Статистика и анализ геологических данных

чение дня составляет временной ряд специального типа. Мы мо­ жем построить аналогичную последовательность эксперимен­ тально, бросая монету и отмечая выпадение герба или решки. Полученная последовательность будет напоминать следующий ряд 20 событий:

ГРГГРГРРРГРГРГГРРГГГ

Конечно, интуиция подсказывает нам, что в этой последователь­ ности должно появиться около десяти гербов, и мы можем оп­ ределить вероятность выпадения этого (или любого другого) числа гербов. В нашем примере мы получили 11 гербов; считая, что монета правильная, мы получаем вероятность выпадения этого числа гербов в последовательности 20 испытаний, равную 0,16, или приблизительно 7е. В эксперименте, аналогичном рас­ смотренному, мы можем ожидать 9, 10 и 11 выпадений гербов, т. е. немногим больше, чем одна треть от числа испытаний. Ре­ зультаты этого эксперимента подчиняются биноминальному рас­ пределению, рассмотренному в гл. 3.

Однако при этом мы не учли порядка, в котором появляются гербы. Вероятно, если бы последовательность выглядела таким образом:

ГГГГГГГГГГГРРРРРРРРР

то это показалось бы нам очень странным, хотя вероятность получения такого же количества гербов в двадцати испытаниях такая же, как и в предыдущем примере. Другой крайний слу­ чай — попеременное появление гербов и решек:

ГРГРГРГРГРГРГРГРГРГГ

тоже выглядит очень необычно, хотя вероятность выпадения данного числа гербов осталась неизменной. В этих примерах наше подозрение вызывает не пропорция, в которой выпадают гербы, а порядок их появления. Мы предполагаем, что выпаде­ ние герба или решки случайно, а в двух последних примерах это предположение кажется весьма неправдоподобным.

Мы можем проверить гипотезу о случайности этой последо­ вательности, исследуя число скачков. Скачки определяются как непрерывающиеся последовательности одних и тех же со­ стояний. Первая последовательность содержит 13 скачков, вто­ рая—только два, и третья содержит 19. Скачки в первой пос­ ледовательности подчеркнуты:

Мы можем вычислить вероятность того, что данную последова­ тельность скачков в эксперименте с двумя исходами (герб или рещка в этом примере) можно считать случайной. С этой целью

вычисляется число возможных размещений щ состояний 1 и п2 состояний 2. Общее число скачков в последовательности обозна­ чается через U; имеются таблицы, которые содержат критиче­ ские значения числа скачков для фиксированных пхп2 и задан­ ного уровня значимости а. Однако если каждое из значений щ и п2 превышает десять, то распределение величины U довольно хорошо аппроксимируется нормальным распределением, и мы при использовании этого статистического критерия можем использовать таблицы стандартного нормального распределе­

Указанные формулы позволяют определить среднее число скачков и стандартную ошибку среднего числа скачков при все­ возможных размещениях щ и п2 взаимоисключающих друг друга исходов. Вычислив указанные характеристики, мы можем по формуле (5.4) получить критерий Z:

ровать и проверить ряд статистических гипотез. Например, при случайном размещении нам может потребоваться проверка ги­ потезы о том, что последовательность содержит более чем сред­ нее число скачков; в этом случае нулевая гипотеза и альтерна­ тива могут быть записаны так:

H0:U < U ,

т. е. слишком большое число скачков приводит к отклонению гипотезы. Этот критерий является односторонним. Наоборот, мы можем пожелать определить, не содержит ли последователь­ ность невероятно низкое количество скачков. В этом случае со­ ответствующая гипотеза и альтернатива записываются в виде

Но: U > U, H r .U < U ,

и слишком низкое число скачков приведет к отклонению нуле­ вой гипотезы. Этот критерий также является односторонним. Если мы хотим отклонить гипотезу о любом нарушении случай­ ности в последовательности, то для этой цели подходит двусто­ ронний критерий для проверки гипотезы:

Н0 : U = U

при альтернативе

Мы можем применить этот критерий для проверки гипотезы о случайности расположения элементов первой последователь­ ности, содержащей результаты испытаний при 20 бросаниях монеты. Нулевая гипотеза утверждает, что нет существенного различия между наблюдаемым числом скачков и средним чис­ лом скачков для случайной последовательности того же объема. Мы используем для ее проверки двусторонний критерий. Нуле­ вая гипотеза отвергается, если в этой последовательности имеется либо слишком мало, либо слишком много скачков. Сле­ довательно, альтернатива имеет вид

H i :U ^ U .

Выбрав 5%-ный уровень значимости (а =0,05), мы получим границы критической области — 1,96 и +1,96. Сначала вычис­ лим среднее значение и стандартное отклонение для числа скач­ ков в случайной последовательности, имеющей щ гербов (П1= 11) и Пг решек (пг = 9):

Статистика Z равна

Таким образом, число скачков в последовательности меньше стандартного отклонения от среднего значения всех возмож­ ных скачков в такой последовательности й не попадает в кри­ тическую область. Следовательно, указанное число скачков не дает оснований для отклонения нулевой гипотезы и принятия предположения, что последовательность не является случайной. Другие последовательности, наоборот, дают совершенно отлич­ ные значения критерия. Так как ni и П2 одинаковы для всех трех

последовательностей, то U и а - также одинаковы. Для второй последовательности значения критерия

для третьей

= 3,9.

Оба эти значения расположены в критической области, и мы должны отклонить гипотезу о случайном расположении элемен­ тов последовательностей.

Возможно, геологические применения этого критерия не вполне очевидны, так как обычно приходится рассматривать последовательности с числом состояний, большим двух. Страти­ графические разрезы или, например, пересечения шлифа обык­ новенно содержат не менее трех состояний, которые нельзя ран­ жировать никаким осмысленным образом. Мы рассмотрим спо­ собы, с помощью которых некоторые последовательности можно привести к последовательности дихотомических состояний, но прежде мы остановимся на геологическом примере применения критерия скачков при изучении системы с двумя состоя­ ниями.

При кристаллизации обычных пегматитов образуются лету­ чие вещества, оттесняемые в остаточный расплав при отвердева­ нии гранитной магмы. Их структура обусловлена одновремен­ ной кристаллизацией кварца и полевого шпата в эвтектической точке. Если кристаллизация пегматита происходит без помех, то можно допустить, что зерна кварца и полевого шпата возни­ кают в случайных точках внутри охлаждающегося расплава. Эта ситуация (случайное образование кристаллических зерен) остается неизменной до тех пор, пока расплав затвердеет. Од­ нако присутствие одного кристалла, например полевого шпата, может стимулировать дополнительное образование зерен поле­ вого шпата и привести к возникновению пестрой структуры. Наоборот, рост одного кристалла может локально исчерпать из магмы нужные составляющие и приостановить кристаллиза­ цию, в результате чего возникает пестрая мозаика из кварца и полевого шпата. Большую плиту полированного пегматита можно рассматривать как окно в геологическую кухню, в кото­ рой студентам дана возможность изучения этих альтернативных процессов. Полированная поверхность породы позволяет легко установить контакты между слагающими ее зернами, поэтому линия, проведенная на ней, приводит к построению последова­ тельности зерен кварца и полевого шпата. Линия на полиро­ ванной плите может рассматриваться как случайная выборка

Фиг. 5.4. Последовательность наблюдений, которая анализируется методом скачков вверх и вниз.

из возможных последовательностей в теле пегматита, из кото­

Последовательность 100 зерен полевого шпата (П) и кварца (К), полученная при пересечении пегматита

Начало

ПККПККППКПКПППППППККПКПППКППППКПППК

КПКПКККПППППКПППППККККППКККППППППК

ПКПППППКПКПКППКПППППКПППККПКППК

Конец

Наша задача — изучить скачки от кварца к полевому шпату, проверить случайность последовательности и определить, нет ли тенденции к систематическому следованию одного состояния за самим собой или, наоборот, тенденции одного состояния следовать непосредственно за другим. Выполните исследование этих данных с помощью критерия скачков и рассмотрите три альтернативы.

Теперь рассмотрим статистическую процедуру исследования скачков вверх и вниз. Она используется в тех случаях, когда мы имеем дело не с двумя различными состояниями, а когда последующее наблюдение больше или меньше, чем предыдущее. На фиг. 5.4 изображена типичная последовательность, которую

Действительно, интервал DE расположен между двумя отрез­ ками CD и EF, каждый из которых изображает скачок вниз, по­ этому и весь участок CDEF можно рассматривать как единый скачок вниз. Интервал IJ можно рассматривать либо как часть отрезка GHIJ, изображающего скачок вниз, либо как часть отрезка IJK, изображающего скачок вверх, Причем общее число скачков остается в любом случае' неизменным. Если каждое наблюдение выражено некоторой величиной, то обычно она имеет дробную часть, и одинаковые значения (две последова­ тельные точки с одинаковыми характеристиками) практически невозможны.

При рассмотрении только разностей между значениями в со­ седних точках мы преобразуем данную последовательность в последовательность, имеющую только два состояния (или три, если имеются равные значения). Последовательность, изобра­ женную на фиг. 5.4, мы можем переписать в виде

----о ---- 1------- 0Ц-

Считая первый нуль минусом, мы получаем пять скачков: три от к — и два от — к —f—(число скачков не зависит от того, назовем ли мы второй нуль плюсом или минусом). Теперь мы можем применить процедуры, рассмотренные выше для случая последовательностей с двумя взаимоисключающими друг друга состояниями [см. формулы (5.2) — (5.4)]. Для того чтобы иметь возможность использовать указанную выше аппроксимацию нормальным распределением, мы должны иметь большую вы­ борку, однако в большинстве геологических задач такие объемы выборок вполне доступны.

При изучении кремнистых сланцев в Скалистых горах было отмечено, что эта порода содержит необычно много хорошо со­ хранившихся остатков радиолярий. Их присутствие в сланцах заставляет предположить, что оно не является случайным, так как последовательность образцов была собрана на приблизи­ тельно равных расстояниях по разрезу. Из образцов были сде­ ланы шлифы, и на площади 10X10 мм2 было подсчитано число радиолярий. Данные для 50 образцов приведены в табл. 5.5. Можно ли считать, что распространенность радиолярий изме­ няется в шлифе случайно? Вполне реально составить программу, которая выполнила бы все необходимые вычисления, однако усилия, которые требуется при этом затратить на программиро­ вание, по-видимому, превысят трудности, которые придется пре­ одолевать при расчетах вручную.

Т а б л и ц а 5.6

Значения удельного веса образцов, собранных при пересечении магнетитового тела (хребет Ларами,

штат Вайоминг)

Мы можем также провести проверку гипотезы случайности скачков по отношению к среднему значению. Результаты этой проверки будут использованы ниже в этой главе в критерии остатков при анализе тренда. Критерии скачков принадлежат к широкому классу статистических процедур, называемых непа­ раметрическими критериями: для их использования не требуется никаких предположений о совокупности, из которой извле­ кается выборка. Наоборот, в гл. 3 мы рассматривали парамет­ рические критерии. Они обычно используются в предположении, что исходные совокупности подчинены нормальному распределе­ нию, и дисперсии в совокупностях одинаковы. Непараметриче­ ские критерии имеют более слабые ограничения, но являются менее мощными. Иначе говоря, для достижения того же уровня значимости, что и при применении параметрического критерия, в непараметрическом случае требуется использовать больше данных.

Имеются многочисленные разновидности критериев скачков, рассмотренных выше. Информацию о них читатель может по­ черпнуть в руководствах по непараметрическим статистическим методам Брэдли [3], Коновера [4], Зигеля [22]. Примеры исполь­ зования критерия скачков в геологии имеются в книге Миллера и Кана [16]. Некоторые из этих авторов считают длину самого большого скачка показателем неслучайности, другие используют число точек инверсии, т. е. точек, в которых знаки последова­ тельных наблюдений меняются. В некоторых случаях эти кри­ терии могут оказаться более подходящими, чем процедуры, описанные выше. Вообще говоря, процедура исследования скач­ ков вверх и вниз считается наиболее мощным приемом из кри­