ПОДАТЛИВОСТЬ ОДНОНАПРАВЛЕННО АРМИРОВАННОГО НЕУПРУГОГО МАТЕРИАЛА*

риалов. Результаты вычислений для двух материалов (боропластика боралюминия) приведены на рис. 1, 2. Борные волокна до разрушения при относительном удлинении бв = 0,66% деформируются линейно. Они имеют модуль упругости Еп = 412 ГПа, предел прочности огвп= 2800 МПа; материалы матрицы характеризуются 6Р = 5%, 6AL = 5%, £ рм= 4-12 ГПа; £ ALm=70 ГПа, а3(Рм = 8 МПа, а5,Аьм = 140 МПа, аВ)Рм = 80 МПа, aB)ALM= = 290 МПа. Расчеты проведены при нулевых значениях (аг;0 = 8^° = 0) начального напряженно-деформированного состояния структурных эле­ ментов композиции.

Из соотношений (2), (3) и построенных на их основе зависимостей (кривые 3 на рис. 1, 2) следует, что сопротивление однонаправленно армированного материала является линейным вплоть до уровня дефор­ маций, когда один из составляющих композицию материалов переходит в область пластических деформаций. На линейном участке Е\ и vi совпа­ дают с модулем Е{* и коэффициентом Пуассона viy, определяемым по правилу «смеси». Эффект отклонения от линейности проявляется тем за­ метнее, чем ближе располагаются кривые a ;~ e 2- отдельных материалов, составляющих композицию. Например, у боропластика модули упруго­ сти наполнителя и матрицы различаются на два порядка. В этом случае нелинейные эффекты при растяжении вдоль волокон практически не об­ наруживаются. Для боралюминия как экспериментально [6], так и на основе соотношений (2), (3) (кривая 3 рис. 2) заметна нелинейная об­ ласть на кривой деформирования. Нелинейность начинается с появле­ нием пластических деформаций у алюминия. Для композиций с хруп­ кими волокнами процесс деформирования продолжается до исчерпания несущей способности арматуры. Если наряду с материалом матрицы не­ линейно деформируются и армирующие элементы, как, например, в ком­ позиции никель—стальная проволока, то кривая деформирования в со­

Рис. 1. Кривые растяжения боропластика (ип = 0,68): 1 — смола; 2 — борное во­ локно; 3 — композиция вдоль арматуры; 4 — композиция поперек арматуры; 5 — композиция при сдвиге; 6—10 — композиция при углах армирования 10, 20, 30, 40, 50°

Рис. 2. Кривые растяжения боралюминия (цм= 0,55): 1 — алюминий; 2 — борное волокно; 3 — композиция вдоль арматуры; 4 — композиция поперек волокон; 5 — композиция при сдвиге; 6—9 — композиция при углах армирования 40, 50, 60, 70°.

Здесь и в последующем си, еь 62 — достигнутые на этапе активного на­ гружения значения напряжений и деформаций. Соотношения (2) —(4) при полной разгрузке позволяют оценить остаточные деформации ei° =

= [ l - £ 1(ei)/£’iy]ei; ез°= - [vi (ei)-v iy£i (ei)/£iy]ei. Если предваритель­

ная деформация ei была в пределах пропорциональности, то в соответст­ вии с последним выражением остаточные продольные (ei°) и поперечные

Не входящие в (5) компоненты напряжений и деформаций принимаются равными нулю. Неизвестные функции Е2, v2, g действующего напряже­ ния а2 можно определить в рамках предположений, принятых в [2—4]:

Е2(а2) = (vaa*+vMaM- c + g d ) - 1; v2(a2) = (vllbu+Vblb™+ c -g d )E 2(e2) .

(6)

Здесь с помощью кривых деформирования а^е-г для компонентов ком­ позиции и заданного уровня напряжения сг2 определяются выражения

Продольные напряжения в структурных элементах композиции — а\н =

= (b "-g)o2/au; aiM= (b*l- g ) o 2/aм.

Из соотношений (5), (6) и результатов расчета (кривые 4 рис. 1, 2) для боропластика и боралюминия следует, что определяющими характе­ ристики композиции в ортогональном волокнам направлении являются свойства материала матрицы. На полную деформативность всей компо­ зиции заметное влияние оказало предельное удлинение волокна.

На стадии разгрузки каждый из компонентов композиции деформи­

а остальные компоненты напряжений и деформаций принимаются рав­ ными нулю. Если неизвестную функцию JLI (модуль сдвига) определить, используя принятые в [2] — [4] предположения, то получим

быть получены из кривой деформирования аг~ег [1]. Проведенные для боропластика и боралюминия расчеты (кривые 5 рис. 1, 2) показывают, что сдвиговые характеристики армированного материала определяются свойствами матрицы. При полной разгрузке остаточные сдвиговые де­ формации вычисляются с помощью равенства

6i2°= ( l“ |i(ai2)/fiy)e12.

Здесь jny= (0ц/р,,1+ 0м/Н'М)“1— приведенный упругий модуль сдвига [2, 3].

4. Полученные выше результаты позволяют построить нелинейные физические соотношения между деформациями и напряжениями для трансверсально-изотропного тела. Пусть однонаправленно армирован­

ная структура отнесегга к естественной системе координат — ось Г на­ правлена вдоль арматуры, ортогональные между собой и к оси 1 оси 2, 3 расположены в плоскости изотропии. Пусть напряженное состояние тела определяется компонентами В этом случае, используя принцип су­ перпозиции деформаций, можно получить

6 ц = #11 n o 'll + # 1 1 2 2 0 2 2 + #1133033) 623 = #4444023) 622 = #2211011 + #2222022 +

+ #2233033) 6l3 = #55550l3) 633 = # 3 3 1 1 0 1 1 + # 3 3 2 2 0 2 2 + #3333033) 612 = #6666012-

( 10)

В соотношениях (10) компоненты тензора податливости а^тп выража­ ются через определенные выше параметры [см. равенства (3), (6), (9)] жесткости следующим образом:

Если оси координат 1, 2, 3 не совпадают с главными осями симмет­ рии однонаправленно армированной среды, то заданный тензор напря­ жений Oij необходимо с помощью соотношений o'rs= qraOas спроектиро­ вать на направления Г, 2', 3', совпадающие с осями симметрии однонаправлеино армированного тела. Компоненты тензора преобразования qrа связаны с направляющими косинусами известными соотношениями [7]. В системе координат Г, 2', 3' физические соотношения (10) позволяют определить компоненты тензора деформаций e'ij. Если теперь реализо­ вать обратный переход — выразить компоненты тензора деформаций eij в основной системе координат 1, 2, 3 через e'ij с помощью формул eij = - qpie'jfi, то можно получить

Выражения компонент тензора податливости Aijmn через технические постоянные для ортотропного тела приведены, например, в [7]. В отли­ чие от [7] технические «постоянные» являются здесь нелинейными пара­ метрами среды и тензор податливости Aijmn получен без использования упругого потенциала.

Кривыми 6—10 на рис. 1, 2 представлены вычисленные с помощью зависимостей (11) соотношения между осевыми деформациями и напря­ жениями при одноосном растяжении армированных под различными уг­ лами стержней. На стадии разгрузки вид соотношений (11) сохраняется. Однако в этом случае под eZJ- и оц следует понимать разности между те­ кущими (e'ij, o'ij) и достигнутым на активном участке деформирования (е\j, Oij) значениями компонент тензоров деформаций и напряжений, и кроме этого «переменные параметры упругости» следует заменить их уп­ ругими значениями.

5. Кривые нелинейного деформирования армированных материалов различной структуры могут быть построены экспериментальным путем (см. [6, 8]). Однако многообразие этих материалов и большое число технологических факторов, влияющих на характер их деформирования, делают экспериментальный способ построения кривых деформирования неэкономичным; это обстоятельство обусловило развитие аналитических методов (например, [9—12], настоящая работа). Полученные соотно­ шения (2) —(9) позволяют расчетным экспериментированием оценить влияние различных параметров (объемного содержания, температуры — с помощью изотермических кривых деформирования, времени — с по­ мощью изохронных кривых и т. д.) на нелинейный характер деформиро­ вания армированного материала. При разработке аналитических спосо­ бов построения кривых деформирования необходимое и достаточное число реперных экспериментальных сведений должно быть минималь­ ным. В этом плане приведенные результаты выгодно отличаются, напри-

МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, 1982, М 5, с. 789—796

УДК 539.3:666.97

Ю.В. Осетинский, А. М. Подвальный

ОВЫБОРЕ МОДЕЛИ ДЛЯ РАСЧЕТА СОБСТВЕННЫХ

НАПРЯЖЕНИИ В БЕТОНЕ

Необходимость оценки собственных (структурных) напряжений в бетоне и других зернистых композитах возникает при решении теорети­ ческих и прикладных проблем, связанных с получением, исследованием и применением этих материалов. Для бетона, типичного зернистого ком­ позита, оценка собственных напряжений важна при выборе его состава, назначении режима ускоренного твердения, изучении стойкости и долго­ вечности, расчете железобетонных конструкций и пр. Определение структурных напряжений связано со значительными трудностями; на­ дежные способы их измерения (косвенной экспериментальной оценки) отсутствуют.

Расчет напряжений требует выбора структурной модели бетонного композита. Модели отличаются одна от другой главным образом сте­ пенью отражения реальной структуры материала. Для суждения о влия­ нии различия моделей на устойчивость решения задачи об определении напряжений, а также на соответствие таких решений самому изучаемому явлению целесообразно сопоставить решения, получаемые на различных моделях.

В работах [1—5] для объяснения ряда особенностей поведения бе­ тона при усадке, температурных воздействиях и сжатии использовано представление о бетонном композите как о плоской упругой матрице, в которую включены соединенные с нею круглые диски, образующие орто­ гональную регулярную систему. При этом, естественно, возникают во­ просы, в какой мере на величину и характер распределения напряжений влияет тип структуры, положенный в основу расчета, и действительно ли с помощью модели упорядоченной структуры (типа представленной на рис. 1) можно выявить устойчивые закономерности поведения бетона, которому присуще практически неупорядоченное, хаотическое располо­ жение включений, имеющих к тому же неправильную форму?

Пытаясь найти ответ на эти вопросы, выясним вначале, не приведет ли изменение типа модельной структуры к существенному изменению ве­ личины и характера структурных напряжений. Для этого, наряду с орто­ гональной (см. рис. 1), рассмотрим треугольную решетку (рис. 2). Сопо­ ставление результатов расчета, выполненного с помощью этих, а также других моделей, послужит основанием для выводов, касающихся выбора модели и влияния типа модельной структуры на величину и распределе­ ние собственных напряжений в композите.

В качестве модели композита рассмотрим пластинку, имеющую регу­ лярную систему круглых равновеликих отверстий, в которые впаяны упругие диски. Предполагается, что пластинка и диски нагреты на Т градусов и что материал пластинки и дисков подчиняется закону Дюа- меля—Неймана. Подобно тому, как это сделано в работах [1—5], будем считать, что на достаточном удалении от края пластинки существует зона, деформированное состояние материала которой вполне определя­ ется деформированным состоянием материала отдельной ячейки, пока­ занной штриховкой на рис. 1 и 2. Решение поставленной задачи удобно выполнить методом функций комплексной переменной [6—8], распро­ странив приемы, изложенные в работе [8], на случай температурных (усадочных) напряжений в регулярной решетке.

Как известно (см., например, [6J), при нагревании тела на Т граду­ сов, сопровождающемся плоской деформацией, возникают напряжения

где а* = 2а(Я + |я); Т — постоянная для всей плоскости величина. Заме­ тим, что в случае усадки член а*Т следует заменить на —гЕ, где —е — деформация усадки. Поскольку в рассматриваемом случае сумма норг мальных напряжений является гармонической функцией, то нетрудно получить равенство

2\i(u + iv) = щ (г) —zq/(z) —ф(г) +2а \iTz,

которое отличается от формулы Колосова—Мусхелишвили [6] последним членом, отражающим влияние нагрева на величину перемещений точек тела. В результате дифференцирования этого равенства по дуге окруж­ ности и некоторых простых преобразований получим формулу

d

2\ielQ —-(iti + v) =хФ (т) —Ф(т) + [тФ'(т) + гР,(т)]е2‘,0 + 2а|хГ, (1)

иО

отличающуюся от выражения, приведенного в работе [8], последним чле­ ном правой части.

Между матрицей и включением возникают силы взаимодействия, ко­ торые можно представить так:

— 00

где i — мнимая единица; А2и — вещественные числа. Обозначив потен­ циалы, определяющие напряженно-деформированное состояние включе­ ния (см. рис. 2), через Ф- (г) и ^ “ (г), запишем условие взаимодействия матрицы и включения в виде (см., например, [6]):

Разложим Ф~ и ЧГ_ в ряды Тейлора:

оо оо

CM

Г Ы /С"

4 ^ mR^-

Рис. 1. Плоская континуальная модель бетонного композита с ортогональным квадрат­ ным расположением включений. Заштрихованная область — элементарная расчетная ячейка в матрице.

Рис. 2. Модель бетонного композита с треугольным расположением включений; abcde — элементарная расчетная ячейка.

Поскольку на контуре включения (см. рис. 2) z=re2ie, то с помощью

(2)—(4) нетрудно выразить а2;( и a'2h через A2/t. Таким образом, полу­ чаем зависимости

оо

рис. 2) вдоль осей х и у. При этом граничное условие (1) можно предста­ вить в виде

Здесь R* = 2a\\i\T. Нижний индекс 1 относится к величинам, характери­ зующим свойства материала включений (отсутствие индекса характери­ зует материал матрицы).

Рассмотрим далее деформации матрицы. Поскольку к контуру от­ верстия в матрице приложены силы (2), то, обозначив <D(z) и 4f(z) потенциалы, определяющие напряженно-деформированное состояние матрицы, запишем граничное условие (3) в виде

При этом функции Ф и Т определяют двоякопериодическое напряжен­ ное состояние матрицы и могут быть представлены в виде разложений в ряды производных «пэ»-функций Вейерштрасса и функций Q(z) Натанзона [8]:

оо

Для решения конкретных задач вместо (6) удобно применять лоранов-

следующим граничным условием: перемещения точек контура включения равны соответствующим перемещениям точек контура отверстия, т. е.

коэффициенты при одинаковых степенях е, получим бесконечную сис­ тему уравнений относительно указанных выше коэффициентов разло­ жений.

Для приближенного решения достаточно в разложениях комплексных потенциалов, описывающих напряженно-деформированное состояние матрицы и включения, удержать несколько первых членов. При значе­ ниях г (см. рис. 1 и 2), не очень близких к единице, можно получить удовлетворительные результаты, ограничившись системой двух—четы­ рех уравнений. Поскольку концентрация заполнителя в бетоне обычно соответствует г^ 0,8, то изложенная методика приближенного определе­ ния структурных напряжений в бетоне представляется эффективной.

На рис. 3 приведена эпюра нормальных напряжений в ячейке модели бетона, имеющей вид, показанный на рис. 2. Вычисления выполнены по

рис. 3) находим максимальное напряжение в матрице при 7 = 40° С; о = = 1,22-2-40- 12- Ю ^-в- 103 = 9,4 МПа.

Расчеты показали, что при температурных изменениях и усадке воз­ никают значительные растягивающие напряжения, которые могут явиться причиной появления трещин и разрушения; при г ^ 0,8 напря­ жения во всех точках заполнителя имеют один и тот же знак; при г 0,6 напряженное состояние заполнителя близко к однородному; в исследо­ ванных случаях максимальные напряжения возникают в матрице на кон­ такте с включением (точка b на рис. 2) — на прямой, соединяющей центры соседних включений; напряжения в различных точках матрицы, как правило, могут иметь разные знаки и существенно различаются по величине; графики зависимости напряжений в характерных точках мо­ дели от отношения модулей упругости заполнителя и цементного камня (EJE) при коэффициенте концентрации заполнителя у= 0,54 имеют один и тот же характер, независимо от того, какая модель (ортогональная или с треугольной системой включений) лежит в основе расчета.

Формулы для расчета упругих напряжений в модельной ячейке ком­ позитного материала верны в том случае, если не нарушена сплошность структуры и в частности не произошло нарушения сцепления между матрицей и включением. Эксперименты свидетельствуют о том, что раз­ рушение вследствие высоких собственных напряжений происходит путем появления локальных повреждений — трещин — и их накопления при повторяющихся воздействиях. Критической обычно считается потеря прочности на 15—20%. Разрушение сравнительно небольшого числа структурных элементов, как это можно заключить и из настоящего ис­ следования, по-видимому, слабо влияет на напряженное состояние не­ разрушенных ячеек. Этим можно объяснить то, что рассмотренные в настоящей статье модели, в частности одиночная модель [9], дают опи­ сание поведения бетона не только в одном цикле, но и в многоцикловом испытании [10].

Мгновенно-упругие напряжения ст0, вычисленные на основе изложен­ ного подхода, уменьшаются вследствие ползучести матрицы. Релаксация напряжений при усадке может внести существенные коррективы в оценку напряженного состояния композита. Напряжения с учетом ползучести

H*(t, т) для типичных бетонов приводятся в [11]. Расчеты показали, что в условиях, например, замораживания и оттаивания, продолжительность цикла которого обычно невелика и которому подвергается, как правило, «зрелый» бетон, значение //*(/, т) близко к 1 и влияние ползучести на релаксацию собственных напряжений ограничивается первыми 10—15 циклами.

Наряду с моделями с регулярной (ортогональной и треугольной) системой включений для описания поведения бетона могут быть приме­ нены более простые («одиночные») модели — трехмерная в виде шаразаполнителя, заключенного в упругую оболочку-матрицу [9, 10], и плос­ кая, в виде круглого упругого диска, скрепленного по контуру с упругим кольцом (рис. 4). В случае первой из двух названных моделей напряже­ ния определяются по формулам

Поскольку для бетона обычно vi«v< и изменение коэффициентов Пуас­ сона в реальных пределах сравнительно слабо влияет на значения нап­ ряжений сте и сгг, формулы (10) получены при указанном выше упрощаю­ щем предположении.

Одиночная плоская, континуальная модель с треугольным располо­ жением включений и ортогональная модель с упругими дисками исполь­ зованы в настоящей работе наряду с применявшимися другими авторами моделями для расширения круга сравниваемых моделей.

Рис. 4. Одиночные плоская (диск в кольце) и трехмерная (шар в сферической оболочке) модели бетонного композита.

преодоление определенных трудностей, связанных с расчетом напряже­ ний в этих моделях, оправдано.

Но часто наибольший интерес представляет определение максималь­ ных напряжений, вызывающих появление трещин. Расчеты свидетельст­ вуют о том, что для концентрации включений, характерных для реаль­ ных бетонов, влияние соседних зерен нс приводит к значительному изменению (по сравнению с одиночными моделями) зависимости мак­ симальных напряжений от различных факторов. Близость результатов, полученных при исследовании различных моделей, следует, вероятно, рассматривать как экспериментальный факт, который трудно было бы предсказать на основании априорных соображений.

В то же время аналитические выражения для напряжений (9) и (10) в одиночных моделях по сравнению с решениями для континуальных моделей обладают рядом достаточно очевидных преимуществ. Входящие в них параметры имеют ясный физический смысл и легко интерпретиру­ ются в терминах структуры и внешнего воздействия. Так, например, Ri/R — относительная объемная концентрация включений в бетоне; ось а — температурные (или влажностные) свободные деформации ком­ понентов; Т — интенсивность внешнего воздействия, в частности харак­ теризующий ее температурный (или влажностный) интервал. Расчет напряжений в одиночных моделях не требует сложной вычислительной техники и легко обозрим.

Полученные результаты позволяют предположить, что иные плоские континуальные модели с регулярным расположением равновеликих включений, равно как и трехмерные континуальные модели с шаровыми включениями вряд ли дадут качественно новую информацию по сравне­ нию с той, которую доставляют изученные модели.

Выше было отмечено, что, несмотря на, казалось бы, крайний схема­ тизм моделей, они позволяют получить в целом верное описание свойств композита. Объяснение этого, по-видимому, заключается в следующем. Вокруг каждого включения в композите возникает поле напряжений, которое при одной и той же матрице определяется характеристиками (формой, размерами и пр.) включений. Поскольку число включений весьма велико и, следовательно, велико разнообразие индивидуальных особенностей отдельных включений, то результаты влияния этих факто­ ров в определенном смысле устойчивы: свойства композита практически не зависят от колебаний в некоторых границах формы, размеров, взаим­ ного расположения отдельных включений. Таким образом, проявляется закономерность, аналогичная закону больших чисел. Это обстоятельство предопределяет эффективность использования моделей для описания ос­ новных свойств композита. По-видимому, модели выбраны так, что, не­ смотря на различия между ними, все они описывают устойчивые особен­ ности поведения бетонного композита.

С П И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

2.Горчаков Г И., Орентлихер Л. П., Лифанов И. И., Мурадов Э. Г Повышение трещиностойкости и водостойкости легких бетонов для ограждающих конструкций. М., 1967. 168 с.

3.Москвин В. М., Осетинский Ю. В., Подвальный А. М. Об определении струк­ турных напряжений в бетоне при усадке и температурных воздействиях. — Строит, ме­ ханика и расчет сооружений, 1974, № 5, с. 18—21.

4.Москвин В. М., Подвальный А. М., Осетинский Ю. В. О расчете структурных

напряжений в бетоне при усадке. — В кн.: Проблемы ползучести и усадки бетона. М., 1974, с. 162— 166.

5.Москвин В. М., Осетинский 10. В., Подвальный А. М. Определение структурных напряжений, возникающих в бетоне при сжатии. — В кн.: Повышение коррозионной стойкости бетона и железобетонных конструкций. М., 1975, с. 65—72.

6.Мусхелишвили П. И. Некоторые основные задачи математической теории упру­ гости. М., 1954. 647 с.

7. Матанзон В. Я. О напряжениях в растягиваемой пластинке, ослабленной одина­ ковыми отверстиями, расположенными в шахматном порядке. — Мат. сб., 1935, т. 42,

№5, с. 617—633.

8.Григолюк Э. И., Филыитинский JI. А. Перфорированные пластинки и оболочки.

М., 1970. 556 с.

9. Горчаков Г. И., Лифанов И. И., Терехин Л. Н. Коэффициенты температурного расширения и температурные деформации строительных материалов. М., 1968. 207 с.

10.Подвальный А. М. Расчетная оценка факторов, влияющих на морозостойкость бетона. — Инж.-физ. журн., 1974, т. 26, № 6, с. 1034—1042.

11.Арутюнян Н. X. Некоторые вопросы теории ползучести. М.: Л., 1952. 323 с.

12.Лесов А. Е. К макроструктуриой теории прочности бетона при одноосном сжа­ тии. — В кн.: Технология и повышение долговечности железобетонных конструкций. М., 1972, с. 4— 17.