Механика композитных материалов 5 1979

МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, 1979, № 5, с. 840—850

УДК 624.71 + 634.374:678.5.06

Э. И. Григолюк, Е. А. Лопаницын

КОЛЕБАНИЯ ТРЕХСЛОЙНЫХ СТЕРЖНЕЙ

1. Свободные колебания трехслойного стержня. Для описания пове­ дения свободно колеблющегося трехслойного стержня будем использо­ вать дифференциальные уравнения равновесия и концевые условия, по­ лученные в1:

безразмерные параметры, характеризующие жесткость заполнителя на сдвиг и изгибную жесткость несущих слоев соответственно; %— функция перемещений; р — приведенная удельная плотность стержня; со — собст­ венная частота стержня. Первое уравнение системы (1.1) описывает рав­ новесие элемента стержня в продольном направлении, а второе — в по­ перечном. Первый член второго уравнения соответствует второй произ­ водной изгибающего момента по продольной координате х, а второй член — поперечной инерционной нагрузке. Для того чтобы получить вто­ рое уравнение в таком компактном виде, в1 была введена функция пере­ мещений х> которая связана с прогибом ш и сдвиговыми деформациями заполнителя а следующим образом:

Если рассмотреть первое уравнение системы, то можно получить, что как для стесненных продольных перемещений на краях, так и для не­

8 4 0

ределяются из концевых условий через оставшиеся Л6, А7, . . . , А т, т. е. функцию х можно представить как сумму линейно-независимых функций:

где q>i(Е) = 2 а ^ + 1 г+ .

;'= о

В качестве примера покажем коэффициенты аппроксимирующего ряда фг(^) для случая консольного стержня, у которого на обоих кон­ цах поставлены абсолютно жесткие диафрагмы, препятствующие отно­ сительному сдвигу несущих слоев. В данном случае коэффициенты будут:

Хх = х—кхп = Хш = 0 при Е = 0; xn -^ k x IV = xni = Xv = 0 при £= 1;

+ 6Фк(п —2) [{п —3) {п—6) + 2]}; йг3= 0;

п(п—1) (п —2)

#г4—■ -[(п—3) (п—4 ) - 2]; 48

п(п —1) (п —2) (п —3) (/г—4)

ai5= —

120

где /г = х + 6.

Рис. 1. Влияние параметра сдвига заполнителя к на наименьшую собственную частоту

стержней: а — опертого обоими концами; б — заделанного обоими концами; в — заде­

841

Если функцию х в виДе (1.4) подставить в уравнение Бубнова (1.3), то получим систему однородных алгебраических уравнений

коэффициентов Сг-, необходимо удовлетворить равенство нулю опреде­ лителя системы (1.5):

корни этого уравнения.

В качестве числового материала по свободным колебаниям на рис. 1 представлены графики, показывающие зависимость первой приведенной частоты (Oi* от коэффициента сдвига к и параметра О. Можно отметить, что при увеличении параметра к, т. е. при уменьшении жесткости запол­ нителя на сдвиг, coi* уменьшается и при к > 3 почти не изменяется. При стремлении к к нулю, т. е. при бесконечном увеличении жесткости за­ полнителя на сдвиг, значение юц стремится к значению приведенной частоты для однородного стержня Бернулли—Эйлера, то же и для {К По мере увеличения ft несущие слои воспринимают все большую часть изгибающего момента, собственная приведенная частота растет.

Решению задачи о свободных колебаниях трехслойного стержня (рис. 2) посвящены работы2-9 и другие. В первых четырех работах для описания использовалось уравнение, приведенное в1, а в остальных — уравнение из10. Для получения собственных частот в2-3-6-8 использова­ лось точное решение дифференциального уравнения равновесия. При­ ближенные методы расчета — метод Бубнова, метод разложения реше­ ния в ряд по степеням параметра уравнения и метод Ритца — исполь­ зовались в4-5-9 соответственно. Кроме того в5 и9 проводились экспери­ менты. Таким образом, в приведенных работах можно найти резуль­ таты расчетов по следующим вариантам концевых условий — шарнирноопертый стержень с диафрагмами на торцах и без них, заделанный стер­ жень с диафрагмами на обоих концах, стержень, опертый без диафрагмы

842

одним концом и заделанный с диафрагмой другим, консольный стер­ жень, заделанный с диафрагмой.

Из первого уравнения получим: N = N0, где N0 — продольное усилие на торце стержня. Запишем второе уравнение в безразмерной форме:

= 2 Сгфг(£) и применить к уравнению (2.1) метод Бубнова, то в итоге <=i

получим частотный определитель I

det [ J[(O k < p i ' ' I - ( (>iI V ) - x 2(<I>iI I - k q ) i I V )](< P j-k< p /I) d i ] = 0 ;

0

I, У= 0, 1, .., s,

Рис. 3. Влияние параметра сдвига заполнителя к на наименьшее значение параметра критиче­ ской нагрузки для стержней: а — опертого обоими концами; б — заделанного обоими кон­ цами; в — onepforo одним концом и заделан­ ного другим. --------- стержни без диафрагм,

----------с диафрагмами. Цифры у кривых — значения О.

8 4 3

из которого определяется неизвестный параметр критического продоль­

ного усилия х.

На рис. 3 представлены графики, построенные по результатам рас­ четов первого значения параметра критического продольного усилия для шести вариантов концевых условий.

3. Свободные колебания нагретого трехслойного стержня. В случае, если продольные перемещения на концах стержня не стеснены, имеем:

где В — приведенная жесткость стержня на растяжение—сжатие — B = Ehb\ v — продольное перемещение точек, лежащих на оси приведе­ ния стержня; Nt — продольная нагрузка, вызванная нагревом стер­ жня — = £ (yj/zi-f72/22+ Уз^з); Ht — момент сдвига, вызванный нагре­ вом — ///= /C[YI^I (^з—С12) —72^2(^з+ С 12)+уз(^гз^з—^ 12^3) ] i Mt — изги­ бающий момент, вызванный нагревом Mt = K[y\{tnlti — Ci5n\)-\-y2 (m2t2 -

температуры по стержню; (3* — коэффициент линейного расширения ма­ териала 1-го слоя.

Рассмотрев первое уравнение системы (3.1) с соответствующими концевыми условиями, получаем, что по всей длине стержня N = 0. Те­ перь рассмотрим второе уравнение. Решение этого уравнения будем ис­ кать в виде:

где т — время. Тогда рассматриваемое уравнение распадется на два:

Первое уравнение описывает статический изгиб стержня под действием термической нагрузки, а второе уравнение — свободные колебания стержня около нового положения равновесия, вызванного термической нагрузкой.

Далее будем рассматривать только второе уравнение (3.3). Введем

Это уравнение полностью совпадает с уравнением, описывающим сво­ бодные колебания ненагретого трехслойного стержня (1.2). Если с по­ мощью представления (3.2) рассмотреть концевые условия для за­ дачи (3.1), то получим для функции Х2 такие же концевые условия, как

8 4 4

в случае ненагретого стержня. Значит, можно сказать, что в случае не­ стесненных продольных перемещений на концах стержня значения час­ тот свободных поперечных колебаний при нагреве стержня не изменя­

ются.

В случае, если продольные перемещения концов стержня стеснены,

имеем:

Xi — семейство ортогональных функций, удовлетворяющих заданным концевым условиям. Вариационное уравнение примет вид:

1

J [ ^ v i ^ - k W i ) _ 1~ k— .X F W i - k X F ) -

845

где !а= я/^ tn= phbl — масса стержня, 6 (|) — дельта-функция Дирака. Представим функцию х» соответствующую i-му тону колебаний, в виде: ^=А{Хи где Xi — i-я собственная функция уравнения свободных коле­ баний трехслойного стержня. Используя метод Бубнова, найдем:

значения настоящей работы появляется зависимость функции Л(£а) не только от координаты груза, но и от отношения массы груза к массе

где гi — искомые функции от времени. Введя безразмерную координату и известные обозначения, получим следующее уравнение колебаний:

где х означает вторую производную функции по времени. Применяя к уравнению (5.2) процедуру Бубнова и принимая во внимание соотно­ шения (3.7) и (3.9), имеем:

847