Механика композитных материалов 5 1979

Фотографии растущей трещины, приведенные в10, показывают что в ходе роста трещины раскрытие в точке / достигает некоторого максимального значения /го—0,5 мм, которое в дальнейшем практически не изменяется*.

Для расчета приняты следующие значения параметров: Е = 2 • 109Н/м2, «гр, и — соответствующие полистирольной матрице (см. (8)). В случае медленного растяжения принято также ё=10~4 с-1, ф= 0,6. Эти значения ё и <р, по-видимому, близки к использовавшимся в10. Уравнение (7') решалось численно следующим образом. На первом этапе, до мо­ мента страгивания вторичного фронта, задавались на каждом шаге конечные приращения времени At. По соотношениям (6), (7') и (9) вычисляли согласно модифицированному методу Эйлера17 соответствую­ щие приращения величин р, а и h. Когда раскрытие достигало критиче­ ской величины 0,5 мм, начинался второй этап. На этом этапе в качестве задающего выбиралось приращение Да, откуда рассчитывали прираще­ ние At из соотношения (7'), Ар — из соотношения (6) и ДI — из соотно­ шения (9) и из условия постоянства раскрытия: h(l)= 0,5 мм.

Точность обеспечивалась выбором достаточно малого шага по t и по а (по t шаг был выбран уменьшающимся по мере удлинения трещины, что ускоряло расчет и увеличивало его точность). Проверка вычислений обеспечивалась контрольным расчетом с использованием меньшего шага.

Результаты расчета удлинения трещины со временем представлены на рис. 4. В целом теоретические кривые передают основные закономер­ ности роста трещины в УПС и АБС пластиках, однако расчет предсказы­ вает более резкое увеличение размеров трещины ссгвременем, чем наблю­ дается в действительности10. Это может быть связано с тем обстоятельст­ вом, что в модели не учитывается увеличение стягивающего напряжения ат с ростом скорости раскрытия створок трещины. Учет этого упрочнения привел бы к более растянутой во времени картине ускорения роста тре­ щины.

В случае быстрого нагружения могут быть проведены аналогичные вычисления. Пусть время действия ударной нагрузки ~ 10 -2 с, а макси­ мальная деформация перед разрушением 0,05. Тогда ё= 5 с-1. Стягиваю­ щее напряжение ат= 5* 104 Н/м2.

На рис. 5 приведена зависимость внешнего напряжения в момент раз­ рушения от объемной доли включения ф при ё= 5 с-1, ат= 5-104 Н/м2 (зависимость модуля упругости от ф не учитывалась). Для сравнения приведена такая же зависимость при ё=10-4 с-1. Как видно из рис. 5, материал значительно упрочняется с ростом объемной доли включений при быстром нагружении, но практически не упрочняется при квазистатической нагрузке. На опыте зависимости такого же типа наблюдаются для ударной вязкости от объемной доли включений3. Можно надеяться, что дальнейшее развитие и уточнение модели «заторможенной трещины» позволит проводить исследование взаимосвязей между различными пара­ метрами структуры и состава и результирующими прочностными .харак­ теристиками ударопрочных полистирольных пластиков.

СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1.Baer М. Studies of heterogeneous polymeric systems. — J. Appl. Polym. Sci., 1972, vol. 16, p. 1109—1125.

2.Cigna G., Matarrese S., Biglion G. Effect of structure on impact strength of

rubber-reinforced polystyrene. — J. Appl. Polym. Sci., 1976, vol. 20, p. 2285—2295.

3. Брогау С. Д. Теория упрочнения хрупких полимеров каучуками. — В кн.: Мно­ гокомпонентные полимерные системы. М., 1974, с. 141—158.

* Страгивание вторичного фронта происходит, в действительности, несколько раньше, до достижения максимального раскрытия. Поскольку расчет носит иллюстра­ тивный характер, этим несоответствием можно пренебречь.

80 9

МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, 1979, № 5, с. 811^818

УДК 624.071.4 + 539.411:678.5.06

В. Д. Потапов

УСТОЙЧИВОСТЬ ВЯЗКОУПРУГИХ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК ПРИ ПОВЫШЕННЫХ ТЕМПЕРАТУРАХ

При исследовании устойчивости стержней, тонких пластин и оболо­ чек в условиях ползучести наличие возможных повышенных темпера­ тур учитывается, как правило, только при записи закона ползучести. Граничные условия принимаются такими, что исключают появление до­ полнительных усилий, вызываемых температурными удлинениями. Вместе с тем в некоторых случаях изменение температурного поля яв­ ляется причиной появления значительных усилий в элементах вязкоуп­ ругих конструкций, .что может существенно повлиять на их устойчи­ вость.

На особенности поведения конструкций в подобных условиях обра­ щалось внимание в статьях1-2, где рассматривалась задача об устойчи­ вости пластины, деформирование материала которой подчиняется за­ кону Максвелла, и фермы Мизеса при нелинейной ползучести. Однако эти простейшие задачи не дают полного представления о влиянии тем­ пературы на поведение конструкций, материал которых обладает вязкоупругими свойствами. Представляет несомненный интерес более деталь­ ное исследование устойчивости подобных конструкций.

В настоящей статье рассматриваются уравнения, которыми описы­ вается процесс деформирования ортотропных вязкоупругих пластин и оболочек, материал которых обладает свойством линейной ограничен­ ной ползучести, при тепловых воздействиях. На примере пластины с различной степенью ортотропии и различными свойствами ползучести иллюстрируются особенности исследования устойчивости деформирова­

aij — коэффициент линейного расширения материала; aij = 0 при i ^ j . Здесь и далее по повторяющимся индексам производится суммиро­ вание. Оси координат Х\, Хч совпадают с линиями главных кривизн и осями вязкоупругой симметрии, а ось х3 — перпендикулярна к ним и на­ правлена к центру кривизны. Упругие константы Cijhi, а.цы и ядра интег­ ральных соотношений K i j k i { t , т ) , S ’i j h i i t , ’* ) в общем случае могут быть функциями температуры. Однако в дальнейшем будем считать, что эти характеристики не зависят от температуры.

811

Уравнения равновесия и совместности деформаций ортотропных вяз­ коупругих пологих оболочек с учетом межслойного сдвига по гипотезе Тимошенко записываются следующим образом:

—(ш.ц0ш.22° —ш,1202)} —апТо.гг- агг^оль

Здесь уi — углы поворота нормали к срединной поверхности оболочки; w, ш° — дополнительный и начальный прогибы оболочки; ф — функция усилий, действующих в срединной поверхности; h, Rij толщина и ра­ диусы главных кривизн срединной поверхности оболочки {R\2 = R2 \= 00)

Заметим, что уравнения (2) остаются справедливыми в том случае, когда упругие постоянные и ядра интегральных соотношений ( 1) зави­ сят от температуры, но температурное поле не зависит от пространст­ венных координат.

Если напряженное состояние оболочки безмоментное, составляющие тензора усилий Nij, действующих в этом случае в срединной поверхно­ сти оболочки, определяются с помощью функции усилий F(t,xi,x2), ко­ торая с учетом граничных условий находится из уравнения равновесия при отсутствии касательных нагрузок, прикладываемых к поверхности

оболочки — F<22+ —— F'n = - q .

Исследование устойчивости оболочки производится на основе сопо­ ставления траектории ее невозмущенного движения (безмоментного напряженного состояния) и траектории возмущенного движения3. Последнее может быть обусловлено, например, малым на­ чальным прогибом w°. Считая движение до­ статочно медленным (не учитывая силы инерции), запишем уравнения, описываю­

щие возмущенное движение оболочки:

8 1 2

1

DIIIIVI.II + D1122Y2,12+"2“ D1212(71,22+ 72,12)= Гз131 (71 —w,\)h\

~ 2 D 1212 ( 7 2 , l l + 7 l . 2 l ) + ^ 2 2 1 1 7 1 .1 2 + D 222272 .22 = Г з2 3 2 ( у 2 — W ' 2 ) h \

1

h [КццФ-2222+ 2(К1212+ K[122)Ф’1122+ К2222Ф4Ц1] —

ЖЯ 22

Если в процессе решения задачи система с бесконечно большим чис­ лом степеней свободы тем или иным способом заменяется системой с конечным числом степеней свободы, тогда система интегродифференциальных уравнений (2) заменяется системой интегральных уравнений. В принятой постановке исследование устойчивости решения такой сис­ темы оказывается эквивалентным исследованию устойчивости невозму­ щенного движения по отношению к постоянно действующим возмуще­ ниям4.

В качестве примера рассмотрим задачу об устойчивости равномерно нагретой в пространстве и во времени прямоугольной пластины (рис. 1), на кромках которой выполняются следующие граничные условия: при *1 = 0, a Hi = 0; N \2 = 0\ W = W’U = 0; при х2 = 0, b и2 = 0; N2i = 0\ w = W'22 = 0. Если начальный прогиб в пластине отсутствует, то усилия, возникаю­ щие в пластине при нагреве, определяются выражениями Л/г;= = — hYijki<XhiTi, j, k, l = 1,2. При ап = а22 имеем: Nii = — ha(Гщ I + Гц22) Го;

После подстановки выражений (3), (4) в уравнения (2) получим систему неоднородных интегральных уравнений относительно амплитуд

81 3

Допустим, что ядра интегральных соотношений (1) зависят только от разности аргументов, т. е. являются инвариантными относительно начала отсчета CJ i j k i ( t , x ) = a h i { t — x ) . В этом случае качественный ана­ лиз возмущенного движения в моменты времени, достаточно удаленные от момента нагрева пластины, существенно упрощается, если начало

жителен определитель, составленный из коэффициентов при неизвест­ ных в системе алгебраических уравнений5:

Л/11 = —/laTo (flu 11 + ai i22—Г1111 —Г1122)

N2 2 = —haT0(a22ii + Я2222—Г22ц —Г2222) •

Критическому состоянию пластины соответствует равенство нулю ука­ занного определителя. Значение feMnepaTypbi, соответствующей этому условию, назовем длительной критической температурой Гдл.

Далее остановимся на вопросе, связанном с влиянием различной сте­ пени ортотропии материала вязкоупругой пластины на ее устойчивость при нагреве.

Сначала предположим, что материал пластины изотропный с .по­ стоянным во времени коэффициентом Пуассона ц. Допустим, что меж­ слойный сдвиг в пластине не учитывается. При этом очевидно:

T^iiii = D 2222 = D ( \ — Г ) ; D \ \ 2 2 ~ 7)2211 = цТ^пп; T)i2i2= (1 — ц)7)пц;

814

Это значение температуры в точности совпадает с критическим значе­ нием температуры упругой пластины (Г = 0). Следовательно, для вы­ бранной изотропной вязкоупругой пластины критические значения мгно­ венной и длительной температуры совпадают.

Интересно отметить, что дополнительный прогиб в такой пластине, по крайней мере в предположении его малости, остается неизменным во времени, если 7’<7,мгн= Тлл. Действительно, коэффициенты Фурье fmn{t) в разложении дополнительного прогиба пластины

определяются из уравнения, которое можно представить следующим

образом:

t

Из теории интегральных .уравнений Вольтерры второго рода из­ вестно, что решение (9) является единственным решением уравне­ ния (8). Следовательно, прогиб изотропной вязкоупругой пластины (при постоянном во времени коэффициенте Пуассона) при нагреве ис изменяется во времени, если температура нагрева не превосходит крити­ ческого значения.

При других соотношениях между напряжениями и деформациями для изотропного вязкоупругого материала результаты могут отличаться от полученных. Например, принимая вместо гипотезы о постоянстве во времени коэффициента Пуассона более логичное предположение об уп­

D22U = \I D\ DX2\2 =VD (1 —Г); v< 1—р.

815

Значения А, В получаются из выражений А*, В* подстановкой в них Г= 0.

При рассмотрении задачи об устойчивости нагретой пластины ис­ пользовалось предположение о том, что ядра интегральных соотноше­ ний (1) инвариантны относительно начала отсчета. Далее остановимся на особенностях исследования устойчивости пластины при более общих ядрах Kijhi{t,%), S'ijkiit, т).

Допустим, что Kijhi(t, т), S’ijhiity'z) можно записать следующим об­ разом (ядра подобной структуры используются, например, для описа­ ния ползучести и релаксации полимеров, когда их вязкие свойства ме­ няются во времени7, и бетонов8):

(t —т) — оо. Графики таких функций при больших t имеют вид, показан­ ный на рис. 2.

Если упругие характеристики материала во времени не изменяются, то, очевидно, «старение» материала может сказаться только на вели­ чине длительной критической температуры.

Для получения ее значения рассмотрим поведение решения системы неоднородных интегральных уравнений (5) во времени. Эти уравнения

J K(t,x)f(x)dx = \к.<"(1,хШх)<1х+\ KV{ t - x ) l ( x ) dx .

t0 to to

Для вычисления их воспользуемся квадратурной формулой, например, формулой прямоугольников. Тогда

При достаточно больших t конечную сумму можно представить следу­ ющим образом:

причем A = const.

Представляя все интегралы таким образом и перенося постоянные слагаемые Л,-^ в правые части уравнений (5), получим систему урав­

нений, левая часть которой (при t-* o о) будет такой же, как и в слу1 инвариантных относительно начала отсчета ядер Jijkiit —т), Kijhi{t- (заметим, что по мере стабилизации механических свойств материа усилия Nп, N22 стремятся к постоянным значениям).

Следовательно, при нахождении длительной критической темпе] туры можно вновь воспользоваться определителем системы алгебрг ческих уравнений (6). Как видно, при задании ядер ползучести и ] лаксации в форме (11 ) «старение» материала учитывается лишь п вычислении предельных значений усилий Ыц.

Если взять, например, пластину из изотропного материала с не] менным во времени коэффициентом Пуассона, то

Полученное неравенство говорит о том, что, если в момент нагрева пластину наложить дополнительные связи, которые препятствуют ] тери ее устойчивости, и сохранить эти связи на протяжении некоторс времени, то пластина будет устойчивой и после удаления связей, ес температура нагрева пластины не превосходит Т^л.

Значения критических температур получены в предположении, закон деформирования материала пластины не меняется при изменен: температуры. Однако известно, что упругие модули и параметры, хар; теризующие вязкие свойства материала, в общем случае являются фу] циями температуры6.

В некоторых диапазонах изменения температур модули упругое иногда считаются постоянными, а влияние температур учитывае' лишь в изменении скорости деформаций ползучести (изменении спект времен релаксации)9. Нетрудно убедиться в том, что подобное уточнен закона деформирования материала никак не отразится на величш длительных критических температур (модули упругости при длительн деформировании остаются неизменными).

Если с изменением температуры существенное изменение претер вают модули упругости и ядра Kijki(t,x, Т), 9\jw(/, т, Т), тогда величи мгновенной и длительной критических температур будут определят из нелинейных уравнений, следующих из системы уравнений (6).

СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1.Bargmann Н. Stabilitat von Maxwell-platten unter zeitlich und ortlich zufalh hiingingen Temperaturfeldern. — ZAMM, 1970, Bd 50, Sonderheft 1—4, S. 95—96.

2.Ziegler F. Snap-through buckling of a viscoelastic von Mises truss in a ranc temperature field. — J. Appl. Mech., Trans. ASME. Ser. E, 1969, vol. 36, N 2, p. 338—c

3.Потапов В. Д. О критерии устойчивости при ползучести. — Прнкл. мехаш 1973, т, 9, № 9, с. 51—57.

4.Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. М., 1966. 515 с.

5.Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. 4. М.—Л., 1951. 800 с.

6. Работное Ю. Н. Элементы наследственной механики твердых тел. М., 1!

107с.

7.Скудра А. М., Булаве Ф. Я-, Роценс К■А. Ползучесть и статическая усталс армированных пластиков. Рига, 1971. 236 с.

8.Арутюнян И. X. Некоторые вопросы теории ползучести. М.—Л., 1952. 319 с

9.Ильюшин А. А., Победря Б. Е. Основы математической теории термовязкоуг гости. М., 1970. 280 с.