Кроме того, при оценке риска необходимо учитывать, что последствия хрупкого разрушения необязательно значительны. Большинство конструкций обладает достаточной избыточ ностью, так что даже при выходе элемента конструкции из строя в результате хрупкого разрушения трещина будет за держана благодаря болтовому-соединению или перераспре делению дополнительной нагрузки между неповрежденными элементами. При этом полной аварии конструкции не прои зойдет, и большое число разрушений конструкций не приво дит к серьезным увечьям или несчастьям, которым действи тельно подвергается некоторое число людей.
И, наконец, авторы полагают, что методы комбинирован ного анализа риска, описанные выше, представляют целесо образный и эффективный способ оптимального выбора про ектных напряжений, материалов, формы конструкций и ме тодов приемочного контроля для приемлемой и недорогой защиты от хрупкого разрушения и минимизации стоимости конструкций.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Starr С. Benefit-cost studies in socio-technical systems. — In: Colloqium on benefit-risk relationships for decision-making, Washington D. C., April 1971.
2. Besuner P. M., Tetelman A. S., |
Egan G. R., Rau C. A. The combined use |
|||||||
of engineering and relability analysis in |
risk assessment of |
mechanical |
||||||
and |
structural |
systems. — In: |
Proceedings of risk-benefit methodology |
|||||
and |
application |
conference, Asilomar, California, |
September |
1975. |
||||
3. Benjamin J. R., Cornell C., Probabilty, statistics |
and |
decision theory for |
||||||
civil |
engineers.-M cGraw-Hill, |
1970. |
|
|
inspection level. — |
|||
4. Johnson D. P. Cost-risk optimization of nondestructive |
||||||||
In: Failure Analysis Associates/Electric Power Research Institute Tech |
||||||||
nical Report No. EPRI-217-1-5, |
September 1975 |
(submitted |
for Journal |
|||||
Publication). |
|
|
|
|
|
|
||
March |
1963. |
|
|
|
|
|
|
|
5. Pellini |
W., Puzak P. — Naval |
Research |
Laboratory |
Report |
No. 5920, |
|||
РАЗВИТИЕ УСТАЛОСТНЫХ ТРЕЩИН В РЕАЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЯХ:
ПРИЛОЖЕНИЯ К САМОЛЕТОСТРОЕНИЮ
Я. Немец, Я. Дрекслер, М. Длеснил
В течение последних четырех лет в Чехословакии тщательно исследо валось развитие и распространение усталостных трещин в реальных кон струкциях, причем особое внимание уделялось крупномасштабным кон струкциям. В связи с этим представленный доклад посвящен некоторым специфическим областям проектирования механических конструкций. Вопервых, авторы подходили к этим вопросам с точки зрения механики раз рушения, используя обобщенную вероятностную модель для описания из менений во времени состояния сложной конструкции, содержащей тре щины. Во-вторых, авторов интересовали два главных аспекта, касающихся принятой обобщенной модели:
— использование вероятностного описания процесса образования тре щин в конструкции для оценки надежности того, что в основной (чувстви тельной к усталости) части конструкции трещины будут отсутствовать в течение заданного априори интервала времени, т. е. для оценки безопас ного срока службы конструкции;
— обсуждение некоторых физических особенностей двух режимов рас пространения трещин, затронутых в докладе, а именно «пластического» и «скачкообразного», позволяющее в связи с этим синтезировать вероят ностный подход с методами механики разрушения в полезный инженерный аппарат.
1. ВВЕДЕНИЕ
Результаты недавнего исследования процесса возникнове ния трещин в крупногабаритных механических конструкциях при усталостных испытаниях подтверждают представление о том, что характеристики образующихся систем трещин имеют случайную природу во времени и пространстве [1, 2, 3]. Для описания растрескивания сложной конструкции в качестве основных характеристик, используя принятые в инженерной практике параметры, можно рассмотреть полное число тре щин г] в конструкции, подвергающейся воздействию, и ско рости распространения р = da/aN, отвечающие наибольшим трещинам, в зависимости от заданного числа циклов испыта ний N. На рис. 1 приведена графическая интерпретация
©1978 Pergamon Press Inc.
©Перевод па русский язык, «Мир», 1980
таких характеристик по результатам проведенных испытаний для установления безопасного срока службы самолетов.
Отдельные элементы конструкции на рис. 1 могут быть упорядочены в соответствии с их вкладом в полное число трещин с учетом их усталостного сопротивления следующим образом: оболочка 6, стрингеры 2, ребра жесткости крыльев 4,
Р и с . 1. Полное число трещин г\ в элементах конструкции крыла, чув ствительных к усталости, в зависимости от запланированного числа испы таний N (пояснения даны в тексте). Стрелки рядом с кривой /, аппрок симированной прямой линией, соответствуют устранению трещин, прово димому в соответствии с принципами профилактического освидетельство
вания [1].
стержни балок 5 и лонжероны 3. В этой иерархии элементы конструкции могут играть «предупреждающую» роль по от ношению к основной конструкции подобно лонжеронам или фитингам. Согласно рис. 1, при /V, изменяющемся от 4,5-104 до 5,5-104, число трещин в оболочке быстро растет, давая «предупреждающий» сигнал, предшествующий появлению трещин в стрингерах. Рост трещин в оболочке, стрингерах,
является непрерывно определенным параметром, / — средняя частота нагружения.
2. r\ir и р/г — независимые случайные величины с пуас соновским законом распределения, т. е. для соответствую щих вероятностей переходов компонент вектора состояния
(Tkr-**Ur). (Р/г -*■ Р/г)
в течение достаточно малого интервала времени Д /->0:
lim |
Р [т] (/) - * r)ftr; |
+ > |
о |
T |
|||
д /-*о |
|
|
|
lim |
Р [pjr (/) - * p Zr; |
(t + д/)] — о. |
|
(2)
(3 )
д/-*о
3.Вектор состояния подструктуры или элемента конструк ции может быть охарактеризован запоминанием конечного числа соответствующих значений полного числа трещин тц> и характерных скоростей распространения р/г; т. е. любое со стояние подвергающейся растрескиванию конструкции зави
сит только от этих указанных |
выше параметров [6]. |
4. Вектор состояния %[v\,p\t] |
подструктуры или элемента |
конструкции зависит от времени: т. е. разности, отвечающие двум последовательным состояниям
^ \ lkr = Л&Г Л/г> ^Р//г = Р/г Рin
зависят от времени.
С методологической точки зрения анализ состояния меха нической конструкции, подвергающейся растрескиванию, от носится к теории неоднородных нестационарных дифферен цируемых стохастических процессов с дискретным множе ством состояний и конечной памятью [7].
Из свойств 1 и 2 следует, что вероятностная модель по ведения конструкции при наличии в ней трещин может быть представлена в общем случае в виде, использующем, соглас но уравнению (1), символ N (число циклов испытаний) вме сто t:
Pi, * л /. / [Nu N2] = Pit k [Nu N2] Pi, 1 [Nu N2]\ Nu N2 > 0, (4)
выражающем статистическую независимость скорости рас пространения и полного числа трещин.
Свойства 2, 3 и 4 дают следующие выражения для
Pi,k,r[NuN2\ и P,titr[Nu N2]:
[Ч..Г № - |
Л'1)]«,,>'-'|" 'е Хр [-А .., (ЛГ, - |
«,)]. |
(5) |
|
Р/. I. г № , /V,] - р [IV (iV,) - Р,, №)] = |
|
|
||
= иг=Ьог Р - № - |
« р [ - р.., № - |
|
№) |
|
где |
|
Ni |
|
|
|
|
|
|
|
Л..г = |
д/2 __ |
5 |
|
(^) |
|
|
Ni |
|
|
|
|
N2 |
|
|
Р..Г = = |
М2 — Ml |
S Р//Г W ^ |
|
(®) |
— соответственно скорости переходов количества |
трещин |
и |
||
скорости распространения трещин в рассматриваемом интер вале (N1, Л/г) числа циклов испытаний. Соотношение (5) вы ражает вероятность того, что в течение интервала испыта ний (Л^2 — N\) с начальным состоянием y\ir{N\) образуется (Щг — трг) трещин. Аналогично, соотношение (6) дает ве роятность того, что скорость распространения наиболее раз витых трещин в r-й подсистеме за тот же самый интервал
(N2 — N\) |
станет равной pt> при заданной начальной |
скоро |
сти распространения р/г. |
отдель |
|
До сих |
пор соотношения (5) — (8) относились к |
|
ной подструктуре или элементу конструкции. Однако синтез их для получения общей модели поведения всей подвергаю щейся растрескиванию конструкции в целом представляет некоторые трудности ввиду взаимозависимости возникнове ния трещин в отдельных подсистемах, проявляющейся в эф фектах «предупреждения», рассмотренных выше. Прежде чем будет сделана попытка дать упрощенную трактовку процес са, рассмотрим в качестве характерного примера кривую 1 на рис. 1.
Можно убедиться, что осмотры во время испытаний на выносливость для регистрации усталостных трещин и их ско ростей распространения проводились в случайно выбранные моменты времени. Как только в некоторой детали обнаружи вается трещина, деталь либо ремонтируется (в исключитель ных случаях), либо заменяется, так что остаточная прочность детали восстанавливается. Условие устранения трещины, воз никшей при работе всей конструкции, состоит в следующем:
если полное число трещин Хлгг увеличивается с возрастаю
щей. скоростью, то должен быть выполнен ремонт. Это об стоятельство отражено на кривой 1 рис. 1. Таким образом, все слабые звенья определяются и ремонтируются последо вательно в соответствии с основными принципами профи лактического освидетельствования. Эти ремонты необходимы, очевидно, для серийной продукции и летающих самолетов, причем характеристика проверяемого самолета г| становится почти линейной функцией N. Эта линейная функция являет ся касательной к подлинной кусочно-экспоненциальной кри вой. Следовательно, первый член произведения в уравнении
(4) путем использования стационарной пуассоновской ве роятностной модели для описания образования во всей кон
струкции ровно £ ('x\kr — r\ir) трещин за интервал испытания
г
<ЛГЬ Л^г) можно представить в виде
'U? м ? Ч»,<лу
*(Чг~Чг)
т*-------- ^expO-ti-JV). (9)
( V - V ) ] !
Среди всех возможных состояний сложной механической конструкции во время запланированных испытаний на вынос ливость особый интерес для самолетостроения представляют два критических случая (оба связанных с моделью (4)):
( i ) первый случай характеризуется очень низкими или падающими скоростями распространения трещин в основной конструкции;
(И) второй — изменением общего числа трещин. В этом случае растрескивание в конструкции определяется одной или несколькими трещинами, расположенными в зоне, чув ствительной к усталости.
Поэтому обобщенную вероятностную модель растрески
вания, используя уравнения (6) и (9), можно, |
по-видимому, |
||
адекватным образом преобразовать к виду |
|
||
|
2 |
(Чг-Чг) |
|
Pi.kM .ilN ь N2] = |
ц-NV |
х |
|
|
|
||
|
(p..dN fd4d) |
р..d)N], OOj |
|
|
X |
(Id-id) I exp[— (л + |
|
где индекс г = d отвечает доминирующей трещине в чув^ ствительной к усталости конструкции.
3.ОПРЕДЕЛЕНИЕ БЕЗОПАСНОГО СРОКА СЛУЖ БЫ КОНСТРУКЦИИ, В КОТОРОЙ ПРОИСХОДИТ
ОБРАЗОВАНИЕ И РАЗВИТИЕ ТРЕЩИН
Всоответствии с тем, что упоминалось выше для случая
(i)медленного распространения трещин, вероятность (6) бу
дет стремиться к единице, так как переход /- ^ /|/= / скоро сти распространения является наиболее вероятным. Следо вательно, обобщенная модель (10) сводится к уравнению
(9). Теперь введем обозначение предельного состояния си стемы трещин Xlim = xhlim; NSF] для случая (i), переход в которое означает, что, как только полное суммарное число трещин достигло тщт и число циклов N равно NSF, в под структуре, чувствительной к усталости, была обнаружена до минирующая трещина. Определенное таким образом число NSF является оценкой безопасного срока службы конструк ции.
Оценка безопасного срока службы не представляет боль ших трудностей, если исследовать вероятностные характери стики обратного по отношению к хит процесса Мх [тщт ] = = NSF. Согласно теории пуассоновских процессов, вероят ность того, что безопасный срок службы NSF будет больше некоторой заданной априори величины ft, с учетом уравнения
(9) выражается в виде |
|
|
|
||||
P^NSF> k ; |
(л ,1т- Х |
л , г) ] = Я |
| X |
f ; (4im ~ Z |
= |
||
_______й______ |
\ |
(л -JC)V |
' |
' exp (— fi • х) dx. |
( И ) |
||
Г ^Лнт ” |
X |
||||||
NSF |
|
|
|
||||
Практическое применение уравнения (11) как уравнения, полученного из обобщенной вероятностной модели (10), по казано на рис. 2. Оценка безопасного срока службы выпол нена для конструкции самолета, изображенного на рис. 1. Кривая 1 на рис. 1 дает следующие исходные данные:
р = 6; £ т 1,г= 6; т)Ит= 106; |
= 2 .Ы 0 4; N2 = 7,1 • Ю4; |
||||
Г—1 |
^Ит |
2] Л/г |
|
|
|
|
100 |
|
|||
Г\ = |
|
г |
0, 002. |
||
ЛГ2- |
^1 |
5,1 • 104 |
|||
|
|
||||
Для этих данных и R[NSF] = 1 пороговое значение оценки безопасного срока службы NSF, как показано в верхней части
диаграммы при (Лнт ~“ |
Равно 3«104 заплани- |
рованных циклов испытаний. |
|
Р и с . 2. Вероятность R отсутствия усталостных трещин в основной кон струкции (показанной на рис. 1) для заданного числа испытательных циклов Nsp (безопасного срока службы) [1].
4.РАЗВИТИЕ УСТАЛОСТНЫХ ТРЕЩИН В КОНСТРУКЦИИ
Рассмотрим теперь случай (ii), когда поведение конструк ции, подверженной растрескиванию, определяется единствен ной трещиной в зоне, чувствительной к усталости. Вероятно стная модель доминирующей трещины является частным слу чаем обобщенной вероятностной модели (4), а именно
Р [NSF > |
k; pld(NSP) |
pM (NSF + |
AW)] = |
|
” P |
^ |
(^Um |
2 *Ьг)] * ^ |
№ SF) P'd {^SF “Ь ^^01* |
( 12)
Первый сомножитель P [ N S F > ( )] произведения в правой части выражает вероятность наличия в конструкции по край ней мере одной доминирующей трещины после безопасного
срока службы |
N S F . Второй |
сомножитель есть вероятность |
|
(6) при N\ = |
N S F , N 2 = N S F |
+ AN; на |
результат, таким об |
разом, влияет только первый сомножитель. |
|||
Полное суммарное число трещин в |
конструкции после |
||
развития доминирующей трещины, очевидно, равно |
|||
|
(л „т - Е 1 1 <г) + 1. |
(13) |
|
причем 1 отвечает доминирующей трещине. Так как значе ние выражения (13) обычно больше единицы, то с пренебре жимо малой погрешностью получим
? ч")+,]“
(Лит
= Ф |
Лгг^1/2 |
(И ) |
f Лит —X |
|
После подстановки обоих соотношений (6) и (14) в урав нение (12) вероятностная модель развития доминирующей Трещины преобразуется к виду
P [ N S F > |
ри |
(N SF ) ~ * Рid (N S F “Ь &N)] — |
|
||
Л-^SF - |
( |
4 |m~ £ Л*г) |
H r-И |
eXP (~ P ..d • AN) |
|
=Ф |
(Лцт - |
Е Л^у/2 |
(lr ~ jr)I |
||
|
|
(15) |
|||
|
|
|
|
|
|
Физический смысл уравнения (15) с о с т о и т в определении вероятности скачкообразного увеличения скорости распро странения за данный интервал испытаний АN на величину (p/d — рjd) при условии, что был превышен безопасный срок
Службы конструкции NSF-
Этот факт представляет наибольший практический инте рес для анализа физической природы переходов скорости Распространения трещин типа (p/d->p/d) и окончательного Согласования с вероятностной моделью (15).