МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, 1982, № 5, с. 855—858

УДК 678.067+ 678.02:539.37

В. Т. Томашевский, В. С. Яковлев

ОБОБЩЕННАЯ МОДЕЛЬ МЕХАНИКИ НАМОТКИ ОБОЛОЧЕК ИЗ КОМПОЗИТНЫХ ПОЛИМЕРНЫХ МАТЕРИАЛОВ

Современные исследования по кинетике полей напряжений, возни­ кающих в оболочках в процессе их намотки, методологически базиру­ ются на теории, разработанной в [1, 2] для многослойной навивки каната и проволочного бандажа. Согласно этой теории намотка тел вращения схематизируется концентрически кольцевой моделью, т. е. пространст­ венное тело заменяется плоским кольцом, которое формируется путем последовательного надевания друг на друга с натягом тонких кольцевых слоев. Применительно к намоточным изделиям из композитных полимер­ ных материалов (КПМ) этот подход был развит в [3—9]. Особенности механики намотки оболочек из КПМ, обусловленные фильтрацией поли­ мерной матрицы (ПМ), учитываются введением дополнительных упро­ щающих гипотез. К наиболее простой расчетной модели приводят допу­ щения об однородности, линейной упругости и высокой степени анизотро­ пии КПМ в трансверсальном направлении '[3, 4]. Линейно-упругая постановка дает существенные расхождения с экспериментом [5]. Поэтому были предложены уточненные модели, приводящие к решению плоской осесимметричной задачи для квазиоднородного анизотропного тела с не­ линейно-упругими свойствами в трансверсальном направлении [6]. С целью получения аналитического решения используют кусочно-линейную с подвижной границей слома аппроксимацию экспериментально полу­ ченной диаграммы напряжение—деформация [7].

Следует отметить, что на этапе намотки неотвержденная ПМ не обес­ печивает совместности деформирования армирующих волокон (АВ), ко­ торые представляют собой систему изолированных гибких связей. По­ этому предположения о квазиоднородности и высокой степени анизотро­ пии хотя и отражают суть дела с математических позиций, но искажают физическую природу релаксационных явлений в армирующем материале. Эти обстоятельства были учтены в [8, 9], где КПМ (в рамках кольцевой модели) представляется состоящим из двух фаз — нелинейно-упругого цилиндрически анизотропного армирующего материала (AM) и жидкой несжимаемой ПМ, а релаксация усилий натяжения при намотке из-за фильтрации ПМ находится из совместного интегрирования уравнений равновесия слоев кольца единичной ширины и уравнений сохранения массы ПМ.

Область достоверного применения полученных решений, несмотря на различие постановок задач, зависит от конкретных условий формирова­ ния конструкции, в частности от ее формы, схемы армирования, подат­ ливости оправки, термовязкоупругих свойств ПМ и AM. Очевидно, что кольцевая модель дает удовлетворительное приближение для намоточ­ ных конструкций в форме оболочек вращения, армированных по линиям главных кривизн, например, цилиндрической оболочки с продольно-по­ перечной схемой армирования.

Многочисленными исследованиями (например [10, 11]) показано, что максимальная эксплуатационная надежность конструкций в виде оболо­ чек вращения достигается при укладке AM под некоторым углом к ли­ ниям главных направлений. В этом случае условия, характерные для осесимметричной плоской задачи, нарушаются и, следовательно, кольце­ вая модель приводит к существенным погрешностям. Это требует разра­ ботки более общей модели механики ннмотки изделий из КПМ, свобод­

ной от традиционных упрощающих гипотез, присущих кольцевой схематизации. Первой попыткой в этом плане явились исследова­ ния [12].

Рассмотрим процесс формирования на податливой оправке оболочки произвольной формы общей толщиной Я. Оболочка фор­ мируется путем послойной намотки с На­ чальным усилием натяжения (1Ч0) ленты или полосы AM, предварительно пропитан­ ной жидкой ПМ. Полагается, что усилия натяжения воспринимаются только систе­ мой волокон AM, которые наделяются свойствами линейной упругости и анизотро­ пии. Полимерная матрица считается изо­ тропной слабо сжимаемой вязкотекучей жидкостью, которая занимает все простран­

ство между волокнами AM.

Оболочка задается в ортогональной криволинейной системе коорди­ нат ai {i= 1,2,3), направление которых характеризуется единичными ор­ тами ег (рис.). Координатные линии а\ и ссг совпадают с линиями глав­ ной кривизны наружной поверхности оправки (а3 = 0). Координата а3 определяет положение наматываемой ленты по толщине оболочки. В вы­ бранной системе координат метрика поверхности слоя характеризуется коэффициентами первой ац и второй Ьц квадратичных форм. Главные радиусы кривизны определяются по зависимостям Яц=ацЬц-1.

Кроме этого введем систему координат, связанную с направлением армирования. Положение точек на линии намотки S в этой системе коор­ динат будем определять нормальной и геодезической кривизнами (Rsn~\ Rsr~l) и касательной к 5, которые примем за направление осей подвиж­ ного репера е\ Направляющие косинусы углов между направлениями

Процесс намотки схематизируем как наращивание толщины H(t) оболочки. Величина H(t) в каждый конкретный момент времени нахо­ дится из условия непрерывности намотки. При формировании поверх­ ностного слоя £2(0, соответствующего а3 = # (/), в ленте AM, в силу ее натяжения, создается напряженное состояние, характеризуемое тензо­ ром afl(N0, е1'), а в ПМ, занимающей объем V(t) =vMQ(t)H{t) (vM— ко­ эффициент объемного содержания ПМ), создается неоднородное поле давлений — p(t, а г). Под действием этого поля давления жидкая ПМ, просачиваясь сквозь АВ, фильтрует в направлении убывания градиента давления V/?. В результате нижележащие слои AM получают просадку, характеризуемую вектором смещений u&= uaiei и приводящую к падению усилий натяжения AM. Явление релаксации начального усилия натяже­ ния наблюдается и после завершения формования оболочки полной тол­ щины H(t= то). Оно продолжается (Л>т0) до тех пор, пока V p < 0.

Пусть в момент времени t = t0 сформирована оболочка толщиной Н (t0) с наружной поверхностью Q{t0). Напряженное состояние AM, при­ надлежащего этому слою, найдется по известным уравнениям теории напряжений

И пусть t —x — момент времени, в который мы хотим определить напря­ жения в AM этой же поверхности Q(/0). Разобьем временной интервал, прошедший до момента т, на два периода: первый — от момента U до то — момента окончания намотки оболочки полной толщины #(то) и второй — от то до т, характеризующий продолжительность хранения по­ луфабриката в нсотвержденном состоянии. В свою очередь каждый вре­ менной период разобьем на некоторые малые подынтервалы

Фильтрацию ПМ сквозь слои AM, принадлежащие поверхностям £2(4), будем рассматривать как движение вязкой жидкости в пористых средах.

Слои AM играют роль полупроницаемых преград, обладающих свойством проводить жидкость только в одном направлении — в направ­ лении внешней нормали к поверхности £2(/). Обозначая для каждого ин­

тервала времени v= uM— вектор скорости, р — плотность, <тм и DM— тензоры напряжений и скорости деформаций, I — единичный тензор,

К — тензор констант вязкости, кп, хПр, хс — коэффициенты пористости, проницаемости и сжимаемости ПМ, компоненты вектора перемещений найдем интегрированием системы уравнений, включающей уравнения сплошности для пористой среды [13]

Считая, что при фильтрации имеют место малые деформации, урав­ нения релаксации напряжений AM получаем из системы линейных урав­ нений теории анизотропных тонких оболочек, записанных для слоя й (/о) толщиной hn(t0)/Rij(to) <Cl: геометрические уравнения

Здесь 8а — тензор деформаций слоя Q(to) в момент времени t\ С — тен­ зор упругих констант AM слоя £2(4). Обе группы уравнений (2) — (6) и (7), (8) связаны соотношениями, характеризующими условия полупро­ ницаемости слоев [12] (Vp^sO, фильтрация отсутствует) и кинематиче­ ского взаимодействия AM и ПМ. Кинематические условия очевидны: перемещения АВ, лежащих на поверхности £2(4), должны равняться ве­ личине смещений, вызванных фильтрацией и обжатием ПМ в объеме, ог­ раниченном поверхностью £2(4)

Интегрирование связанной системы уравнений производится при задан­ ных начальных и граничных условиях.

В качестве граничных условий на непроницаемой наружной поверх­ ности оправки £2о(0 принимается требование обращения в нуль нор­ мальной и касательной компонент вектора скорости vM, а также равен­ ства нормальных к поверхности £2о компонент вектора перемещений и тензора напряжений соответственно перемещению и давлению ПМ, т. е.

На поверхности £2(0 сформированного слоя AM в силу отсутствия внеш­ ней нагрузки в каждый момент времени для периода to< U ^xо должно выполняться условие (1), а для периода т о < /< т — требование равен­ ства нулю нормальной к £2(то) компоненты тензора напряжений и дав­ ления