Статистика и анализ геологических данных

л и н и и регрессии? Вытекает ли из результатов анализа, что тран­ шея пересекла участки минерализации? Можно ли полученные сведения об отклонениях от линии регрессии использовать для разумной экстраполяции содержаний золота вне пределов траншеи?

Фильтрация и временной тренд

Математическая статистика использует ряд терминов, заим­ ствованных из электротехники, поэтому иногда о последова­ тельности данных говорят как о «шуме». Наблюдаемые значе­ ния имеют две компоненты: основной сигнал, или главную со­ ставную часть изменчивости, и случайные помехи, т. е. шум. Наиболее широкое использование эти термины нашли в анализе временных рядов, так как исследования, связанные с разло­ жением радиосигналов, внесли значительный вклад именно в эту область статистики. Геолога привлекает мысль, что среди

множества разнообразных накапливаемых им данных содер­ жится имеющая важное значение информация. Поэтому в по­ следнее время методы анализа временных рядов нашли широкое применение и в геологии. Особенную ценность этот метод ана­ лиза данных представляет для стратиграфии, где исходные дан­ ные являются значениями каких-либо характеристик вдоль вертикальных разрезов или представляют-собой электрокаротажные диаграммы. Значения переменной, изменяющейся в стра­ тиграфической последовательности, очевидно, являются резуль­ татом событий, которые произошли в течение геологического времени, и поэтому их можно считать временными рядами. Однако выводы, полученные в результате изучения стратигра­ фических разрезов, часто выражаются в терминах геологиче­ ского времени, тогда как в действительности они основываются на изменениях мощности пород. Это означает, что изменения, наблюдаемые в стратиграфической последовательности пород, могут отражать изменения во времени или же изменения в про­ странстве, связанные с различием в скорости осадконакопления, или же результат совместного действия обоих факторов. Ситуа­ ция такая же, как при попытке расшифровать сложный сигнал, зарегистрированный с помощью прибора, который во время записи работает с различной и неизвестной нам скоростью. Кроме того, этот прибор, вероятно, много раз за время работы проходит свои критические состояния, при которых запись сиг­ нала прекращается совсем. По этой причине изучение таких, казалось бы, очевидных явлений, как циклотемы, невозможно. Записи сигналов содержат достаточно информации для того, чтобы заинтересовать исследователя, но недостаточно для того, чтобы проинтерпретировать их.

Инженеры-электрики создали ряд методов выделения сиг­ нала на фоне шума. Шум — это короткодействующая состав­ ляющая, сигнал, наоборот,— большей частью долгодействующая составляющая исходных данных. Иными словами, последова­ тельные значения сигнала обычно взаимно коррелированы, тогда как шум в одной точке совсем не зависит от шума в со­ седних точках. Так как сигнал от точки к точке почти не меняет

стремится к значению только одного сигнала. Предположим, что мы измеряем переменную Y в точках некоторой шкалы, которую мы назовем X. Мы можем обнаружить, что каждое наблюдение состоит из сигнала Yi плюс случайная, или шумо­ вая, компонента г\. В качестве оценки значения сигнала Yi

в точке Xi можно выбрать значение среднего Yi нескольких наблюдений в соседних точках. Для вычисления значения Yj

можно предложить различные схемы; наиболее часто использу­

часто называют сглаживанием данных или фильтрацией. Про­ цесс сглаживания геологических данных называется анализом временного тренда.

Последовательно используя линейную или нелинейную ин­ терполяцию на перекрывающихся сегментах, можно сгладить нерегулярно распределенные в пространстве данные, но этот процесс требует значительных затрат времени, в особенности если имеют дело с большими последовательностями данных. Обычно наблюдения проводятся через правильные интервалы или располагаются по равномерной сети при помощи описанных выше процедур. Ясно, что данным, собранным по плану опробо­ вания с равными интервалами между наблюдениями, можно отдать предпочтение. Благодаря этому удается избежать неже­ лательных вычислений, и полученные результаты будут более точными, потому что при их получении не будут использованы оценочные значения в заданных точках. Мы рассмотрим только случай равномерного расположения данных.

Наиболее простой способ сглаживания — это метод скользя-

**ч

щего среднего. Сглаженное значение Y вычисляется по формуле i+k

или число точек, по которым вычисляется среднее значение. Это

числом, так как тогда полученная оценка Yi соответствует центральной точке. В случае четного m мы получаем значения, расположенные посередине между соседними наблюдениями. Вы могли уже заметить, что так как интервал сглаживания охва­

мого значения, то в начале и конце последовательности оценки производить нецелесообразно. Например, если m равно пяти, мы не можем вычислить сглаженную оценку для первой или второй точек последовательности, так как не имеем достаточно

л

1

Обратите внимание на сдвиг пиков в сглаженной последовательности.

значений для получения оценки. Аналогично мы не можем оце­ нить два последних наблюдения в последовательности. Если сглаживающий интервал велик, эта процедура приведет к значи­ тельному сокращению последовательности.

Иллюстрация метода скользящего среднего приведена ниже. В качестве длины интервала усреднения выбрано число ш =3 . Интервал просто передвигается вниз по последовательности, так что на каждом шаге добавляется одно новое наблюдение и опускается одно наблюдение из предыдущего интервала:

Эти две последовательности представлены графиками на фиг. 5.13, хорошо иллюстрирующими смысл выражения «сглажи­ вание данных». Чем больше интервал гп, тем сильнее сглажи­ вание уменьшает дисперсию первоначальной последователь­ ности. На фиг. 5.13 указаны также некоторые случайности при сглаживании данных. Слева, там где данные имеют регулярные отклонения вверх и вниз, сглаженная кривая является аппро­

чений и уменьшающимися или отрицательными весами, припи­ сываемыми другим точкам. В этом состоит его отличие от обычного метода скользящего среднего, в котором все точки, по которым производится усреднение, берутся с одинаковыми весами. Другое, еще более сложное уравнение принадлежит Спенсеру. Оно содержит 21 член:

Yi = -3So-[60Y,+57(Yi+1+ Y 1_ i)+ 4 7 (Y l+2+ Y l_ 2) +

+ 3 3 (Y I+3+ Y i_ 3)+ 1 8 (Y i+4+ Y 1_ 4) + 6 (Y I+5 + Y I_ 5) - - 2 ( Y i+6+ Y i_ 6) — 5(Yl4.7+ Y 1_ 7) — 5(YI+8+ Y 1_ 8) —

и соответствующий ему график изображен'на фиг. 5.15, в. 7-членное уравнение, являющееся промежуточным между урав­ нениями Спенсера и Шеппарда, имеет вид

исоответствующий ему график представлен на фиг. 5.15, г. Для сравнения график результата применения 7-членного метода скользящего среднего представлен на фиг. 5.15, д.

Различные фильтры предназначаются для выполнения раз­ личных функций и подразделяются в зависимости от их свойств при устранении шума в условиях минимального сигнала. Их применение, однако, требует исчерпывающих знаний о струк­ туре данных и привлечения анализа временных рядов, которым исследователь обычно не владеет. Агтерберг [1] приводит специ­ альный фильтр для сглаживания данных процентного содержа­ ния цинка по пересечению на руднике в Боливии. Веса фильтра экспоненциально убывают при удалении от оцениваемой точки,

ипо этой причине он называется двойным экспоненциальным фильтром. Были вычислены частные значения, соответствующие Частотным характеристикам, содержащимся в первоначальной Последовательности. Использованное при этом 9-членное урав­

нение имеет вид

Отклик этого фильтра представлен на фиг. 5.15, е.

Написать программу сглаживания последовательностей дан­ ных сравнительно просто. Мы приводим в качестве примера Программу 5.6, SMOOTH, в которую легко внести изменения

в том случае, если возникнет желание использовать другие сглаживающие процедуры. Из данных сначала формируют мас­ сив, который затем последовательно обрабатывается по фильт­ рующему алгоритму. Фильтр с помощью цикла DO, индексиро­ ванного номерами последовательных точек, передвигается вниз по последовательности данных. Так как интервалы между по­ следовательными значениями переменных Xi одинаковы и по­ этому не могут входить в какое-либо сглаживающее уравнение (значения Xi совсем не должны использоваться в вычислениях), то достаточно использовать только значения переменных Yi.

По мере того как вычисляется оценка Yi, она отсылается в неко­ торый массив, так чтобы печатались исходные значения Yi

вместе с оценками Yi и разностями Yi — Yj. Графопостроитель TSPLOT (программа 5.7) обеспечивает нанесение на график исходных и сглаженных данных после выполнения сглаживания. Сглаживающие алгоритмы входят в подпрограмму SMOOTH, поэтому изменение сглаживающего уравнения можно провести с минимальными изменениями в программе. Так как в ней ис­ пользован m-членный алгоритм скользящего среднего, то для ее работы необходимо ввести значение числа ш. В программе используются подпрограммы READM (программа 4.1) и PRINTM (программа 4.2); форматы данных соответствуют ука­ занным в них описаниям. Значение числа ш вводится после ввода последовательности данных.

В программе предусмотрено вычисление дисперсии исход­ ных данных, дисперсии сглаженных данных и приближенное вычисление процентного отношения сумм квадратов, используе­ мых при сглаживании. Необходимые для этой цели суммы квад­

Для исходных данных

(5.38)

Для сглаженных данных

(5.39)

Для отклонения

(5.40)