответ на вопрос: можно ли два указанных распределения отнести к одному типу?

Аналогичная задача возникла при опробовании в заливе Уайтуотер (Флорида), где было проведено 48 измерений солености поверхностных вод. Эти данные приведены в табл. 3.17. Предва­ рительный визуальный анализ этих данных позволяет предпо­ ложить, что вариации содержаний соли в выборке с некоторой площади случайны и распределены нормально. Если эта гипо­ теза верна, то из нее следует, что происходят свободное пере­ мешивание и обмен между открытыми морскими водами и прес­ ной водой, втекающей в залив. С другой стороны, если бы суще­ ствовал какой-либо механизм, который стремился бы разделить соленую и пресную воду в заливе, то распределение содержаний соли позволило бы его обнаружить. Это дало бы возможность

Т а б л и ц а 3.17

Измерения солености вод в заливе Уайтуотер, Флорида

получить представление о циркуляции воды и предсказать тип распределения донных осадков. оДюмощью соответствующего критерия согласия можно проверить, насколько хорошо выбо­ рочное распределение согласуется с нормальным.

Предположим, что совокупность, из которой мы взяли нашу выборку определений солености, характеризуется нормальным распределением с неизвестным средним значением ц и диспер­ сией а2. Альтернативой этой гипотезе, конечно, является предпо­ ложение, что это распределение не согласуется с нормальным законом. Значение статистического критерия можно вычислить путем подразделения области определения стандартного нор­ мального распределения на некоторое число сегментов. Вероят­ ность того, что одно случайное наблюдение, извлеченное из стан­ дартного нормального распределения, попадает в один из сегмен­ тов, равна площади под кривой в пределах сегмента. Используя эти вероятности, можно вычислить ожидаемое число наблюдений в каждом сегменте. Ожидаемые частоты в каждом сегменте за­ тем сравниваются с соответствующими выборочными частотами. Если эти числа в каждом сегменте значительно отклоняются от ожидаемых, то маловероятно, чтобы выборка была извлечена из нормальной совокупности. Используя %2-распределение, мы мо­ жем придать вероятностный смысл словам «значимый» и «мало­ вероятный».

Указанный статистический критерий вычисляется по фор­

Е >

где Oj — число наблюдений в j -м классе, Ej — ожидаемое число наблюдений в этом классе. Предполагается, что имеется к раз­ личных классов (или интервалов).

В этой задаче значение статистического критерия вычи­ сляется с помощью подразделения области определения нор­ мальной кривой на некоторое число сегментов, например четыре,

так чтобы им соответствовали равные площади под кривой, ко­ торым, следовательно, отвечают равные вероятности попадания в соответствующий интервал. Границами этих интервалов, соот­ ветствующих равным вероятностям, будут —оо, — 0,67, 0,0, +0,67 и оо. Если наши данные стандартизированы, то можно ожидать, что приблизительно одна четверть значений попадает в каждый из интервалов. Далее подсчитывается число проб, попадающих

вкаждый из этих интервалов, находится разность между ожи­ даемыми и реальными числами, а результат возводится в квад­ рат. Квадрат разности делится на ожидаемое число попаданий

вданный интервал. Полученные значения суммируются по всем четырем интервалам. Если сумма превышает критическое значе­ ние, то нулевая гипотеза отклоняется и делается вывод, что рас­ пределение значений солености не согласуется с нормальным.

Выборочное %2-распределение изображено на фиг. 3.25, хотя точный его вид зависит от числа степеней свободы. Однако число степеней свободы здесь не зависит от числа наблюдений, как это было в предыдущих критериях. В этом случае наши «вы­ борки»— это четыре категории, сравниваемые с соответствую­ щими категориями стандартного нормального распределения.

Число степеней свободы равно числу категорий без трех, или в нашем примере — единице. Мы потеряли две дополнительные степени свободы потому, что для стандартизации наблюдений

использовали оценку для р, равную X, и оценку для а2, равную s2. Критическое значение %2-распределения, соответствующее де­ сятипроцентному уровню значимости ( а = 0,1 0 ) и одной степени свободы, равно 2,71 (см. табл. 3.16).

Как и в случае F -распределения, значения ^-распределенных случайных величин не имеют центра в нуле и всюду положи­ тельны. Так как отклонения ожидаемых частот от наблюдаемых в каждой категории возводятся в квадрат, то значения статисти­ ческого критерия не могут быть отрицательными. Следовательно, %2-критерий всегда является односторонним, и область отклоне­ ния гипотезы расположена справа.

В нашем примере кривая нормального распределения должна быть разбита на четыре части с равными вероятностями. Если значения солености распределены нормально, то приблизительно 12 нормализованных значений должно попасть в каждую из че­ тырех категорий. По выборке вычисляем действительное число наблюдений (частот попадания), содержащихся в каждой из этих групп. Так как групп всего четыре, то ожидаемые значения числа наблюдений равны 12. Первый шаг — стандартизация дан­ ных по формуле (3.18), повторяемой здесь:

Эту процедуру можно легко запрограммировать для цифровой вычислительной машины. Полный алгоритм стандартизации при­ веден в программе 3.7, ZTRANS. Части этой программы также

с3-7

с

можно использовать как подпрограммы в других программах анализа данных, где перед выполнением вычислений требуется стандартизация рассматриваемых значений. Выборка данных, полученных при опробовании в заливе Уайтуотер, имеет оценку

среднего Х=49,54 и оценку стандартного отклонения s=9,27. Поэтому нормализация наблюдений осуществляется по формуле

_ Х} - 49,54

Стандартизованные значения приведены в табл. 3.18 в том виде, как они получены по программе. В табл. 3.19 приведены резуль­ таты разбивки всей выборки на четыре категории. Если выборку можно считать извлеченной из нормальной.совокупности, то сле­ дует ожидать приблизительно 12 наблюдений на категорию. Вы­

числяя значения критерия %2, получим следующие промежуточ­ ные результаты:

Т а б л и ц а 3.18

Стандартизированные значения солености в заливе Уайтуотер

Вычисленное значение %2 меньше критического 2,71 для де­ сятипроцентного уровня значимости и одной степени свободы. Поэтому нет оснований считать, что распределение значений со­ лености в поверхностных водах существенно отклоняется от нор­

мального закона.

Конечно, статистика % 2 позволяет проверять гипотезу не только о нормальном распределении. Мы можем применить этот критерий для проверки гипотезы о любом другом законе

Т а б л и ц а 3.19

Стандартизированные значения солености, сгруппированные для проверки гипотезы о нормальном распределении таким образом, что каждой группе соответствует вероятность 0,25

распределения, например, таком, как логнормальный, экспоненциальный и т. д. При этом процедура проверки не изменяется, хотя число степеней свободы в каждом случае зависит от числа оцениваемых параметров. Кохран [2] подробно рассматривает эти вопросы.

На этом мы заканчиваем наше обсуждение общих статисти­ ческих приемов анализа данных. Рассматриваемый материал является очень кратким изложением полугодового вводного курса в математическую статистику. Мы не могли рассчитывать на то, что сумеем в столь малом объеме дать строгое обоснова­ ние обсуждаемых вопросов. Однако нам кажется, что изложен­ ного достаточно для первого знакомства с основами математиче­

ской статистики.

Простые вычислительные программы, которые мы включили в этот раздел, вполне соответствуют задачам, решаемым в тек­ сте, и могут служить образцом при составлении других про­

грамм. Однако имеется и много других источников программ различных статистических процедур. Несомненно, ваш вычисли­ тельный центр имеет обширную библиотеку таких программ; не­ которые из них, по-видимому, указаны в приложении.

Наше чрезвычайно краткое изложение процедур проверки статистических гипотез и приемов составления программ может служить введением в более сложный круг вопросов, рассматри­ ваемых в последующих главах. Этот материал не исчерпывает содержания математической статистики. Уэллис и Робертс во введении к своей книге [17] указывают: «статистика — живой и очаровательный предмет, но ее изучение очень часто протекает слишком вяло». Мы надеемся, что эта книга представит интерес для геологов, имеющих дело со статистической обработкой данных.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Chayes F.t Ratio correlation, Univ. Chicago Press, Chicago, 99, 1971. Книга содержит подробное изложение результатов статистических исследо­ ваний отношения и других способов определения замкнутых данных. При­ водятся примеры из геохимии. Построенная на основе курса лекций, она легко доступна.

2.Cochran W. G., The %2 test of goodness of fit, Annals of Mathematical

Statistics, 3, 315—345, 1952.

3. Duckworth W. E ., Statistical techniques in technological research, Methuen & Co., London, 303, 1968.

Одна из лучших и самых распространенных книг по статистике, пред­ назначенных для исследователей, желающих применять статистические процедуры. Большое внимание уделено планированию эксперимента. Не­ смотря на сложность этих вопросов, они становятся доступными благо­ даря блестящему изложению.

4.Fisher R. А., Statistical methods and scientific inferences, Oliver and Boyd, Edinburgh, 175, 1956.

Вкниге излагается эволюция статистической мысли. Гл. 2 и 5 посвящены изложению основ теории вероятностей, ее понятий и следствий, выте­

кающих из них.

5.Freund J. Е., Williams F. /., Dictionary/outline of basic statustics, McGrawHill, Inc., New York, 195, 1966.

Необходимое пособие для всех, кто применяет статистику. Вполне до­ ступный и хорошо составленный словарь большинства геологических тер­ минов, сводка общеизвестных (и некоторых неизвестных) формул и ста­

тистических критериев и таблиц.

6. Griffiths J. С., Scientific method in the analysis of sediments, McGraw-

Hill, Inc., New York, 508, 1967.

Имеется русский перевод: Гриффитс Дж., Научные методы исследования осадочных пород, М., Мир, 1971. Гл. 13—22 (примерно вторая половина книги) являются введением в прикладную статистику. Особый интерес в этой книге представляет изложение вопросов, связанных с корректными схемами статистического эксперимента.

7.Guenther W. С., Fundamentals of statistical inference, McGraw-Hill, Inc.,

New York, 353, 1965.

Сжатое введение в статистику для тех, кто хочет получить максимум ин­ формации в малом объеме. В книге затронут широкий круг вопросов, обычно не содержащихся в книгах такого объема.

9.Hicks C. R.y Fundamental concepts in the design of experiments, Holt, Rinehart, and Winston, New York, 293, 1964.

Руководство по планированию эксперимента и по дисперсионному ана­

лизу. В гл. 6 приводится графическая интерпретация взаимодействий для двухфакторных планов, приводятся примеры.

10. Kellaway F. W., ed., Penguin-Honeywell book of tables, Penguin Books Ltd., Harmondsworth, England, 75, 1968. ~

Математические таблицы, приведенные в этой книге, вычислены на ЭВМ фирмой Electronic Data Processing Division of Honeywell Controls Ltd. Результаты были записаны на магнитной ленте, а затем напечатаны. По­ этому о них можно сказать, что их не касалась рука человека и что они не содержат ошибок, обыкновенно вкрадывающихся в такие материалы. Табл. 3.9, 3.12 и 3.16 этой главы взяты из этой книги и напечатаны с раз­ решения автора.

11.Koch G. S., Jr., Link R. F., Statistical analysis of geological data, 1, John Wiley & Sons, Inc., New York, 375, 1970.

Подробное изложение одномерного статистического анализа геологических данных, в частности данных опробования. Включает в себя подробное из­ ложение вопросов планирования эксперимента и методов дисперсионного анализа.

12.Koch G. S., Jr., Link R. F., Statistical analysis of geological data, 2, John Wiley & Sons, Inc., New York, 438, 1971.

Второй том этой книги посвящен изложению методов анализа многомер­ ных данных, в особенности метода множественной регрессии. Подробно рассмотрены некоторые специальные вопросы и примеры. Особый интерес представляет гл. 11, в которой речь идет об интерпретации данных с по­ стоянной суммой.

13.Krumbein W. С., Graybill F. A., An introduction to statistical models in geo­ logy, McGraw-Hill, Inc., New York, 475, 1965.

Имеется русский перевод: Крамбейн У., Грейбилл Ф., Статистические мо­ дели в геологии, М., Мир, 1969. Эта классическая книга будет полезна любому серьезному исследователю в области геостатистики. Особое внима­ ние следует обратить на гл. 6—10.

Занимательное введение в статистику с множеством примеров, историй, анекдотов о происхождении статистических процедур и их приложениях, для тех, кто предпочитает увлекательное повествование математике.