УДК 678.067:678.02:539.3

Ю. И. Каторжное, В. А. Поляков, В. В. Хитрое

НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ПОЛЫХ СТЕРЖНЕЙ ИЗ КОМПОЗИТОВ ПРИ КРУЧЕНИИ

1. Создание слоистой структуры и заданной анизотропии свойств материала в намоточных стержнях из композитов потребовало обосно­ ванной оценки их несущей способности. В тонкостенных стержнях замк­ нутого профиля предельные нагрузки могут определяться разными ме­ ханизмами исчерпания прочности или устойчивости. Возможность пере­ хода к местной потере устойчивости связана с уменьшением толщины стенки стержня, используемого в облегченных конструкциях. В этой связи представляется целесообразным исследовать влияние формы по­ перечного сечения и схемы укладки арматуры на предельные нагрузки при кручении типовых стержней из углепластика.

В работе на двух типоразмерах стержней из углепластика исследо­ вались предельные нагрузки и характер разрушения стержней при кру­ чении. Управляющими параметрами являлись относительные размеры стержня, форма сечения и соотношение слоев при продольно-попереч­ ной укладке волокон. Цель работы состояла в выявлении влияния кон­ центрации напряжений, связанной с формой профиля, на прочность при сдвиге и в определении соотношения слоев профиля с минимальной толщиной стенки, обеспечивающего наибольший крутящий момент при потере устойчивости.

2. Использование элементарных моделей Кирхгофа — в случае из­ гиба, мембранной аналогии — в случае кручения и растяжения—сжа­ тия — при проектировании тонкостенных слоистых стержней из компо­ зитов не имеет к настоящему времени исчерпывающего эксперимен­ тального обоснования. Специфика, вносимая слоистостью материала, анизотропией его свойств, высокомодульностыо волокон и свойствами полимерной матрицы, изучена недостаточно. Необходима оценка этих факторов при определении несущей способности стержня с различной конфигурацией сечения.

табл. 1. В таблице стержни каждого профиля расположены по возрастанию доли окружных слоев Я2. Значение /Р соответствует рабочей длине (без учета опор). Рас­ смотрены одинаковые схемы продольно-поперечного армирования для стержней обоих типов. Материал стержней — углепластик со следующими характеристиками моно-

Рис. 1. Расположение тензодатчи­ ков и геометрические параметры исследуемых стержней: а — круг­ лых; б — коробчатых.

* Указан диапазон изменения осевых напряжений перед началом разрушения.

стержней обоих типов оказались нелинейными. Типичные кривые де­ формирования для каждой схемы армирования в координатах т ~ у приведены на рис. 3. Различие между величинами уи y'i на одном стержне не превышало 10%, следовательно, выбор геометрии образца и конструкция опор обеспечивали однородность деформированного со­ стояния по толщине стенки стержня. Усредненные по числу испытан­ ных образцов результаты опытов приведены в табл. 2. Здесь же в большинстве случаев под чертой указаны доверительные интервалы при доверительной вероятности 0,95. Модули сдвига, определенные че­

Здесь h , du — толщина, диаметр или длина стороны профиля соответ­ ственно.

Расчет Gv,((p) проводился в пределах линейных участков кривых на рис. 3. С учетом доверительных интервалов модули сдвига, определен­ ные по одной из указанных зависимостей, следует считать одинако­ выми для стержней обоих типов и равными модулю сдвига однонап­ равленного материала монослоя G\\±. Отдельные отклонения хорошо согласуются с вариацией коэффициента объемного армирования. Необ­ ходимо отметить, что согласно полученным данным (см. табл. 2) во

Р и с . 3. Диаграммы деформирования круглых (а ) и коробчатых (б ) стержней. Цифры на кривых соответствуют обозначениям по табл. 1.

всех случаях G<p<Gv. Это обстоятельство, связанное с расхождением жесткости материала на сдвиг, определенной по замеру интегральной характеристики ф и по деформации у> следует отнести к неучету имев­ шей место податливости опорной обоймы. Контакт стержня с опорой осуществлялся через слой Вуда (см. рис. 2 ) , который не обеспечивал абсолютной жесткости сцепления. Угол закручивания замерялся по взаимному провороту траверс при передаче крутящего момента через

между ближними либо дальними основаниями конических опор. В табл. 2 эта характеристика приведена при выборе мерной базы изме­ рения /р, равной рабочей длине образца. В случае выбора базы изме­ рения, равной расстоянию между дальними основаниями опор, т. е. всей длине испытываемого стержня (/р = /), получаем, что GJGy> \. Для коробчатого стержня указанное относительное значение параметра отличалось от единицы меньше, чем для стержня кольцевого сечения. Таким образом, экспериментально выявлено, что неучет податливости опор рассмотренного типа может внести погрешность в определение мо­ дуля сдвига Gin. Более корректно определение сдвиговой жесткости ма­ териала стержня по деформациям у.

Оценку несущей способности испытанных стержней при кручении устанавливали по предельной величине касательных напряжений, рас-

Мк

и т= 2 dn2h — для квадратного сечения. Заметим, что с точки зрения

слоистой модели материала, изготовленного продольно-поперечной на­ моткой (ППН) волокон, касательные напряжения т, появившиеся от крутящего момента, не меняются по толщине стенки стержня вследст­ вие одинакового значения модуля сдвига однонаправленного материала G||j_ под углом 0 и 90°. По этой причине следовало проверить, что по­ рядок укладки ППН стержней и соотношение числа слоев не влияют на предельную величину крутящего момента и стержни с различным соотношением слоев эквивалентны в смысле сопротивляемости кру­ чению.

Вид разрушения круглых стержней представлен на рис. 4—а, б. Оно происходило от сдвига как в осевом, так и в окружном направле­ нии в соответствии с ориентацией площадок, по которым действуют касательные напряжения. Предпочтительность тех или иных площадок, вероятно, обусловлена случайными причинами. Предельные касатель­ ные напряжения тПр приведены в табл. 2. Видно, что доверительные

оно во всех случаях, исключая стержни 9, 10, происходило по ребру на стыке двух граней (рис. 4—в) и характеризовалось внезапным хрупким растрескиванием. Напряжения az оказались на порядок ниже, чем у стержней кольцевого сечения. Разрушение стержней по ребру в ряде случаев сопровождалось резкой переменой знака осевых напряжений сг2, которые становятся сжимающими (см. табл. 2). Это, очевидно, вы­ звано перераспределением усилий после появления трещины. На осно­ вании вида разрушения при оценке несущей способности учитывалась концентрация касательных напряжений на ребре. Из решения линейной задачи теории упругости для однородного ортотропного стержня с пря­ моугольным сечением находили коэффициент концентрации касатель­ ных напряжений на входящем углу полости стержня (точка А на рис. 1—б). Его приближенное значение можно получить из работы [1], в которой решение отыскивалось по методу малого параметра, когда р~Л<я?п:

Как видно из (1), (2), коэффициент концентрации напряжений, полу­ ченный на основании модели однородного стержня с неизменным по сечению модулем сдвига G2Q, не зависит от анизотропии упругих свойств и, следовательно, от соотношения продольных и поперечных слоев уг­ лепластика в испытанных стержнях.

Сравнение предельных напряжений в круглых стержнях с макси­ мальными напряжениями при разрушении стержней квадратного про­

совпадение, так что для стержней квадратного профиля можно при­ нять £т=т*. Более высокие коэффициенты армирования %не оказывают влияния на величину тПр. Такой вывод находится в соответствии с экс­ периментальными результатами работы [3]. Таким образом, при оценке несущей способности при кручении стержней квадратного профиля, намотанных из углепластика, необходимо учитывать концентрацию на­ пряжений на ребре, которые с допустимой для практики точностью рассчитываются через представленные в (1), (2) коэффициенты.

Отметим особый характер разрушения при кручении стержней 9 и 10 (рис. 4—г). Разрушающие напряжения этих стержней с учетом кон­ центрации заметно ниже остальных (см. табл. 2). Так как указанные стержни имели сравнительно низкие толщины стенки, причиной разру­ шения, по-видимому, является потеря устойчивости грани. В момент разрушения наблюдалось искажение поверхности грани стержня с по­ следующим ее расслоением.

При расчете на устойчивость полого стержня прямоугольного про­ филя следует исходить из модели, представляющей нагружение одной из его граней [4]. В случае кручения принимается, что касательные усилия равномерно распределены по периметру, граничные условия на нем смешанного типа — противоположные стороны попарно оперты и защемлены. Полагая, что в докритическом состоянии начальная погибь грани, вызванная кручением, несущественно влияет на баланс энергии при бифуркации, можно ограничиться расчетом предельного значения крутящего момента исходя из выражения для критического усилия при

тем интегрирования по толщине стенки. При расчете через упругие характеристики монослоя некоторая погрешность вносится в значения: исходных параметров. Это объясняется тем, что свойства однонаправ­ ленного материала в силу причин, связанных с технологией намотки, не во всех случаях следует отождествлять со свойствами монослоя в готовом изделии из многонаправленного композита.

Рассматривая трехслойный углепластик, использованный в исследо­ ванных ППН стержнях, сравним значения цилиндрических жесткостей, подсчитанных интегрально через упругие характеристики монослоя и геометрические параметры структуры материала с соответствующими характеристиками цилиндрической жесткости квазиоднородного ортотропного композитного материала [5]. Введем относительные величины для цилиндрических жесткостей

где в качестве эталона принимается минимальная цилиндрическая жесткость, соответствующая поперечному направлению при укладке всех волокон по толщине стенки в направлении оси стержня:

Используем далее параметры структуры Ни Я2, равные соответственно относительному содержанию волокон в осевом и окружном направле­ ниях, так что Н\+Н2=\. В случае трехслойной структуры стенки стер­ жня при внутреннем расположении волокон с окружным армированием (Яг) получим следующие формулы для относительных значений цилин­ дрических жесткостей:

а жесткость Л3 не меняется по сравнению с (9). Отметим, что модули упругости однородного композита, входящие в (6), вычисляются по правилу смесей: Ег=Е±+ (E$—E±)Hi; Ев=Е^ + {Е±—Е\\)Ни а G0z = Gin.

Из сравнения (6), (9) получим коэффициенты, связывающие отно­ шения цилиндрических жесткостей [5], рассчитанные по однородной и трехслойной модели стержня с внутренним расположением окружных

В случае расположения слоев осевого направления посередине сечения

3. Соотношение и последовательность укладки слоев ППН стержней не влияют на величину предельных напряжений при разрушении по ребру.

4. В случае потери устойчивости грани коробчатого стержня вели­ чина предельного крутящего момента зависит от указанных структур­ ных параметров ППН стержней.

СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1.Арутюнян Н. X., Абрамян Б. А. Кручение упругих тел. М., 1963. 686 с.

2.Тимошенко С. Л. Теория упругости. М.; Л., 1937. 756 с.

3.Желяков Ж., Данилова И., Соколова Т. Исследование прочностных и дефор­

мационных свойств трубчатых образцов из полимербетона в условиях чистого сдвига. — Физ.-хим. механика (София), 1977, т. 3, с. 28—33.

4.Вольмир А. С. Устойчивость деформируемых систем. М., 1967. 987 с.

5.Лехницкий С. Г. Анизотропные пластины. М., 1957. 463 с.

МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, 1982, М.? 5, с. 875—879

УДК 678.067:678.02:620

Л. Н. Рассудов, В. Н. Мядзель, В. М. Водовозов

ВЛИЯНИЕ ПАРАМЕТРОВ ПРИВОДОВ АРМИРУЮЩИХ МАНИПУЛЯТОРОВ НА ТОЧНОСТЬ ФОРМИРОВАНИЯ СТЕКЛОПЛАСТИКОВЫХ ОБОЛОЧЕК

В [1] определено влияние инерционности звеньев армирующих мани­ пуляторов (AM), длины узла схвата и распределенных упругостей на построение программных движений (ПД). Продолжая исследования в этом направлении, а также углубляя результаты, полученные ранее в [2] и [3], в настоящей работе рассмотрим операторный метод расчета ошибок воспроизведения ПД исполнительными механизмами, выведем уравнения связи ошибок отдельных механизмов AM с ошибкой на по­ верхности армируемого изделия, а также синтезируем алгоритм адап­ тивного управления механизмами с целью снижения поверхностной ошибки.

На рис. 1 представлена схема замотки оправки положительной кри­ визны. Натянутый между точками С и К свободный участок армирую­ щего материала лежит на касательной к линии намотки, следовательно, он принадлежит соприкасающейся плоскости S, образованной касатель­ ной V и главной нормалью А. Поэтому всякое отклонение б точки схода от S при движении точки С в плоскости, образованной направляющими салазок и укладчика, вызывает ошибку на поверхности изделия.

Векторная ошибка б многокоординатного AM, возникающая под действием возмущений со стороны материала и из-за нестабильности приводов координат, полностью определяется параметрами последних. Состояние обобщенной системы приводов (рис. 2) будем оценивать век­ торами входного воздействия

и выходного отклонения координат

где г= 1,2,... — номер координаты; п — порядок характеристических полиномов уравнений, описывающих движение координатных приводов;

Рис. 1. Схема замотки оправки положитель­ ной кривизны: G — траектория ПД испол­ нительных механизмов; С — текущая точка схода армирующего материала с укладчика; К — точка касания армирующим материа­ лом поверхности изделия; Ф, Z, Р — ци­ линдрические координаты точки схода; Ф, р — цилиндрические координаты точки касания; хи х2, х3 — координаты декартового пространства. 1 — оправка; 2 — линия намотки; 3 — плоскость салазки—уклад­

чик.

Переходные функции yr(t) в выражениях для контурных ошибок определяются параметрами приводов координат, обычно построенных по принципу подчиненного регулирования [4] с характеристическими по­ линомами не старше третьего порядка и частичной компенсацией ско­ ростных ошибок:

г = 0,1

где Т — некомпенсируемая малая постоянная времени; аь а2, Яз — пара­ метры настроек соответственно контуров скорости, положения и компен­ сации скоростной ошибки. При этом соответствующие рассмотренным в табл. 1 типовым режимам и уравнениям (3) изображения переходных процессов по координатам могут быть представлены в обобщенном виде:

значения параметров которого сведены в табл. 2. На рис. 4—а представ­ лены полученные по (4) переходные процессы при отработке режима перехода с прямой на окружность, а на рис. 4—б — режима отработки прямого угла для восьми соотношений параметров приводов. Приведен­ ные кривые характеризуют величину динамических ошибок воспроизве­ дения ПД как функцию параметров исполнительных механизмов AM.

Выведем теперь уравнение связи ошибок механизмов AM с ошибкой на поверхности армируемого изделия. От выражения для произвольной плоскости в правой декартовой системе координат

Р ис. 3. Рис. 4 .

Рис. 3. Пояснения в тексте.

Рис. 4. Переходные процессы при отработке режима перехода с прямой на окружность

где 6r — ошибка по координате г; п[п\, «2. «з] — вектор, нормальный к плоскости (5), перейдем к уравнению соприкасающейся плоскости S (см. рис. 1):

(5), получим уравнение плоскости (5) в цилиндрических координатах. Длина вектора

схода С. Сопоставление (5) с (7) и (8) дает необходимые компоненты вектора В как функции координат ПД:

nP= PZW -2PMZM; n<j,= - P M Z W + (P M - P )Z M ] nz = 2 P ^ 2- P P W + P2)

причем индексом у в (9) отмечены координаты отработки, а показатели в скобках характеризуют номера производных. Для нахождения ошибки на поверхности (в точке касания К) записывается уравнение связи ре­ перов С и /(:

eP = e9cos (Ф—ф) sin (Ф—ср); еф= — ер sin (Ф —ф) 4-^Фcos (Ф —ф);

Из (9) и (10) определяются

ер = Р cos (2Ф — Фу — у) —Ру cos (Ф -ф); e4) = Ptg (Ф-Фу) [1+cos (2Ф - -Ф г/-ф )~ ^у sin (Ф -ф); e ^ Z - Z v,

результатом подстановки которых в (7) является выражение для ошибки на поверхности.

Таким образом, согласно условию точной намотки, координаты С должны удовлетворять одновременно уравнению плоскости

Р COS (ф — Фу) П р— РщахПр + Р sin (Ф— Ф,у) ПФ+ (Z —Zy)t l z = 0 (11)

и уравнению заданной траектории G. Учитывая наличие ошибок по коор­ динатам Р — Ру= бр; Z—Zy= 6z; Ф—фу = бФ, будем добиваться выполне­ ния равенства mod 5 = 0 путем организации адаптивного управления движением координат AM. При этом обратим внимание на тот факт, что, согласно (11), ошибка по любой из координат может быть выражена в функции ошибок по двум другим:

В частности, если программа движений салазок и укладчика составля­ ется в функции ведущей координаты — угла поворота оправки Ф, то движение по Z и Р инвариантно относительно ошибок оправки, поэтому

МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, 1982, № 5, с. 880—886

УДК 678.067:678.02:620

В. Л. Мазур, В. И. Тимошенко

РАСЧЕТ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ РУЛОНИРОВАННЫХ ЦИЛИНДРОВ

Анализ напряженного состояния рулонированных цилиндров, выпол­ ненный в работах [1—3], основывался на уподоблении многослойного ма­ териала рулона сплошному анизотропному телу, упругие свойства кото­ рого постоянны [1, 2, с. 119—159] или изменяются [3] в зависимости от условий намотки. В последующих работах [4, 5] рассмотрены вопросы оптимизации натяжения при намотке ленты на податливый барабан, а также учета относительного проскальзывания витков полосы в рулоне. Однако такая постановка задачи не позволяет учесть ряд существенных эффектов. В частности отметим следующее.

В реальных условиях на напряженно-деформированное состояние ру­ лонов влияют не только физико-механические свойства материала нама­ тываемой полосы, но и состояние ее поверхности, а также степень неплоскостностн (коробоватость, волнистость). Как показывают экспе­ риментальные данные [6], существенное значение имеет величина шерохо­ ватости поверхности контактирующих витков и ее изменение под нагруз­ кой, наличие смазки на поверхности. Действие этих факторов приводит к неплотному прилеганию поверхностей смежных витков и к их сближе­ нию при увеличении нагрузки [7]. Сближение поверхностей контактирую­ щих витков полосы может быть следствием влияния и других причин, например, результатом выдавливания связующего вещества при намотке изделий из стеклопластиков [1].

Второй особенностью рулонированных цилиндров может быть изме­ нение коэффициентов упругости материала от витка к витку, анизотро­ пия свойств материала витков и наличие витков (слоев) из материала, для которого связь между напряжениями и деформациями не подчиня­ ется закону Гука (например, из упомянутого выше связующего).

В работах [4, 8] при рассмотрении задачи определения напряженнодеформированного состояния рулонированных цилиндров получены диф­ ференциальные уравнения в частных производных относительно функ­ ций, выражающих изменение межвиткового давления и натяжения вит­ ков в рулоне, включая случаи нелинейной связи между деформациями и перемещениями. Однако принятое в этих работах требование дифферен­ цируемости определяемых функций и отсутствие общего метода решения полученных уравнений сужают диапазон применимости предложенного подхода. В частности, в рамках предложенного в [4, 8] подхода не пред­ ставляется возможным без дальнейшего усложнения постановки задачи определение напряженного состояния рулонированных цилиндров, со­ стоящих из материала, свойства которого изменяются скачкообразно от витка к витку (кольца в цилиндре выполнены из разных материалов), при наличии зазоров (неплотного прилегания) между витками, при на­ личии неупругого связующего между витками из линейно-упругого мате­

риала, в случаях разрывной функции изменения натяжения ленты в про­ цессе намотки рулона и др.

В настоящей работе предложены постановка задачи и метод ее реше­ ния, которые позволяют учесть отмеченные особенности при привлече­ нии дополнительной информации о характере сближения поверхностей

смежных витков либо о характере неупругой деформации отдельных витков.

Полагаем, что как при намотке рулона, так гг после снятия его с ба­ рабана моталки витки полосы находятся в упругом состоянии. Скольже­ ние витков относительно друг друга отсутствует. Витки полосы в рулоне рассматриваем как концентрические кольца. Напряжения в пределах одного витка считаем постоянными в окружном направлении, но изме­ няющимися от витка к витку, т. е. сводим задачу к осесимметричной. Эти допущения являются общепринятыми при решении подобных задач.

Считаем, что витки полосы в рулоне, а также барабан моталки обла­ дают цилиндрической анизотропией. Толщина и упругие свойства каж­ дого витка могут быть различными. Задачу решаем в линейно-упругой постановке. Напряженно-деформированное состояние элемента полосы в рулоне или барабана — плоское.

При идеальном (без зазоров) прилегании поверхностей контактирую­ щих витков полосы в рулоне перемещение наружной поверхности i-ro витка Uiu равно перемещению внутренней поверхности (/+1)-го витка щ+iB, т. е. Uiu=Ui+iD. Здесь и — перемещение; «и» и «в» — обозначения наружной и внутренней поверхностей. В общем случае, вследствие отме­ ченных в вводной части статьи особенностей, контакт смежных витков в рулоне дискретен. Величина зазора б между витками зависит от состоя­ ния контактирующих поверхностей полосы и межвиткового давления. При увеличении контактного давления q происходит смятие микронеров­ ностей поверхностей, их сближение. Следовательно, условие сопряжения контактирующих поверхностей имеет вид

риала содержится неупругая прослойка, то процесс взаимодействия между витками можно моделировать также с помощью уравнения (1) путем задания подходящей зависимости 6* от межвиткового давления. При этом функция бг (^г) будет характеризовать либо изменение неплот­ ности прилегания поверхностей смежных витков, либо закон деформации неупругого витка (прослойки) между /-м и ( i - f l ) - M упругими витками.

Величину перемещений i-го витка, рассматриваемого в виде ани­

где Ki = iE i.jE Г(\ E t., Er., p,j — модули упругости в тангенциальном и

радиальном направлениях и коэффициент Пуассона материала i-ro витка; п-\, г,-, г — внутренний, наружный и текущий радиусы i-ro витка; qt — внутреннее и внешнее давления, действующие на i-й виток.

Как уже отмечалось, в общем случае принимаем, что толщина полосы i-ro витка hi не равна толщине полосы (i+ l)-ro витка hi+ь т. е. (г»— —гг-_1) ф (п+1 —п). Кроме того, в общем случае Eti ^ E lj+t; Ег. ф Е г.+,;

1.

Заменяя в уравнении (1) величины иД Щ-мв их выражениями, полу­ ченными с помощью зависимости (2), найдем уравнение, связывающее величины <7г_ь qu qi+u

Коэффициенты A{, Bu Di, Fi уравнения (3) определяются геометриче­ скими размерами /\_ь /у, r,+i и физическими константами Et, Ег, р i-ro и (i-fl)-ro витков. Из-за громоздкого вида выражения Л,-, Ви Dit Fi для

обозначает величины, относящиеся к барабану моталки). Таким обра­ зом, из (6) следует Ki = 0n определение z\.

Используя уравнение (4), записанное для Aqij-i, Aqi,j, Aqi,j+i, и учи­ тывая соотношения (5) и (6), можно легко определить величину Aqtj приращения давления между i - м и (t-H)-M витками, вызванного намот­ кой /-го витка. Полное суммарное давление на i-й виток в рулоне, со­ стоящем из N витков, найдем в результате суммирования:

j = N

qi,N= И Дqг , 2- j=i+1

Учитывая зависимость б* от qij, расчет необходимо организовать таким образом, чтобы последовательно определять величину qij при j =

= 1,2, . . . , М

Предложенный метод решения позволяет определить также напря­ жения в рулоне после снятия его с барабана моталки.

При снятии с барабана происходит разгрузка рулона — уменьшение напряжений вследствие радиального перемещения витков. Обозначим индексом «с» состояние рулона после снятия с барабана моталки. Тогда, записывая уравнение (3) поочередно для давлений в рулоне на бара­ бане qi и после снятия с барабана q f с учетом 6* или б*с соответственно и вычитая одно из другого, получим такое же уравнение для Дq f — из­ менения межвиткового давления при снятии рулона с барабана.

В уравнениях (3) и (4), записанных для Дqc, коэффициенты A*c, B f выражаются так же, как и одноименные коэффициенты при расчете ру­ лона на барабане. В выражении коэффициента ZV нет третьего слагае­ мого. Свободный член в правой части имеет вид Fic= —Аб^Е/г^ где

Граничные условия для рулона, снятого с барабана: на внутренней

лона на барабан моталки qt = q\. При этом первые значения прогоночных коэффициентов Z и К выражаются следующим образом:

Остаточные межвитковые давления в снятом с барабана рулоне q f опре­ деляются как

Описанный алгоритм легко реализуется на ЭВМ для любых законов изменения натяжения полосы ао(г) в процессе ее рулонирования. Вели­ чина зазоров бгс(*7гс) уточняется путем итераций по найденным значе­ ниям <7гс. Асимптотические решения поставленной задачи для отдельных частных случаев могут быть найдены в замкнутом виде.

В случае hi = h = const, Л/ГгС 1 при всех i разностное уравнение (3), записанное для рулона, все витки которого имеют одинаковые изотроп­ ные свойства, можно представить в дифференциальном виде:

3. Беренов А. Д., Химии Г. Л., Цалюк М. Б. Напряженное состояние и устойчи­ вость многослойных анизотропных цилиндров. — Вести, машиностроения, 1971, № 10,

с.29—31.

4.Очан М. Ю. Об одной минимаксной задаче нахождения натяжения ленты при

намотке на податливую оправку. — Механика полимеров, 1975, N° 6, с. 1011—1020. 5. Бессонов А. П., Очан М. Ю. Критерии проскальзывания при многослойной на­

мотке роторов. — Машиноведение, 1977, № 4, с. 3—10.

6.Соловьев П. И., Дунаевский В. И., Дорноступ В. С. Исследование барабанов

моталок станов холодной прокатки. — В кн.: Тр. ВНИИМЕТМАШ, 1962, сб. № 6,

с.54—87 (М.).

7.Пимштейн П. Г., Жукова В. Н. Расчет напряжений в многослойном цилиндре с

учетом особенностей контакта слоев. — Проблемы прочности, 1977, № 5, с. 71—77.

8. Очан М. Ю. Исследование оптимального натяжения при намотке лепты па бара­ бан. — Машиноведение, 1972, № 2, с. 21—27.

9. Лехницкий С. Г. Анизотропные пластинки. М., 1957. 463 с.

10.Годунов С. К., Рябенький В. С. Разностные схемы. М., 1977. 400 с.

11.Когос А. М. Механическое оборудование волочильных и лентопрокатиых цехов.

М., 1964. 391 с.

12.Феодосьев В. И. Сопротивление материалов. М., 1960. 536 с.

13.Water М., Troost A., Wilkenig Я. Ermittlung der radialen Haspelbelastung beim

Wiskeln von bandformigem Yut (I). — Bander Bleche Rohre, 1966, Bd 7, N 3, S. 135—141.

В исходной системе уравнений имеются три основных характерных вре­

В работе [1] дан линейный анализ этих уравнений. Ниже нелинейные эффекты рассматриваются в рамках модели [1], более грубой, чем квазиодномерная [2], но удобной для качественного анализа, в частности для изучения нелинейной эволюции возмущений (для квазиодномерной тео­ рии открытым остается вопрос о том, превращаются ли действительно малые возмущения в нелинейные колебания и как это происходит).

2. Проведем качественное исследование системы (1.9), описывающей поведение сосуда S-типа. Эта система подобна системе уравнений, кото­ рая исследовалась в работе [3]. Ограничимся случаем, когда точка р0>

y = - c x - y = Q { x ,y ) .

Анализ поведения фазовых траекторий системы (2.1) в плоскости х, у на достаточно больших расстояниях от начала координат показывает, что бесконечность при любых значениях параметров системы неустойчива, т. е. траектории системы (2.1), начинающиеся в бесконечности, идут в направлении начала координат. Это означает, что любые малые или конечные возмущения не могут привести к бесконечному возрастанию давления в сосуде или его радиуса. Рассмотрим, как меняется картина фазовых траекторий в плоскости х, у при непрерывном уменьшении только одного параметра с:

и R = Ro. Параметр с равен тангенсу угла наклона прямой у = —сх с

осыо xt причем угол отсчитывается от оси х по часовой стрелке; с меня­ ется от оо до 0.

статочно коротких сосудов или достаточно больших расходов g0, то ве­ личина p*x' + Q*y'< 0 при g = l на всей плоскости, и по критерию Бендиксона в данном случае периодических решений система уравнений (1.9) или (2.1) не имеет. Условие отсутствия периодических решений fe ^ l на «языке времен» означает, что тг^ т Р. Возможными бифуркациями явля­ ются только появление и изменение состояний равновесия. Получим в этом случае асимптотическое решение системы (2.1) при условии Ь<С 1.

Пусть v<Cl, тогда в зависимости от начального положения возможны следующие ситуации. Если начальное положение системы находится на кривой V= —Ь{Х+Ь2х3 (или в v-окрестности этой кривой), то система бу­ дет двигаться с конечной скоростью вблизи этой кривой к устойчивому состоянию равновесия («медленные» движения). Если начальное поло­ жение — не на кривой V= —Ь\Х+Ь2х3 (и не в v-окрестности), то система скачком (с большой скоростью ~ l/v ) достигнет кривой V= — b\X+b2x3, а затем будет «медленно» двигаться вдоль нее. В нулевом приближении

Такие решения характеризуют непериодические расширения и сужения сосуда.

Пусть теперь b > 1. При этом возможны два случая.

1. Х > Ь —1; при изменении параметра с от оо до 1 имеется только одно состояние равновесия, которое является устойчивым узлом или фо­ кусом. При с= 1

Д (0, 0) = P'XQ'V - P'yQ'xL-o = В ( с - 1) |с- 1= 0. I V=0

В этом случае прямая у = —сх касается S-образной кривой в начале ко­ ординат и состояние равновесия становится сложным. При дальнейшем уменьшении с рождаются три состояния равновесия, причем среднее яв­ ляется седлом, а два других — устойчивыми узлами или фокусами. Пре­ дельных циклов при этом не возникает. При дальнейшем уменьшении

структура фазового пространства с тремя предельными циклами, причем устойчивый предельный цикл содержит два неустойчивых предельных цикла.

Заметим, что при с= 0 линия у = 0 является интегральной прямой, проходящей через три состояния равновесия, поэтому при с= 0 предель­ ных циклов уже нет. Исчезновение предельных циклов происходит сле­ дующим образом [4]. Оба неустойчивых предельных цикла при некото­

уменьшении параметра с петли сепаратрис разрушаются, возникает не­ устойчивый предельный цикл, охватывающий все три состояния равно­ весия. При некотором с= с++ предельные циклы сливаются и при умень­ шении с исчезают (рис. 2—д).

Рассмотрим еще одно асимптотическое решение уравнения (2.2). Прежде всего применим (при условии симметрии статической характе­ ристики Ф(х), т. е. при £=1) критерии существования предельного цикла [6], когда на фазовой плоскости реализуется только одно состоя­

вости этого состояния равновесия, т. е. т + Кп —офСО (или в других обозначениях Ь—Хс—1>0). Если кривая Ф{х) не симметрична (g # l) , то в системе могут существовать несколько предельных циклов с различ­

Заметим, что в уравнениях (2.9) фигурирует новое безразмерное время тп=(1+А,с)т. Когда на фазовой плоскости реализуется только одно со­ стояние равновесия, с> 1 и & i>l. Пусть е<^1, что реализуется в част­ ности для достаточно длинных сосудов, а на языке времен означает, что Тг^Тр. Тогда в системе (2.9) возможны релаксационные колебания [7]. В нулевом приближении период релаксационных колебаний выражается формулой

< 2 1 0 >

Заметим, что вместо выражений (2.4), (2.6), (2.7), (2.10) можно запи­ сать более точные в виде ряда по степеням v, б, е [7].

На рис. 3 приведено семейство кривых зависимости безразмерного периода автоколебаний Т от безразмерного параметра Ь. На рис. 4 схе­ матически показаны области существования предельных циклов на плоскости параметров с, X. Таким образом, при выполнении условия X<b —1, которое реализуется для достаточно длинных сосудов или до­ статочно малых расходов go, изменение параметра с дает возможность получить устойчивые и неустойчивые периодические решения. Исследо­ вание данной системы уравнений при всех возможных значениях пара­ метра с имеет определенный практический смысл, поскольку именно в

димо задать дифференциальную зависимость Г от параметров сосуда, например, Г=ф(Г,р, R,p) и считать в (1.4) ср и К зависящими от Г [9]. Во-вторых, для того, чтобы, оставаясь в рамках модели с сосредоточен­ ными параметрами, можно было бы описывать волновые процессы и другие сложные движения, описываемые, например, квазиодномерным подходом [2] и не описываемые данной моделью, можно разбить сосуд на две части и попытаться писать уравнения (1.1) и (1.4) для каждой части в отдельности, сшивая решения на скачке (границе раздела) определен­ ными условиями.

Авторы благодарят С. А. Регирера за полезное обсуждение.

СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1.Регирер С. А., Руткевич И. M.f Усик П. И. Модель сосудистого тонуса. — Меха­ ника полимеров, 1975, № 4, с. 585—589.

2.Руткевич И. М. Волновые движения жидкости в трубках из вязкоупругого ма­

териала. Стационарные нелинейные волны. — Изв. АН СССР. Механика жидкостей и газов, 1975, № 4, с. 86—95.

3.Баутин А. Н. Качественное исследование одной нелинейной системы. — Прикл. математика и механика, 1975, т. 39, вып. 4, с. 631—641.

4.Баутин Н. Н., Леонтович Е. А. Методы и приемы качественного исследования

динамических систем на плоскости. М., 1976. 496 с.

5. Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. 2-е изд. М., 1959. 916 с.

6. Reissig R., Sansone G., Conti R. Qualitative Theorie nichtlinearer Differentialgleichungcn. Roma, 1963. 381 p. (рус. пер.: Рейсиг P., Сансоне Г., Конти P. Качественная теория нелинейных дифференциальных уравнений. М., 1974. 320 с.).

7.Мищенко Е. Ф., Розов Н. X. Дифференциальные уравнения с малым параметром

ирелаксационные колебания. М., 1975. 248 с.

8.Скобелева И. М. Модель сосудистого тонуса (численный эксперимент). — Меха­ ника композит, материалов, 1980, N° 1, с. 107—112.

9.Киреева Е. Е., Клочков Б. Н. О модели с сосредоточенными параметрами для

описания поведения артериол. — В кн.: Тез. докл. II Всесоюз. конф. по проблемам биомеханики. Рига, 1979, т. 2, с. 55—57.

УДК 611.71:534.614

А. М. Татаринов, В. В. Дзенис, X. А. Янеон

ИЗМЕНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ БОЛЬШЕБЕРЦОВЫХ КОСТЕЙ ПРИ СУТОЧНЫХ БИОРИТМАХ ЧЕЛОВЕКА ПО ДАННЫМ УЛЬТРАЗВУКОВЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

В работе [1] предложена методика оценки состояния большеберцовых костей человека при патологии и в процессе лечения при помощи экспо­ ненциальных пьезопреобразователей ультразвука, возбуждающих в тон­ костенных конструкциях, какой является большеберцовая кость, изгибную волну. Для оценки состояния кости использовали время распростра­ нения ультразвука т в 10 зонах по вертикали кости в ее медиальной поверхности на базе /=10 мм.

Скорость распространения изгибной волны рассчитывали по формуле Си = ^_--д^, где Дт — задержка в пьезопреобразователях. Затем рассчи­

тывали средние скорости в правой и левой нижних конечностях (ПНК, ЛНК) — £п, сл и среднеквадратичные отклонения скорости для каждой ноги ап, егд, названные в [1] индивидуальным показателем распределения скоростей (ИП). Средние величины с и о для обеих ног одного человека обозначены через сч и ач. Было замечено, что люди, более активные фи­ зически, имеют более высокие значения сч и ач; эти показатели возрас­ тают также у больных в процессе восстановления жизненных функций кости. В работе [2], где подобная методика использовалась для исследо­ вания влияния физических нагрузок на состояние большеберцовых кос­ тей, указано, что интенсивные физические нагрузки вызывают изменение скорости ультразвука в костях, причем у спортсменов она изменяется в большей степени, чем у лиц, не занимающихся спортом.

Однако до сих пор не предпринималось попыток установить, как ско­ рость ультразвука изменяется у одного и того же человека в течение су­ ток, хотя большеберцовая кость как часть всего организма человека мо­ жет претерпевать изменения, обусловленные общим утомлением орга­ низма и реабилитационными процессами во время сна. Характерно, что в медицинской литературе о сне основное внимание уделяется нейрофи­ зиологии, физиологии сердечно-сосудистой системы, а изменения в ске­ лете человека фактически не описаны, возможно, из-за отсутствия мето­ дик подобных исследований.

Известно, что большеберцовая кость человека является системой, до­ статочно быстро реагирующей на внешние воздействия. В работе [3] установлено, что изменение интенсивности кровоснабжения кости может вызвать значительные отклонения скорости ультразвука. Что касается суточных колебаний в сердечно-сосудистой системе, то исследованиями [4] выявлено, что артериальное давление, систолическое и диастоличе­ ское, во время сна падает примерно на 20%, причем оно зависит от фи­ зической активности и сна, а не от времени суток.

В настоящей работе нами ставилась цель проследить за суточными изменениями скорости изгибной волны ультразвука в большеберцовой кости человека и выявить некоторые закономерности таких изменений.

Измерения проводились на ногах четырех мужчин и трех женщин одной возрастной группы (23—25 лет) в течение двух суток утром сразу после сна и вечером. Кроме того, на одном мужчине 23 лет суточные из­ менения скорости распространения ультразвука в большеберцовой кости были прослежены непрерывно в течение 27 сут.

Рис. 1. Изменение средних скоростей са (1) и сл (2) в течение дня. Мужчина 23 лет.

Рис. 2. Средние значения скорости ультразвука по поясам в медиальной плоскости кости ПНК мужчины 23 лет: 1 — в 9 часов; 2 — в 13 часов; 3 — в 22 часа.

Для исключения ошибки за счет смещения концентраторов при их установке на кости места измерений помечались пигментом, и каждый раз концентраторы крепились на отмеченных участках.

Для выяснения характера падения скорости ультразвука в кости в течение дня скорость ультразвука на мужчине 23 лет измеряли 18 раз: сразу после пробуждения, через 15 мин, в первый час, затем через 30 мин, а в дальнейшем один раз в час до момента отхода ко сну. По данным этого опыта (рис. 1) можно судить о том, что скорость ультразвука в течение для постепенно падает в обеих ногах. На рис. 2 представлены кривые распределения скорости по длине кости в 10 зонах по данным из­ мерений утром после пробуждения, днем и вечером. Максимальные из­ менения скорости ультразвука наблюдаются в поясах 3, 4, т. е. в верхней половине диафиза [далее средние значения скоростей в поясах 3, 4 обо­ значены через С(шах)]- Этим объясняется то явление, что ИП — аш <тл почти синхронно повторяет изменения скорости сп, сл, так как в эпифизе изменения скорости сравнительно невелики.

Из рис. 3, на котором представлены изменения скоростей сч в ногах утром и вечером в течение двух суток семи человек, видно, что фактиче­ ски у всех обследованных скорость ультразвука утром больше, чем вече­ ром, причем разница в средней скорости по ноге между утром и вечером достигает в некоторых случаях более 0,20 км/с, что составляет до 13% абсолютной величины скорости, а в поясах кости 3 и 4 эта разность до­

стигает 0,35 км/с, т. е. 17—18%. От­ метим, что воспроизводимость па­ раллельных измерений в одном по­ ясе, характеризующая погрешность эксперимента, в наших опытах ле­ жит в пределах 1,0—2,0%. Пока нельзя утверждать, что именно яв­ ляется причиной падения скорости в

Рис. 3. Изменения в течение двух суток ут­ ром и вечером средних скоростей сч у жен­ щин (а) и мужчин (б): 1 — женщина 23 лет, I разряд по бегу; 2 — женщина 23 лет, ра­ ботает, спортом не занимается; 3 — жен­ щина 24 лет, lie работает по болезни; 4 — мужчина 23 лет, занимается бегом; 5 — мужчина 23 лет, ведет подвижный образ жизни; 6 — мужчина 25 лег, работает, но малоподвижен; 7 — мужчина 23 лет, рабо­

тает, но малоподвижен.

звука в кости, но вследствие болезни практически не ходившая, не имела существенных отклонений скорости

ультразвука в ноге в течение дня (см. рис. 3—а). Женщина 23 лет, зани­ мающаяся бегом, имела не только значительно большую скорость сЧу что подтверждает данные работ [1, 2], но и большую амплитуду колебаний скорости сч утро—вечер. Аналогичные закономерности наблюдаются и для мужчин (см. рис. 3—б). Изменения скорости ультразвука в правой и левой конечностях имеют одинаковый характер, а величина скорости сч з-ависит от того, на какую ногу приходится большая функциональная нагрузка. Эти данные позволяют предположить, что разность Асч = = Сг1У— счв может характеризовать степень тренированности большебер­ цовой кости в той же мере, что и абсолютное значение скорости ультра­ звука: чем больше значение скорости сч у данного человека, тем больше и Ас при условии, что человек проявляет нормальную физическую актив­ ность в течение дня (рис. 4). Коэффициент корреляции в этом случае был достаточно высоким — г = 0,91.

Ас может служить, по-видимому, также косвенным показателем сте­ пени усталости. На рис. 5 представлены результаты обследования муж­ чины 23 лет, проводившегося без перерыва в течение 27 дней. Колебания скоростей ультразвука отмечаются ежедневно как в правой, так и в ле-

Puc. 5. Изменения в течение 27 дней скоростей с(Птх)ч и сч (а), ИП Оч (б), кровяного давления (в) и пульса (г) у мужчин 23 лет: 1 — с(тпх)ч; 2 — сч; 3, 4 — систолическое и диастолическое артериальное давление; / — бег иа 18 км; II — ночь без спа; III — спал днем; IV — бег па 6 км.

вой большеберцовых костях, причем было замечено, что дням наиболь­ шей физической активности (например, I на рис. 5) и повышенного то­ нуса соответствуют повышенные значения ультразвуковых характерис­ тик: сч, £(шах)ч> Оч* Достоверность разницы между экспериментальными результатами по изученным утром и вечером данным была проверена при помощи формулы

где цу, цв — средние арифметические значения характеристики, получен­ ной утром и вечером; ту, тв — их средние ошибки 1 т=±-¥=? |; п —

ультразвуковые характеристики с большой достоверностью утром имеют большие значения, чем вечером (см. табл.).

Интересно, что при бессонной ночи (II на рис. 5) мало увеличива­ ется скорость ультразвука, что сви­ детельствует о накоплении усталости в организме, и наоборот, сон днем (III) замедляет падение скорости. Параллельно с ультразвуковыми из­ мерениями проводили измерения ар­ териального кровяного давления и частоты пульса (П). В этих опытах (см. рис. 5—в, г) однозначных свя­ зей утро—вечер не отмечалось. Не­ которое увеличение средних значе­ ний артериального давления и пульса в течение дня недостоверно и лежит в пределах разброса резуль­ татов опытов (см. табл.). Поэтому универсальных корреляционных свя-

Рис. 6. Взаимосвязь между скоростями Си, сл и частотой пульса (а) и среднеквадра­ тичными отклонениями оп, а л Ф). Для ПНК

(/) и ЛНК (2). а: ф — ПНК, измерено ве­ чером; О — то же, утром; А — ЛНК, из­ мерено вечером; Л — то же, утром.

УДК 539.37.001:611

В. Я. Саусинь

ДЕФОРМИРОВАНИЕ ФИЗИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫХ МАТЕРИАЛОВ ПРИ ДВУХОСНОМ РАСТЯЖЕНИИ

ИСОВМЕСТНОМ ДЕЙСТВИИ РАСТЯЖЕНИЯ И СЖАТИЯ

Внастоящее время в современных конструкциях создаются и широко внедряются анизотропные композитные материалы. Но существуют также природные биополимерные материалы, структура внутреннего армирования которых значительно сложнее, чем у искусственно создан­ ных композитов. Так, например, компактная костная ткань длинных трубчатых костей человека является сложным композитным биополимерным материалом с многоступенчатой структурой внутреннего строе­ ния с оптимальным распределением напряжения во время воздействия различных физиологических нагрузок. Следовательно, при расчетах де­ формаций в различных напряженных состояниях компактную костную ткань надо рассматривать как ортотропное тело [1—3], в котором разные направления относительно осей симметрии материала не равно­ правны в отличие от начально изотропного материала, у которого упо­ мянутые направления равноценны.

Внастоящей работе рассматривается поведение компактной костной ткани как ортотропного материала со степенью физической нелиней­ ности /г= 3 в различных напряженных состояниях в плоскостях напря­

жений ап, 022 и (Tii, —022- Результаты расчета деформаций компактной костной ткани сопоставляются с результатами, полученными для модель­ ного, начально-изотропного материала с той же степенью нелинейности.

Связь между тензором деформации e*j и заданным тензором напря­ жения вы для упомянутых выше материалов с определенным прибли­ жением может быть представлена в виде конечного неполного тензориального степенного ряда [4, 5]:

Константы, характеризующие свойства ортотропного материала (ком­ поненты тензоров податливости), определены из экспериментальных

Компоненты тензора податливости модельного, начально-изотропного материала

данных [6] (табл. 1). Для модельного, начально-изотропного мате­ риала условно приняты усредненные значения соответствующих кон­ стант ортотропной компактной костной ткани (табл. 2).

Компактная костная ткань при кратковременном нагружении яв­ ляется упругопластическим материалом, т. е. пластические деформа­ ции, наряду с упругими появляются с самого начала нагружения: гц = = eiiy+ 8iiM. Тензор пластической деформации определяется на основе теории локальности деформаций, разработанной для начально-изотроп­ ного тела в [7—13] и модифицированной для ортотропного материала в [14]:

er3i — функция локальных пластических деформаций. Для ортотроп­ ного материала е'з1задается в следующем виде:

8/з1 = й/з1зза,3зз+4(5/з131а/з1 + 5/з1320/з2) (о/2з!+ о/_з2) + (й,зша,ц +

где a3pyb=ai}kikilpjlykhi — компоненты тензора податливости в локаль­ ной системе координат, зависящие от компонент тензора податливости

восновной системе.

Вчастном случае, когда материал изотропный, компоненты тензора

податливости й'зш, 5'зпь 3'3122, а'3112 равны нулю, а й 'зш ^ 'з^ г, следо­

Компоненты тензора податливости й щ а

тройного материала (п = 3): 3

+ P3311112201120*22+ Рз3112222011СГ222+ P332222220223) ,

где ада — тензор податливости четвертого ранга (см. табл. 1); рицина — константы материала, выражающиеся через компоненты тензора ада, для определения которых необходимо сопоставить выражение пластиче­ ской деформации для одноосного растяжения и чистого сдвига с выра­ жением (1), образовать матрицу и провести ее обращение, как это сделано в [14].

В зависимости от того, какие начальные требования наложены на компоненты тензора ада, т. е. ада принимается либо симметричным по парам индексов (ада = а*/^)„ либо несимметричным (а^мфаыц) 9 полу­ чены величины ада, представленные в табл. 3.

Если ада задано в виде йцифаииц то выражения, определяющие Pujjhhu, имеют следующий вид:

Ргити= 11lajjjj + 2870auu + l 11йзззз1435ада148а«^— 148аггзз-

— 1435а33гг + З7а33jj + 37а;-j33— 878ац ц — 878аг-зг*з + 148a3j3j; Piiinijj ——444агггг“ 1727cijjjj —179й^зз + 2946аиjj + 333djju —179ajj33 —

—1299a33jj+ 111аззгг + 358аггзз+ 450аг;г; —508 5j3j3—206аг-згз;

Константы материала p n a h k ii

I

Аналогично определяются константы материала pujjhkii в случае, когда

дены в табл. 4.

В частном случае для модельного, начально-изотропного несжимае­ мого упругопластического материала выражения компонент тензора де­

6 22 = 6 2 2 1 1 ^ 11 + ^2222*722+ “Г—г* 6 3 ( — СГц3 + ЗсГп% 2 2 — 30110222 + 2 0 2 2 3) ! (5)

0 1 5

4

бзз= 6з31 l<7l1+ 6з322<722 + ■SIS 6 з( —Oil3 —(Т223),

где 63 — функция тензора податливости восьмого ранга; bijki — тензор податливости четвертого ранга (см. табл. 2). Здесь и далее деформации модельного изотропного материала в отличие от деформаций ортотроп-

ного материала обозначены символом гц.

Если оба напряжения — ац и 022 — растягивающие, т. е. напряжен­ ное состояние задано в плоскости напряжений ап, 022. то деформации рассчитываются по выражениям (4) и (5). В плоскости напряжений <тц, —022 при расчетах деформаций в упомянутых выражениях меняется только знак при напряжении о22, т. е. вместо 022 подставляется —022, и наоборот.

Для дальнейших выкладок за независимую переменную принят па-

ния растягивающие, параметр нагружения задается в виде k\ = -HlL.

- г

При данных напряженных состояниях изменение деформаций еи (i = = 1,2,3) в зависимости от параметра нагружения &г- (/ = 1, 2), который меняется в пределах от 0 до 5, исследуется для начально-ортотропного материала (компактной костной ткани) в случае, когда aijia^dhin- Из­ менения тензора деформаций гц сопоставляются с изменениями тензора

деформации гц модельного начально-изотропного материала с условно усредненными константами упомянутого ортотропного материала. Изме­ нения деформаций показаны на рис. 2 и 3. Характер развития деформа­ ции для данных материалов имеет много общего, т. е. с ростом

параметра нагружения ki соответствующие деформации или увеличива­ ются, или уменьшаются. Но следует отметить, что с увеличением пара­

деформаций модельного изотропного материала меняются более выраженно, чем соответствующие кривые деформаций данного ортотропного

материала. Особенно это проявляется для кривой, характеризующей из­

менение деформаций 1ц. При параметре нагружения k\=kz=\ (0ц = = | —сг221) изотропный материал деформируется только в направлении

осей 1 и 2, т. е. деформация в направлении оси 3 отсутствует (ёзз = 0). В табл. 5 приведены значения отношений компонент тензора дефор-

метре нагружения, в пределах от 0 до 5; еи0 и еп0 — компоненты де­

формаций при одноосном растяжении, когда k 2 = 0 ). Знак минус озна­ чает, что при этих параметрах нагружения к2 кривая деформации пе­ ресекает ось к2.

Видно, что с ростом параметра нагружения k 2 изменения дефор­ маций модельного изотропного материала происходят значительно быстрее, чем упомянутые изменения ортотропного материала (компакт­ ной костной ткани). Это означает, что при заданном напряженном со­ стоянии ортотропный материал по сравнению с модельным изотропным материалом гораздо лучше сопротивляется деформированию вдоль про­ дольной оси 1.

С П И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1. Кнетс И. В., Пфафрод Г. О., Саулгозис Ю. Ж Л а й з а н Я. Б., Янеон X. А.

Деформативность и прочность компактной костной ткани при кручении. — Механика полимеров, 1973, № 5, с. 911—918.

2. Кнетс И. В., Саулгозис Ю. Ж., Янеон X. А. Деформативность и прочность

компактной костной ткани при растяжении. — Механика полимеров, 1974, N° 3, с. 501-506.

3. Пфафрод Г. О. Возрастные изменения деформативности компактной костной ткани большеберцовой кости человека при кручении. — Механика полимеров, 1975, N° 6, с. 1061—1068.

4.Кнетс И. В. Основные современные направления в математической теории пластичности. Рига, 1971. 146 с.

5.Малмейстер А. К., Тамуж В. П., Тетере Г. А. Сопротивление полимерных и композитных материалов. 3-е изд. Рига, 1980. 571 с.

6.Кнетс И. В., Пфафрод Г. О., Саулгозис /О. Ж. Деформирование и разрушение твердых биологических тканей. Рига, 1980. 319 с.

7.Малмейстер А. К. Деформация среды, способной двойниковаться. — В кн.; Вопр. динамики и динамической прочности. Рига, 1955, т. 3, с. 97—121,

8.Малмейстер А. К. Пластичность квазиизотропного тела. — В кн.: Вопр. дина­ мики и динамической прочности. Рига, 1956, т. 3, с. 37—48.

9.Малмейстер А. К. Об основах теории локальности деформаций. — Изв. АН

ЛатвССР, 1961, № 8, с. 53—61.

10.Малмейстер А. К. Основы теории локальности деформаций (Обзор 1). — Механика полимеров, 1965, № 4, с. 12—27.

11.Крегерс А. Ф., Кнетс И. В. Условия догружения в теории локальности де­

формаций. — Механика полимеров, 1967, № 1, с. 29—34.

12. Кнетс И. В. Развитие понятий функции локальности деформаций и функции скольжения в статистических теориях пластичности. — Механика полимеров, 1969,

№3, с. 422—430.

13.Крегерс А. Ф. Исследование поверхностей нагружения в теории локальности деформаций. — Механика полимеров, 1971, № 5, с. 796—800.