МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ ТОНКОСТЕННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ ИЗ КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ

Для критического значения параметра Р из условия устойчивости

В(и2) = {Bll(u)X2in*+2[Bl2(u) +2В66(и)]т2п2+В22(и)п4 /К2} |u=u2

(ВгДы(<р)] — упругие постоянные материала, определяемые через ха­ рактеристики элементарных слоев Вц° с помощью известных соотноше­ ний [4]), определяющей является устойчивость, так как здесь

P2(u2, h , l ) = max Р2(и, h,X) ^ P i ( u 2, Я)

- l s S u < l

и, следовательно,

Pt (u*)=P2(u2, Я, X).

причем в этом случае оптимальный проект не зависит от X.

В случае же h i ^ h ^ . h 2 определяющими являются и устойчивость, и прочность, причем, как нетрудно заметить, оптимальный проект опреде­

Таким образом, для наибольшего допускаемого значения параметра сжимающих усилий (целевой функции) получаем

В частном случае хг=0 оптимальный проект в интервале ] 0, ЯД реа­

где Г = У(3 + У8+До2) /( 1+Я о);Я оИ Я 110- а д / ( Я п ° —2(Я12°+ 2В66°) +

где Е (х) — означает целую часть х.

Следует отметить, что, если в общем случае форма потери устойчи­ вости обусловлена упругими характеристиками и ориентацией элемен­ тарных слоев, то для оптимальных проектов форма волнообразования определяется лишь величиной X. Наибольшее значение параметра сжи­ мающих усилий определяется из соотношений

Л(1, h) =haB\l%-

Для иллюстрации рассмотрим квадратную пластинку (Я=1), изго­ товленную из боропластика [5]. При %2=0 имеем /ix = 0,024b\ h2 = 0,l4b. Очевидно, что в рассматриваемом случае h2 превосходит Л* и, следова­ тельно, зона активности условия прочности [h2}Л*] отсутствует.

На рис. 1 прямые 1 и 4 соответствуют расчетной нагрузке при u — U\ и и= и2, определенной из условия прочности, а кривые 2 и 5 показывают зависимость критического усилия от относительной толщины пластинки при и — и2 и и= и\. Кривая 3 характеризует зависимость несущей способ­ ности оптимального проекта пла­ стинки от относительной толщины.

На рис. 2 представлена зависи­ мость анизотропии оптимального проекта от относительной толщины. Как показывают расчеты, многоце-

левая оптимизация может приводить к значительному выигрышу в не­ сущей способности. Так, например

В качестве второго примера задачи (1) —(3) рассмотрим проектиро­ вание оптимальной цилиндрической оболочки радиуса R, длины /, тол­ щины h. Здесь, полагая %i = 0,5, хг=1 при безмоментном равновесном состоянии, для величины предельной нагрузки, определяемой условием прочности, из (4) получим

Предельная нагрузка, обеспечивающая данный уровень жесткости, пред­ ставляется в виде

если предположить, что для прогибов w справедливо

w^Zhw*. (11)

Величина давления Р ь определяемая из соотношения (8) при §1= 1, гарантирует прочность оболочки вне зон краевых эффектов. Учет влия­ ния краевых эффектов приводит к уменьшению Р\ (0i< l) или к необ­ ходимости утолщения оболочки у краев. Величина 1 < § 2<§* характери­ зует влияние отклонения граничных условий на торцах оболочки от шарнирного закрепления и, как правило, §*<1,5.

При высоких уровнях внешнего давления, когда определяющим для проекта является условие прочности и становится целесообразным ис­ пользование композитных материалов, естественно рассматривать лишь проекты гладких оболочек.

Рассмотрим задачу проектирования цилиндрической оболочки длины l= nR из элементарных слоев однонаправленного углепластика [5], уло­ женных поочередно под углами ±ср к оси оболочки. Пусть с достаточным запасом §i = l, 02 = 0,7, тогда

границу области изменения /г. Зависимости расчетной нагрузки и опти­ мального угла армирования от относительной толщины представлены на рис. 3. Ограничение на жесткость (9), (10) при ау* = 0,1 выполняется

сбольшим запасом для всех <р и h/R в рассматриваемом примере.

СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1.Демьянов В. Ф., Малоземов В. Н. Введение в мшшмакс. М., 1972. 368 с.

2.Малмейстер А. К., Тамуж В. П., Тетере Г. А. Сопротивление полимерных и ком­

позитных материалов. 3-е изд. Рига, 1980. 571 с.

3.Гнуни В. Ц. К теории динамической устойчивости слоистых анизотропных по­ логих оболочек. — Изв. АН АрмССР, I960, т. 13, № 1, с. 47—58.

4.Амбарцумян С. А. Теория анизотропных оболочек. М., 1961. 384 с.

5.Jones R. М. Mechanics of composite materials. 1975. 432 p.