валась при помощи обоих уравнений и результаты сравни­ вались. Оказалось, что величина трещиностойкости, соответ­ ствующая уравнению (6), в среднем на 7% больше вели­ чины трещиностойкости, получаемой из уравнения (5). По­ этому, так как уравнение (5) для оценки является значи­ тельно более простым, точки, показанные на рис. 2, были получены на основе этого уравнения.

Результаты и обсуждение испытаний компактных образцов на растяжение

Дополнительное сравнение параметров трещиностойкости Ос, Jic, G COD и GIC было проведено на основании испытаний на растяжение компактных образцов нескольких алюминие­ вых и титановых сплавов и сталей. Для большинства этих материалов были проведены серии испытаний, в которых все размеры образца, за исключением толщины w (w = 76,2 мм), сохранялись постоянными. Таким способом можно было оп­ ределить и сравнить влияние увеличения нелинейности с уменьшением толщины на различные параметры трещино­ стойкости. Как и в случае пластин с центральной трещиной, величины трещиностойкости для многих серий опытов оце­ нивались как по началу докритического роста трещины, так и по моменту наступления неустойчивого разрушения. Эти две точки по существу совпадают, когда толщина образца

больше 2 ,5 (K\c/Oys)2.

Для примера на рис. За и 36 представлены результаты серий опытов, проведенных на алюминии 2048-Т851 с LT-ориентацией. На рис. За приведены значения четырех мер трещиностойкости, оцененных по максимуму нагрузки. Вид­ но, что все параметры трещиностойкости увеличиваются оди­ наково, когда толщина образца становится меньше 36,1 мм. Минимальная толщина, при которой разрушение происходит в условиях плоской деформации, больше 25 мм, в то время как предполагаемая минимальная толщина, требуемая для постоянства /ic, 50/ic/cn/s, меньше 2,5 мм. Постоянство Jic, так же как и других параметров, вычисленных при максиму­ ме нагрузки, очевидно, неудовлетворительно. Однако, когда значения трещиностойкости оценивались по началу докри­ тического роста трещины, результаты были совсем другие, как видно из рис. 36. Отсюда видно также, что все значения трещиностойкости, за исключением, возможно, G C O D , совер­ шенно не зависят от толщины образца.

Следовательно, эти результаты и результаты для пластин Q центральным надрезом показывают, что докритичесщий

рост трещины обусловливает большинство нелинейных эф­ фектов, наблюдаемых в испытаниях по определению трещиностойкости, хотя установлено, что для того, чтобы имел ме­ сто докритический рост трещины, необходима пластичность у конца трещины. Результаты всех этих сравнений подтвер­ ждают, что, если необходимо получить отвечающую действи­ тельности меру трещиностойкости для не вполне хрупкого разрушения, то нужно учесть докритический рост трещины

значений 0 Сна основе вычислений методом конечных элемен­ тов и сравнения с соответствующими значениями, получен­ ными нашим методом экспериментальной оценки Gc. Это пер­ воначально осуществляется для случая, когда отсутствует существенный докритический рост трещины, с надеждой рас­ смотреть в ближайшем будущем более общие ситуации.

II.НАПРЯЖЕНИЯ, СМЕЩЕНИЯ И СКОРОСТЬ ИЗМЕНЕНИЯ ЭНЕРГИИ В КОНЦЕ ТРЕЩИНЫ В РАМКАХ ТЕОРИИ

УПРУГОСТИ ПРИ ДВУХОСНОМ НАГРУЖЕНИИ

Вмеханике разрушения более или менее принято, что компоненты напряжений и перемещений в рамках теории уп­ ругости в непосредственной близости от конца прямолиней­ ной трещины при любой геометрии плоского тела с трещи­

ной и любых граничных условиях нагружения, действующего в плоскости тела, могут быть аппроксимированы с приемле­ мой точностью «однопараметрическим» или «одночленным» представлением, т. е. строго в терминах коэффициентов ин­ тенсивности напряжений К\ и (или) /Си, например уравне­ ниями (14), для трещины нормального разрыва

работы видно, что такой способ, хотя и считался длительное время правильным, явно недопустим в качестве общего ут­ верждения [10]. Причина заключается в довольно необосно­ ванном пренебрежении вторым членом в представлении

Р и с . 4. Плоский случай двухосного нагружения пластины с центральной трещиной.

Вильямса компонент напряжений для плоского случая в виде рядов по собственным функциям, вклад которого в пря­ моугольной системе координат хуу не зависит от расстояния от конца трещины. Такой способ может привести к серьезной ошибке как с качественной, так и с количественной точки зрения при предсказании локального напряжения, переме­ щения и связанных с ними величин, представляющих инте­ рес, что, возможно, лучше всего иллюстрируется на примере задачи о двухосном нагружении пластины с прямолинейной центральной трещиной (рис. 4).

Компоненты напряжения и деформации вблизи конца тре­ щины с точным учетом второго члена в разложении в ряд

для задачи о двухосном нагружении имеют вид

Уравнения для упругих напряжений и перемещений, со­ держащих один характеристический параметр, дают непра­ вильные как с качественной, так и с количественной точки зрения результаты для локальных напряжений и перемеще­

как и следовало ожидать. Отметим также, что уравнение (14) представляет правильную аппроксимацию только в случае, когда приложенные растягивающие нагрузки равны, т. 4е. a = 1. Уравнение (14) дает также неправильные результаты для квадрата максимального касательного напряжения:

полученному на основе уравнений (15). Уравнение (18) мож­ но преобразовать к более удобному виду для построения

уровней постоянных максимальных касательных напряжений (см. рис. 5, 6)

< 1 9 >

Результатом того, что второй член в разложении в ряд напряжения не учитывается, является отсутствие существен-

ние; 4 — равнокомпонентное растяжение-растяжение; 5 — растяжение-рас­ тяжение.

ного влияния двухосности приложенной нагрузки на рассматриваемые величины. Предварительные эксперименты с использованием метода фотоупругости подтвердили предсказанное смещение в линиях уровней для двухосного равно­ компонентного растяжения (рис. 6, б) и одноосного растя­

Для сравнения использовался критерий, согласно которому распространение трещины начинается по направлению дей­ ствия максимального нормального растягивающего напря­ жения, хотя пригодность в общем случае этого, быть может,

Ри с . 6. Линии постоянного касательного напряжения как функция двухосности нагрузки а.

слишком простого критерия, недостаточно подтверждена. За отсутствием места математический анализ опускается и при­ водятся только важные выводы, следующие из уравнений (15) и отличающиеся от (14) (см. рис. 7,8). Уравнения (14) предсказывают, что распространение трещины всегда начи­ наемся под нулевым углом к исходному направлению тре­

щины для любых одноосных или двухосных условий нагру­ жения, в то время как уравнения (15) предсказывают, что распространение трещины начинается под углом, когда го­ ризонтальная растягивающая нагрузка достигает величины, примерно в два раза превосходящей вертикальную растяги­ вающую нагрузку, причем этот угол тем больше, чем больше

Р и с. 7. Угол 0о. под которым начинается распространение трещины.

Рис . 8. Зависимость угла 0О, под которым начинается распространение трещины, от двухосности нагрузки а; 1 — из уравнения (15) (качественно согласуется *с экспериментальными результатами).

отношение горизонтальной нагрузки к вертикальной. Этот результат качественно согласуется с экспериментами Киблера и Робертса [И ] по двухосному растяжению.

Важный теоретический вывод, вытекающий отсюда, за­ ключается в том, что в общем случае нельзя заранее пола­ гать при вычислениях величин G — К типа ирвиновских, что прямолинейная трещина всегда будет распространяться в своем первоначальном направлении при любом симметрич­ ном относительно него нагружении, действующем в плоско­ сти тела,

Опуская математические подробности, укажем, что учет вторых членов в разложениях напряжений и перемещений в ряд, т. е. использование уравнений (15), приводит к вы­ воду, что локальная скорость высвобождения энергии упру­ гой деформации также зависит от двухосности нагрузки и имеет вид '

~ = G (г0, а) = А.0 % + А2о\ ( ^ - ) ‘/2(а - 1) = I + И. (20)

В уравнении (20) величина U является общей энергией упругой деформации в локальной области у конца трещины (см. рис. 9) и Аи А2— числовые коэффициенты, которые включают в себя модуль сдвига и коэффициент Пуассона.

Ри с . 9. Локальная область у конца трещины.

Заметим, что при использовании уравнений (14) в уравне­ нии (20) появляется только первый член. Второе слагаемое в уравнении (20) нельзя опустить как «эффект более высо­ кого порядка», поскольку для больших значений а второй член может стать заметным по сравнению с первым (см. табл. 1).

Таблица 1

Ошибка, получаемая при использований уравнения (14) для вывода уравнения (20)

Представляется, что результаты, полученные при помощи уравнения (20), находятся в противоречии с общепринятым мнением, что общая скорость высвобождения упругой энер­ гии для прямолинейной трещины совершенно не зависит от двухосности нагружения [12—14]. По-видимому,здесь имеет­ ся противоречие между тем, что скорость высвобождения упругой энергии может локально зависеть от двухосности на­

грузки и все же, по-видимому, глобально не зависеть отдвухосности нагрузки.

Важный практический вывод из этих результатов связан с возможной зависимостью трещиностойкости при плоской деформации Kic от двухосности нагружения. Наша научная группа проводит дальнейшие теоретические и эксперимен­ тальные исследования этих вопросов.

III.ПОВЕРХНОСТНАЯ ЭНЕРГИЯ

ИВОПРОСЫ КОНТИНУАЛЬНОЙ ТЕРМОДИНАМИКИ

ХРУПКОГО РАЗРУШЕНИЯ

Хотя со времени работ Гриффитса прошло около 50 лет, в теории разрушения остается ряд кажущихся противоре­ чий и парадоксов, которые оставляют фундамент теории на шаткой и неопределенной основе. Например, рассмотрим следующие основные вопросы.

а) Поверхностная энергия, связанная с вновь образую­ щимися поверхностями тела, впервые введенная Гриффит­ сом, входит в соотношения механики разрушения через добавочный член, учитывающий скорость увеличения поверх­ ностной энергии в общем балансе скоростей выделения и по­ глощения энергии (первый закон термодинамики). В резуль­ тате такого добавления, однако, теряется возможность по­ лучения соответствующего уравнения для локального балан­ са скоростей выделения и поглощения энергии как следствия общего уравнения баланса, как обычно делается в конти­ нуальной механике для неразрушающегося тела. Этот факт до сих пор или не был оценен специалистами по механике разрушения, или им пренебрегали.б)

б) Согласно повседневному опыту, разрушение следует рассматривать как необратимый процесс. Тело, однажды разъединенное на две части, не будет самопроизвольно сра­ статься, когда при прочих равных условиях значения прило­ женных нагрузок, которые приводят к разрушению, меняют знак. Из неравновесной термодинамики известно, что необ­ ратимые процессы должны быть связаны с производством энтропии. Необратимое распространение трещины должно тогда каким-то способом вносить вклад в энтропию разделяе­ мого тела, и разрушение следует рассматривать как нерав­ новесный (необратимый) континуальный термодинамиче­ ский процесс. При условиях, которые обусловливают хруп­ кое разрушение, можно с достоверностью предполагать, что

производство энтропии является следствием теплопроводно­ сти. Более того, если упругая среда идеально реагирует на адиабатическое или изотермическое деформирование, то про­ изводство энтропии вообще отсутствует. Как тогда может часть энтропии разделяемого упругого тела, не связанная с теплом, возрастать в соответствии с требованием, что рас­ пространение трещины должно быть причиной увеличения этой величины?

в) Поверхностная энергия играет важную роль в теорети­ ческих вопросах современной механики разрушения. Однако в современной теории нет ясного представления и количе­ ственного понимания поверхностной энергии, связанной с разделением твердого тела. Со времен Гриффитса такая по­ верхностная энергия обычно рассматривается как «константа материала», которой разные исследователи дают различную физическую интерпретацию. Однако из экспериментов из­ вестно, что окружающая среда явно влияет на величину поверхностной энергии. По-видимому, экспериментально до­ казано, что при самоподдерживающемся распространении трещины величина поверхностной энергии влияет на скорость распространения трещины. Эти экспериментальные факты не подтверждают предположения, что поверхностная энергия при распространении трещины является «константой мате­ риала».

В статье [15], которая скоро выйдет, для объяснения во­ просов, поставленных выше, предлагается теория, основан­ ная на общей континуальной термодинамике применительно к разделяемому телу, а также на физическом (атомном) рас­ смотрении. По нашему мнению, ключ к пониманию этих про­

распределения энергетических величин на граничной поверх­ ности твердого тела, несмотря на то что значения плотностей распределений по поверхности будут вообще приблизительно на девять порядков ниже значений соответствующих распре­ делений по объему для твердых тел обычных размеров.

Для примера можно предположить, что некоторая сум­ марная энергетическая величина, например внутренняя энер­ гия, свободная энергия, энтропия и т. д., для некоторого твердого тела состоит из распределения по объему и распре­ деления по поверхности, так что для тел обычных размеров вклад поверхностного распределения будет на много поряд­ ков меньше вклада объемного распределения. Если поверх­ ность деформируется и при движении, то же самое можно утверждать для плотности распределения массы и количества

движения. В континуальной механике неразделяемого тела (которое имеет материально стационарные поверхности, хотя они могут находиться в состоянии движения при де­ формировании) молчаливо пренебрегается всеми распреде­ лениями энергии по поверхности, и это правильно, поскольку разность поверхностных и объемных распределений очень велика.

Для разделяемого тела, однако (см. рис. 10), хотя рас­ пределениями энергии по поверхности на материально ста­ ционарных поверхностях S B = S E + Sc по причинам, изло­ женным выше, можно пренебречь, нельзя сказать то же са­ мое для вновь образуемых при распространении трещины

поверхностей S F (£), которые не остаются постоянными и ко­ торые могут расти со временем очень быстро.

Из-за отсутствия места мы продемонстрируем только следствия, вытекающие из этой точки зрения в отношении общего баланса скоростей выделения и поглощения энергии (первый закон термодинамики)1) и баланса скорости произ­ водства энтропии (второй закон термодинамики), поскольку это прямо относится к вопросам, поставленным вначале. Полное обсуждение условий баланса масс, количества дви­ жения и момента количества движения, а также качествен-*)

*) В этой работе используется неравновесная (необратимая) термо­ динамика в смысле Трусделла — Колемана — Нолла [18, 19], С подроб­ ностями читатель может ознакомиться в работе [15],

Член Г иногда интерпретируется как скорость «диссипации энергии», связанной с распространением трещины, и, со­ гласно Гриффитсу, считается пропорциональным площади поверхности разрушения [20]:

Коэффициент пропорциональности у0 считается констан­ той материала, имеющей различные названия: характерная поверхностная энергия разрушения, истинная поверхностная энергия, кажущаяся поверхностная энергия или иногда даже поверхностное натяжение твердого тела, и поэтому по-раз­ ному физически интерпретируется. Пожалуй, наиболее рас­ пространена интерпретация, согласно которой уо представ­ ляет собой энергию, необходимую для образования единицы

площади новой поверхности. Конечно, то, что Г стоит в пра­ вой части уравнения (26), свидетельствует о том, что рас­ пространение трещины изменяет общую энергию тела. Тем

не менее введение Г посредством уравнения (26) просто под­ разумевает без разумного обоснования, что плотность по­ верхностной энергии вновь образованной поверхности раз­ рушения постоянна, тем самым смысл у0 в некоторой сте­ пени остается неясным. Отметим также, что если подста­

вить Г, определяемое уравнением (26), в правую часть урав­ нения (25), то локальный энергетический баланс скоростей изменения энергии нельзя никак получить в качестве след­ ствия. Насколько известно авторам, этот факт никогда не обсуждался в литературе.

Член, отвечающий скорости изменения поверхностной энергии, как в уравнении (22), так и в уравнении (23), оче­

видно, является обобщением члена Г в уравнении (25). По­ этому кажется, что общее и разумно обоснованное опреде­

ление Г, которое соответствует рассмотрению распростране­ ния трещины как термодинамического процесса, должно иметь вид

где v*(x, /)— плотность термодинамической поверхностной энергии, связанной с поверхностями разрушения, т. е.

Вообще видно, что плотность поверхностной энергии на по­ верхностях распространяющейся трещины физически со­ стоит из энергии, обусловленной деформацией поверхностей

разрушения, которой отвечает ф*, тепла на этих поверхностях 0rf и кинетической энергии, связанной с движением разде­

ляемых поверхностей, V2X*x. Поэтому энергия на поверхно­ стях распространяющейся трещины с термодинамической точки зрения является весьма сложной и, конечно, никоим образом не является универсальной «константой материала».

Общее условие необратимости, так называемый второй закон термодинамики, обобщенное на негомогенные термо­ динамические процессы и модифицированное так, чтобы оно включало поверхностную энтропию, связанную с распро­ странением трещины, требует, чтобы скорость производства энтропии была неотрицательна:

P — общая скорость производства энтропии и п — единичный вектор внешней нормали к поверхности S(t). Здесь подра­ зумевается, что скорость производства энтропии на стацио­ нарных поверхностях незначительна: P [S E + Sc] = 0. Урав­ нение (29) можно представить в эквивалентном виде:

И здесь, если трещина распространяется, поверхностный интеграл не исчезает. Это в свою очередь означает, что ло­ кальное условие необратимости нельзя вывести прямо из об­ щего требования (30). Используя те же соображения, что приводят к уравнению (24) (см. работу [15]), нужно допол­ нительно принять локальные условия производства энтропии для разделяемого тела в виде

В идеализированной линейной теории при отсутствии теп­ ловых эффектов общий баланс скоростей изменения энер­ гии (22), соответствующий хрупкому распространению тре­ щины, принимает вид

Соответственно общая плотность термодинамической поверх­

энергия на поверхностях разрушения, таким образом, со­ стоит из четырех частей: поверхностной свободной энергии в отсчетном состоянии, обусловленной по существу когезион­ ной энергией плоской поверхности; плотности поверхностной энергии деформации, связанной с деформацией поверхностей разрушения; скрытой теплоты на этих поверхностях; кинети­ ческой энергии, обусловленной их движением.

При самоподдерживающемся распространении трещины,, т. е. распространении ее в условиях «фиксированных захва­ тов», при пренебрежении объемными силами скорость изме­ нения всех величин по времени можно теперь отнести к из­ менению размера трещины AF(t). Таким образом, в линеа­

Уравнение (40) является нелинейным уравнением относи* тельно AF и служит основным уравнением для скорости рас* пространения трещины. Оно фактически использовалось Мот­ том, Робертсом и Уэллсом (с несколькими весьма сильными упрощающими допущениями) в качестве отправной точки