МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, 1982, ^ 5, с. 779—783

УДК 539.374:678.067

Й. Йирова, В. Кафка

СТРУКТУРНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РЕОЛОГИЧЕСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ ДВУХКОМПОНЕНТНОГО МАТЕРИАЛА

Целью настоящей работы является создание математической модели реологической деформации бетона, которая исходила бы из действитель­ ной структуры материала, а не из аналогии, как это бывает в случае применения механических моделей, скомплектованных из системы пру­ жин, элементов трения и т. д. Преимуществом данного подхода является прежде всего возможность описать внутренние напряжения и разложить деформации на составляющие. В качестве основного варианта выбрана модель, в которой единственной упругой составляющей материала при­ нята галька грубой фракции заполнителя, играющая роль включения в матоице-конгломерате, образуемой остальными составляющими. Меха­ ническое поведение матрицы можно приближенно описать моделью

Максвелла [1].

При математическом описании двухкомпонентного материала, обра­ зованного внедрением упругих включений в среду максвелловского типа, будем исходить из результатов работы [2].

Уравнение для материала упругих включений (обозначен индексом

va — коэффициент Пуассона; Еа — модуль упругости.

Уравнения для материала, характеризуемого как среда максвеллов­ ского типа (обозначен индексом 6), можно записать следующим обра­ зом:

1

& ij = \lb S ij~ h 2 Н б = рьсг, ( 3 )

где Я — коэффициент вязкости, ць и рь аналогичны (2). Эти пара­ метры зависят от вида напряжения. Следовательно, необходимо допус­ тить, что они могут зависеть от а (изотропная часть тензора напряжения для двухкомпонентного материала); при постоянном значении а их можно принять константами.

Если используются уравнения (1) и (3), то в соответствии с [2] спра­ ведливы системы уравнений

где va — объемное содержание материала а; dja — среднее значение тензора напряжения в материале а\ оц — тензор напряжения композита; e'ija — в соответствии с (5) разница между средним значением тензора деформаций в материале а и средним значением тензора деформации двухкомпонентного материала; s'ija — разница между средними значе­ ниями девиатора напряжения в материале а и напряжения, которое в материале а отвечает деформации, равной деформации двухкомпонент­ ного материала; rj, г\° — структурные параметры — постоянные компо­ зита, зависящие от геометрии включений.

Уравнения (4) и (5) справедливы для девиаторной и изотропной частей по отдельности и также для соответствующих скоростей. Уравне­ ния (6)—(8) действительны также для определения скоростей деформа­ ции и напряжения. Из системы уравнений (4) —(8) после дифференци­ рования и разложения на девиаторные и изотропные части получим

Уравнение (9) является конститутивным уравнением двухкомпонентного материала; в нем имеется одна девиаторная неявная переменная Sija, которую можно исключить путем введения производных высшего по­ рядка. Продифференцировав сначала уравнение (9а), вместо вца исполь­ зуем выражение из (96), а затем вместо Sija — соответствующее выра­ жение из (9а). После упрощения получим

Дифференциальное уравнение (11) однотипно дифференциальному урав­ нению модели Бюргерса, полученному путем использования аналогич­ ного поведения системы механических элементов [1, с. 472]. Известно, что реологическое поведение бетона можно приближенно описать мо­ делью Бюргерса, что и широко используется.

Для решения задачи идентификации параметров математической мо­ дели по кривой ползучести ограничимся девиаторной частью деформа­ ций. Объемные изменения принимаем упругими. Подвергаем предвари­ тельно ненагруженный образец мгновенному сжатию Ou = c o n st. Из

уравнений (9) вытекает, что в этом случае девиаторы будут подобны девиатору Sij, т. е.

По данным мгновенной деформации с учетом того, что коэффициент Пуассона равен 0,15, было определено значение рГ=2,8755 • 10-5 (МПа)-1. На основе полученных значений параметров из уравнений (18) и (24) определяли графики зависимостей va от а, на основе которых была вы­ явлена объемная доля заполнителей, составляющих упругие включения двухкомпонентного композита иа= 0,3087. Для расчета было использо­ вано значение полного объема всех фракций заполнителя — Уа= 0,73,

Для вычисления теоретической кривой ползучести и изменений нап­ ряжений и деформаций как в матрице, так и во включениях была состав­ лена программа для ЭВМ.

Полученные диаграммы показаны на рисунке. Чтобы полученные диаграммы давали представление о полном напряжении сжатия и соот­ ветствующих деформациях, к девиаторным составляющим были причис­ лены и соответствующие изотропные части тензоров, вычисленные из предположения об однородности упругого модуля объемных дефор­ маций.

Из рисунка видно, что девиаторная часть напряжения во включениях в начале деформирования быстро нарастает, в дальнейшем, однако, оно принимает постоянное значение — предельное для конкретного случая. Общее выражение для этого предельного*значения оца легко получить

Поскольку г] является положительной величиной, значение 5а|*=оо должно быть в пределах от 5 до s/va. В нашем случае sa|*=oo= 3,158s.

Следует напомнить, что после разгрузки в материале сохраняется ос­ таточная деформация. После снятия нагрузки величина деформации мгновенно уменьшится на какую-то часть, какая-то часть деформаций исчезает постепенно в процессе освобождения материала от внутреннего напряжения, и какая-то часть деформаций останется.

СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1.Reiner М. Rheology. — In: Handbuch der Physik. 1958, Bd 6, S. 434—550.

2.Kafka V. On constitutive equations of quasihomogeneous materials. — Zeitschrift fur angewandte Mathematik und Mechanik, 1979, Bd 59, IT 9, S. 423—430.

3.Hill R. — Proc. Phys. Soc. (London), 1952, vol. G5, p. 349.