Статистика и анализ геологических данных

/

Транспонирование

Операция замены столбцов строками матрицы называется

транспонированием.

Например, матрица

1 2 -3 [4 5 6

после транспонирования имеет вид

25

36

Отметим, что после транспонирования первая строка стала первым столбцом, а вторая строка — вторым столбцом. Если мы обозначали матрицу [А], то матрицу, полученную транспо­ нированием матрицы [А], будем обозначать [А]'. При транспо­ нировании элемент Ац переходит в элемент Ад. Во многих за­ дачах, рассматриваемых в гл. 7, мы часто будем пользоваться тем, что вектор-строка матрицы [А] при транспонировании пре­ вращается в вектор-столбец матрицы [А]' Вектор-строка и вектор-столбец получаются один из другого транспонированием. Например,

Т

[1 2 3 4] и з

4

Определители

Прежде чем перейти к изложению нашей последней темы, касающейся собственных значений и собственных векторов, ос­ тановимся коротко на определителе матрицы. Определитель — это число, приписываемое квадратной матрице в результате не­ которой последовательности операций. Определитель символи­ чески обозначается det А, |А | или

Ап А12

А21 А22

Он вычисляется как сумма п! членов вида

(4.3)

где п — число строк (или столбцов) матрицы, ii, i2, . . in— не­ которая перестановка чисел 1 , 2 , ..., n, к — число транспозиций пар элементов, необходимых для того, чтобы расположить их индексы i в порядке 1 , 2 , ..., п.

Каждый член этой суммы содержит по одному элементу из каждой строки и каждого столбца.

Мы начинаем процесс вычисления определителя, выбирая по одному элементу из каждой строки для образования различ­ ных комбинаций. Элементы каждого члена суммы выбираются из строк в естественном порядке 1 , 2 , ..., п, однако каждая ком­ бинация может содержать только по одному элементу из каж­ дого столбца. Например, в матрице порядка 3X 3 мы можем выбрать комбинацию А12А21А33. Обратите внимание, что эле­ менты располагаются в порядке возрастания их первых индек­ сов — номеров строк. Каждая комбинация содержит ровно по одному элементу из каждой строки и каждого столбца. Мы должны выбрать все возможные комбинации, составленные та­ ким способом. Если матрица имеет порядок п хп , то таких ком­ бинаций будет п!.

Так как порядок умножения чисел не влияет на результат, т. е. АцАггАзз = А22АцАзз= А33А22А11 и т. д., то мы можем про­ извольно изменить порядок элементов в отобранных комбина­ циях. Попытаемся выбрать элементы так, чтобы их вторые ин­ дексы, или номера столбцов, расположились в порядке возрас­ тания. Перестановку можно выполнить, меняя любые два со­ седних элемента местами. Выполняя операцию, мы должны со­ считать, сколько мы сделали перестановок, необходимых для того, чтобы индексы расположились в нужном порядке. Если для этого потребовалось четное число перестановок (т. е. О, 2 , 4, 6, 8, ...) , то произведение этих элементов берется с положи­ тельным знаком. Если было использовано нечетное число пере­

мы можем найти только две комбинации элементов, содержа­ щих по одному элементу из каждой строки и каждого столбца,— А ц А 22 и Ai2A2i. Вторые индексы в члене АцА22 расположены в естественном порядке и перестановок не требуют. Количество перестановок равно нулю, поэтому знак произведения положи­ тельный. Однако элементы в члене А12 и A2I нужно поменять местами, чтобы их вторые индексы расположились в нужном порядке. Это требует одной перестановки, поэтому результат

будет с отрицательным знаком. Итак, определитель матрицы

Здесь будет 3!, или 3 -2 -1 = 6, комбинаций, которые содер­ жат по одному элементу из каждой строки и каждого столбца, индексы которых располагаются в порядке 1, 2, 3. Начиная с верхней, выбираем по одному элементу из каждой строки. Сначала из первой, затем из второй, из третьей, ..., из n-й, ис­ пользуя при этом не более одного элемента из каждого столбца. Укажем всевозможные комбинации, удовлетворяющие этим ус­ ловиям:

Для определения знака каждого члена нам нужно выяснить, сколько перестановок необходимо выполнить, чтобы вторые ин­ дексы расположились в порядке 1, 2, 3. Для члена А11А22А33 пе­ рестановок не требуется. Перестановки для других членов при­ ведены ниже:

Итак, в определителе три положительных и три отрицатель­ ных члена. Складывая члены (с соответствующими знаками),, получим

+Ац А22А33— Ап А23А32+А12А23А31 — А12А21А33+

+А13А21А32—А13А22A3i.

Теперь рассмотрим числовую матрицу

4 3 2

2 4 1 .

1 0 3

Шесть членов выглядят так:

(4 • 4 • 3)=48 (4 . 1 • 0 )= 0 (3 • 1 1 )= 3 (3 • 2 • 3) = 18

(2 • 2 • 0 )= 0 (2 - 4 - 1) = 8.

Первый, третий и пятый из этих членов требуют четного числа операций, для того чтобы их вторые индексы расположи­ лись в порядке возрастания. Для того чтобы индексы остальных элементов расположились в порядке возрастания, требуется не­ четное число операций, поэтому они отрицательны. Складывая получаем

d e t A = 4 8 - 0 + 3 - 1 8 + 0 —8 = 2 5 .

Этот метод вычисления определителя описан Петтофреццо [7] (стр. 22—25). Более общепринятый подход, изложенный

вмонографии Гири и Уивера [3], гл. 3, основан на так называе­ мом методе кофакторов, но по существу мало отличается от выше изложенного.

Теперь мы уже умеем вычислять определитель квадратной матрицы, но еще неясно, что это такое. Определители возни­ кают в различных задачах, но чаще всего они неявно участвуют

врешении систем уравнений. Читатель мог не заметить их при рассмотрении этого вопроса, но скрыто определители использо­ вались в процессе обращения матрицы. Решим систему двух уравнений:

Знаменатели в обеих дробях равны определителю

4 10 10 30 = (4 • 3 0 )-(1 0 • 10) = 20.

Числитель выражения для Xi равен определителю

38 10 110 30 = (38 • 30)-(110 • 10) = 40.

Числитель выражения для Хг равен

Итак, Xi = —— = 2, а Хг = -гх- = 3. Ранее с помощью об-

ращения матриц мы нашли точно такие значения неизвестных. Приведенную выше программу обращения матрицы можно использовать и для нахождения определителя матрицы. Это мо­ жно сделать, учитывая три свойства определителей, называемые

правилами преобразования определителей:

1.Если каждый элемент i-й строки матрицы [А] умно­ жить на константу с, определитель изменится и будет ра­ вен с | А|.

2.Если поменять местами две строки матрицы [А], знак определителя изменится на противоположный.

3.Если произведение одной строки на константу сло­ жить с другой строкой, определитель не изменится.

Эти преобразования — необходимые операции при обращении матрицы с использованием ведущих элементов; программа этой процедуры изложена выше. Чтобы ввести эти правила в про­ грамму обращения матриц, нужно разбить, процедуру обраще­ ния на ступени. Каждая ступень начинается с выбора ведущего элемента и оканчивается, когда поддиагональные элементы ве­ дущего столбца приведены к нулю. Затем находим значение выражения

исходной матрицы [А]. Элемент А ^ — второй диагональный эле­

мент после выполнения преобразований первой ступени, т. е. операций по приведению всех элементов первого столбца к нулю. Элемент А(£> — третий диагональный элемент после того,

как элементы второго столбца приведены к нулю, и т. д. Если

в этой процедуре не требовалось перестановок строк, резуль­ тат умножения даст нам определитель исходной матрицы. Од­ нако если при выполнении программы приходится переставлять строки, для того чтобы наибольший элемент столбца стал ве­ дущим, то конечный результат нужно умножить на (—1) столько раз, сколько было выполнено перестановок.

Рассмотрим эту процедуру подробно на примере матрицы, которую мы уже обращали. Выполнять операции будем одновре­ менно на матрице [А] и единичной матрице [I]:

Г 4 10

начало первой ступени: JQ ^

Выполнив деление первой строки на 4 и вычитание удесяте­ ренной первой строки из второй, мы получим единицу на месте Ац и нуль на месте А21. Таким образом, после осуществления операций первой ступени имеем

Далее выполняем деление второй строки на 5 и вычитание второй строки, умноженной на 2,5, из первой. В конце второй ступени обращение матрицы заканчивается, и исходная матрица [А] превращается в единичную, а единичная матрица [I] — в матрицу [А]-1:

значение определителя 4 • 5 = 20. Легко убедиться в правильно­ сти этого результата:

.10 ад]- + (4-30)-(10. 10)_20.

Программа 4.8 — подпрограмма, предназначенная для вы­ числения определителя матрицы с использованием ее обрат­ ной. Это делается с помощью переменной DET, которая накоп­ ляет произведения диагональных элементов по мере того, как

Собственные значения и собственные векторы

Тема, к которой мы переходим, является наиболее трудной в матричной алгебре — собственные значения и собственные век­ торы. Трудность состоит не в их вычислении, которые являются не более громоздкими, чем другие математические процедуры. Скорее всего трудности заключаются в интуитивном понимании этих величин. К. несчастью, в большинстве руководств эта тема излагается в строгих математических терминах, которыене всегда понятны нематематику.

Очень хорошее изложение понятий о собственных векторах и собственных значениях, сопровождающееся геометрической интерпретацией, было подготовлено Гоулдом для студентов гео­ графического факультета Пенсильванского университета. При­ веденное здесь изложение темы основывается на этой работе, а также на статье Гоулда [4]. Мы будем рассматривать матрицу, составленную из координат точек в некотором пространстве, и интерпретировать свойства собственных значений и ассоцииро­ ванных с ними собственных функций как геометрические свой­ ства расположения точек. Такой подход требует рассмотрения матриц низких порядков. Однако интуитивные представления, полученные для этого случая, можно экстраполировать на мат­ рицы больших порядков, даже на такие, вычисления для кото­ рых практически невыполнимы при ручном счете. Следует за­ метить, что мы вступаем в такую область, в которой очень ча­ сто даже наиболее мощные ЭВМ оказываются не в состоянии преодолеть вычислительные трудности. Так как мы уже позна­ комились с определителями, то можем их использовать для вве­ дения понятий собственных значений и собственных векторов. Пусть дана система уравнений, записанная в матричной форме:

В этом уравнении произведение матрицы коэффициентов [А] на вектор-столбец неизвестных [X] равно произведению кон­ станты X на вектор-столбец неизвестных. Задача почти такая же, как и решение системы уравнений

только теперь [В] = ЧХ].

Нам нужно найти значения X, удовлетворяющие этому соот­ ношению. Уравнение (4.11) можно записать в форме

где 4 1 ] — единичная матрица [I], умноженная на число % (по­ рядок матрицы [I] такой же, как и порядок матрицы [А]). Мат­ рица А,[1] порядка 3X 3 имеет вид

Используя принятую запись, получим следующую систему уравнений:

Предположим, что у этой системы есть нетривиальные реше­ ния, т. е. что все Xi ф 0. По правилу Крамера для решения си­ стемы уравнений неизвестные находятся как отношения двух определителей. В связи с тем что в матрицах, определители ко­ торых являются числителями этих отношений, есть нулевой столбец, эти определители равны нулю. Таким образом,

Если X — ненулевой вектор, то определитель матрицы [А] равен нулю, т. е.

Обычно коэффициенты Ац нам известны, и поэтому можно воспользоваться этим соотношением для нахождения значений, удовлетворяющих заданным условиям. Для этого представим оп­ ределитель как полиномиальное уравнение. Рассмотрим сначала определитель матрицы порядка 2 x 2 :

А ц —X AI2 _

A2I А22 — X

Представим определитель в виде

(Ац—X)(А22—X)—A2IAI2= 0 .

После перемножения получим

(А„ -X ) (Аи - X)= (А„ А22) - (А„Х) - (А22Х)+Х2,