Механика композитных материалов 5 1979

МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, 1979, М 5, с. 819—834

УДК 624.071.4 + 539.411:678,5.06

Л. Н. Гузь, К. И. Шнеренко

ТОНКИЕ ОБОЛОЧКИ ИЗ КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, ОСЛАБЛЕННЫЕ ОТВЕРСТИЯМИ

1. За последние 10—15 лет в области механики тонких оболочек опубликовано свыше 100 работ, в основном отечественных авторов, по­ священных вопросам распределения напряжений около отверстий в обо­ лочках из композитных материалов. Научные достижения в этой области являются ответом на задачи, возникшие в практике в связи с широким применением в технике армированных пластмасс. При проектировании и в процессе эксплуатации элементов таких конструкций важное значе­ ние имеют вопросы исследования влияния на напряженное состояние характерных деформативных свойств материалов — анизотропии, подат­ ливости на сдвиг и слоистой структуры. В задачах о концентрации на­ пряжений около вырезов, где существенную роль в напряженном со­ стоянии играет локальный изгиб и высокие градиенты деформаций, эти особенности материалов, несомненно, должны быть учтены1.

Для решения таких задач необходимо привлекать уточненные двух­ мерные теории, поскольку классическая гипотеза Кирхгофа—Лява не учитывает деформации поперечных сдвигов. С другой стороны, решение задач в уточненной постановке позволяет определить границы примени­ мости классической теории, необходимые при разработке рекомендаций для инженерных методов расчетов элементов тонкостенных конструкций.

Для построения уточненных прикладных теорий многослойных ани­ зотропных оболочек используются следующие предположения: 1) нор­ мальный элемент, перпендикулярный недеформнрованной срединной по­ верхности, в процессе деформации поворачивается на некоторый угол, не искривляясь и не изменяя своей длины; 2) напряжения азз, действу­ ющие на площадках с нормалью, направленной по координатной ли­ нии у, малы по сравнению с другими. Эта модель, заимствованная из работы Тимошенко2, построена им применительно к поперечным коле­ баниям стержней и балок.

Следуя принятым допущениям, смещения по толщине оболочки можно представить в виде:

W = w ( a , р); t/i = Hf (a, Р ) - 6 y 0 t ( a , р ) + M v ) Y i ( a . Р) (1’ =!а >Р)*

где иа, ир, w — перемещения срединной поверхности; уа, ур — функции

Вdp R р

получить различные теории. В частности, при 6 = 1, /а(у) =/р(у) =0 получаем классическую гипотезу Кирхгофа—Лява; при 6 = 0, fa(y) = ='/р(у) =у — кинематическую гипотезу Тимошенко.

Материалы оболочек типа стеклопластиков, металлопластиков, орга­ нопластиков в рассматриваемых исследованиях предполагаются одно­ родными ортотропными или трансверсально-изотропными с понижен­ ными сдвиговыми модулями. Армированные композиты, в том числе

полученные намоткой, считаются линейно-упругими, однородными с неко­ торыми приведенными характеристиками, которые определяются экс­ периментальными или известными теоретическими методами. Деформа­ ции межслоевых сдвигов, за исключением трехслойных, учитываются для всего пакета оболочки в целом3-4.

2. Ортотропные оболочки без учета деформаций сдвига. Для много­ слойных оболочек, изготовленных из материалов с высоким модулем сдвига, при расчетах может быть использована классическая теория оболочек, позволяющая учитывать анизотропию свойств, но не учиты­ вающая поперечных сдвигов. В этом случае напряженно-деформирован­ ное состояние в области отверстий описывается уравнениями и соотно­ шениями, приведенными в монографиях3-5. Рассмотрим некоторые ре­ зультаты, полученные в данной постановке в основном в первом периоде развития теорий композитных оболочек.

Сферическая оболочка. Система разрешающих уравнений осесиммет­ ричных задач для оболочек с цилиндрической ортотропией приводится к виду6:

строено решение уравнения (2.1) в цилиндрических функциях комплек­ сного переменного. В замкнутом виде получено выражение для коэффи­ циента концентрации напряжений на контуре кругового отверстия с уче­ том нулевого и первого приближений. На численном примере исследо­ вано влияние ортотропии на напряженное состояние в оболочке.

Заметим, что работа6 была первой работой по концентрации напря­ жений около отверстий в ортотропных оболочках. Аналогичный подход

формы границы3, построено решение для оболочки с криволинейным от­ верстием, подкрепленным широким ортотропным кольцом. Для нулевого приближения функция Ф выбиралась в виде (2.2), а для последующих — в виде:

Получены численные результаты для квадратного отверстия п кольца такой же формы.

Цилиндрическая оболочка. В работах1011 построено приближенное аналитическое решение для ортотропной оболочки в классической по­

8 2 0

становке. Рассматривалось уравнение оболочек со слабовыраженной анизотропией

ставляя функцию ср(а, р) в виде ряда по малому параметру6 е, автор нашел общее и частное решения уравнений для нулевого и первого при­ ближений. Получена следующая формула для окружного усилия на контуре неподкрепленного отверстия:

В12 аналогичный метод распространен на случай температурных на­ грузок.

В работах13-22 на основе классической теории исследовано распреде­ ление напряженно-деформированного состояния около кругового отвер­ стия с помощью вариационных методов, причем работа17 была первой по концентрации напряжений около отверстий в ортотропной цилиндри­ ческой оболочке. В13-16 получен ряд результатов для оболочки, нагру­ женной сжимающим усилием, а в20-22 — при кручении. В этих работах исследовано влияние ортотропии и подкрепления края отверстия на рас­ пределение напряжений. Установлено, что анизотропия существенно влияет на величину напряжений. В19 с помощью метода Бубнова—Га- леркина исследовано влияние подкрепляющей накладки в области кру­ гового отверстия, контур которого подкреплен жестким кольцом.

В работах23-26 предложен алгоритм численного решения задач для ортотропных оболочек с прямоугольными отверстиями с применением метода конечных разностей, а в27-30 получены результаты на основании вариационных методов.

В31 изучены краевые эффекты в области пересечения двух ортотроп­ ных цилиндрических оболочек постоянной толщины. Задача для двоя­ копериодической системы отверстий рассмотрена в32.

Коническая оболочка. Аналитические решения для ортотропной ко­ нической оболочки построить не удается. В работах5*33-35 при решении задач для оболочки с отверстиями применялись вариационные методы.

Исходя из разрешающей системы уравнений смешанного типа тео­ рии пологих оболочек, в5 построено вариационное уравнение

где операторы5 L\{Dih), L2(Aih) зависят от жесткостей, a A/t — от

821

параметра конусности оболочки. При этом искомые решения представ­ ляются в виде рядов с конечным числом аппроксимирующих функций

которые удовлетворяют условиям однозначности перемещении и зату­ хают вдали от контура отверстия35.

В5 получены результаты для ортотропной оболочки с круговым от­ верстием при растяжении осевыми усилиями и при внутреннем давле­ нии. В34 рассмотрено кручение такой же оболочки. В этих работах ис­ следовано влияние ортотропии, конусности и размеров отверстия на величины и характер напряженного состояния. Доказано, что ортотропия материала существенно влияет на картину распределения напря­ жений около отверстия в количественном и качественном отношениях.

Оболочки вращения. В работе7 предложен метод решения задач осе­ симметричной деформации йологих ортотропных оболочек вращения. При этом задача сведена к решению уравнения относительно комплек­ сной функции Ф:

Решение уравнения (2.3) построено методом последовательных приблн-

°о

жений. Функция ф находилась в виде Ф= 2 е^’Ф^Да), где в качестве

влияния ортотропии на величину прогиба в оболочке.

В11 рассмотрен подход к решению осесимметричных задач ортотроп­ ных оболочек вращения положительной кривизны. Применен метод асимптотического интегрирования (метод эталонных уравнений) сис­ темы уравнений Новожилова, имеющих малый параметр при старшей производной.

В работах36-37 на основе классической теории ортотропных оболочек вращения исследовалось осесимметричное напряженное состояние обо­ лочек переменной толщины. Разрешающее уравнение для возмущенного напряженЦого состояния выбиралось в виде:

уравнения применялся метод последовательных приближений, где за нулевое приближение выбиралось решение для оболочки постоянной толщины. Определено напряженное состояние (с учетом нулевого и пер­ вого приближений) на контуре подкрепленного отверстия в стеклопла­ стиковой эллипсоидальной оболочке. Исследовалось влияние парамет­ ров переменности толщины и жесткостей подкрепляющего кольца для оболочки со слабо выраженной анизотропией.

822

В38 рассмотрен подход к решению задач для оболочек вращения с учетом разномодульности материала, а в39 — с учетом осесимметрич­ ного нагрева материала.

В работе40 предложен подход к расчету ортотропных пологих оболо­ чек с периодической системой отверстий. Получены матрицы Грина для периодических задач.

3. Трансверсально-изотропные оболочки. В настоящее время доста­ точно полно исследованы вопросы о напряженном состоянии в транс­ версально изотропных оболочках. Для ряда задач здесь удалось по­ строить точные аналитические решения. Большинство из них вошло в обобщающие монографии3-4-41-42.

В работе1 впервые дана постановка задач для трансверсально-изо­ тропных оболочек с отверстиями, получена разрешающая система урав­ нений в виде:

к

ДДф —£7iAftOy = 0; ДД^ср— — Д^ср —/СДДш= AZ— — Z;

(3.1)

2К

D{ 1 -v) Х = 0,

где ф — функция напряжений; до — прогиб; %— функция сдвига.

В4-43 получены граничные условия для края отверстия, подкреплен­ ного упругим кольцом с учетом деформаций поперечных сдвигов.

где g1, g2 — решение уравнений Гельмгольца; fb \f2 — гармонические функции. Показано, что в зависимости от значения корней характери­ стического уравнения функции (3.2) могут иметь разный вид. С по­ мощью асимптотических представлений получены формулы для окруж­ ных усилий и моментов для неподкрепленного отверстия

которые дают возможность оценить влияние деформаций поперечных сдвигов на концентрацию напряжений. Здесь же найдены формулы для определения компонент напряженного состояния в случае подкреплен­ ных и свободных контуров отверстий.

В работах45-47 с помощью формул (3.1), (3.2) исследовано напря­ женное состояние в многослойной оболочке несимметричного строения. На примере двухслойной оболочки с круговым отверстием показано, что различие упругих характеристик слоев может дать определенную погрешность по сравнению с расчетом по приведенным постоянным для всего пакета оболочки в целом.

Исходя изприближенной системы разрешающих уравнений для по­ логих оболочек, когда во втором уравнении (3.1) пренебрегается членом

8 2 3

ДД/гф, в41-4*-48-51 получен ряд результатов для различных видов под­ крепления контура, в том числе для абсолютно жесткого кольца и под­ крепления контура частью оболочки (широким упругим кольцом).

С помощью метода возмущения формы границы3 в работах42-52' 53 получено решение ряда задач для оболочки с эллиптическим, треуголь­ ным и квадратным отверстиями. Рассмотрены подкрепленные и свобод­ ные отверстия. Решения получены с учетом двух-трех приближений для нескольких значений величины модуля поперечного сдвига.

В3-42-44 построены решения задач для оболочки с несколькими от­ верстиями. При этом получены бесконечные системы алгебраических уравнений для многосвязных областей, имеющие определители нормаль­ ного типа. На примере оболочки с Хвумя круговыми отверстиями43 ис­ следовано влияние параметров сдвига и расстояния между отверстиями на величины максимальных напряжений.

Решение для непологой сферической оболочки получено в54. При этом функции типа (3.2)' представлены .через присоединенные функции Лежандра первого и второго рода комплексного порядка. Исследовано условие однозначности перемещений.

нения представлено в виде разложения по малому параметру, где за нулевое приближение принято решение для сферической оболочки. По­ лучены рекуррентные формулы для определения последующих прибли­ жений.

В работах41-42-55, как уже отмечалось выше, при построении реше­ ний использовалась приближенная система уравнений цилиндрических трансверсально изотропных оболочек

Здесь первое уравнение совпадает с уравнением классической теории оболочек56, что позволило использовать известные результаты для изо­ тропных оболочек4. Задачи сведены к решению бесконечных систем алгебраических уравнений относительно произвольных постоянных. Предложенная схема решения, за исключением граничных условии, совпадает со случаем изотропных оболочек.

На основании изложенного подхода в42 получены численные резуль­ таты расчетов напряженного состояния в области кругового неподкрепленного отверстия при внутреннем давлении, осевом сжатии и круче­ нии цилиндрической трансверсально изотропной оболочки. Таблицы и графики построены для нескольких значений величины модуля попереч­ ного сдвига. Для рассмотренных материалов учет деформаций сдвига не вносит существенных поправок по сравнению с результатами клас­ сической теории оболочек.

В57 рассмотрена задача для цилиндрической оболочки с периодиче­ ской системой отверстий. Задача решалась с помощью вариационного

принципа Рейснера и /^-функций с точным удовлетворением граничных условий.

8 2 4

Динамическая задача по распространению упругих волн от края кру­ гового выреза в трансверсально-изотропной оболочке исследовалась в58. При этом решение строилось в виде рядов по степеням координаты г.

4. Многослойные анизотропные оболочки с учетом деформаций меж­ слоевых сдвигов. Оболочки из композиционных материалов, как пра­ вило, представляют собой многослойные конструкции, обладающие ани­ зотропными свойствами и пониженной сдвиговой жесткостью. Как уже отмечалось выше, в настоящее время возникла необходимость в разра­ ботке уточненных прикладных теорий для расчетов многослойных обо­ лочек, позволяющих учесть и оценить влияние упомянутых факторов. Их сущность заключается во введении в модель деформирования сис­ темы дополнительных степеней свободы, позволяющих дать описание характерных деформативных свойств композитных материалов. При этом при сведении задач оболочек к двухмерным возникают дополни­ тельные неизвестные функции и порядок разрешающих уравнений со­ ответственно повышается. Кроме того, специфика задач для оболочек с отверстиями требует представления решений в системе координат, одна из линий которой совпадает с контуром. Как правило, при этом система уравнений должна быть записана в координатах, линии кото­ рых не совпадают с направлениями главных кривизн и осей анизотро­ пии. Этими трудностями объясняется тот факт, что проблема определе­ ния напряженно-деформированного состояния около вырезов в оболоч­ ках из композиционных материалов в настоящее время еще не получила достаточного развития.

Аналитические решения. В монографии3 рассмотрена задача об осе­ симметричном напряженно-деформированном состоянии непологой ортотропной сферической оболочки. При этом система разрешающих уравнений сведена к комплексному уравнению

ния (4.1) находится с помощью присоединенных функций Лежандра первого и второго рода комплексного порядка:

где А, В — произвольные постоянные; п — корни характеристического

уравнения п2 + п — \ 2+R2(a)2 + iy№—со4) =0. Проведено исследование уравнения (4.1) и решения (4.2) в окрестностях полюса и экватора обо­ лочки.

В случае пологой ортотропной оболочки разрешающее комплексное уравнение (4.1) приводится к виду59:

Его решение, как и в случае ортотропной оболочки без учета

поперечных сдвигов8, находится с помощью цилиндрических функции комплексного аргумента и функций Ломмеля первого и второго рода. На основании полученных решений найдены формулы для определения усилий и моментов в ортотропной оболочке. На численном примере

825

исследовано влияние сдвиговой жесткости на величину коэффициента концентрации напряжений на контуре неподкрепленного отверстия. От­ мечено, что поперечный сдвиг существенно влияет на моменты и незна­ чительно ■— на усилия в срединной поверхности.

В работах60*61, исходя из решений уравнений (4.3), исследовано влияние поперечного сдвига и жесткостей подкрепляющего кольца на напряженное состояние сферической ортотропной оболочки с круговым отверстием. Задачи решались при граничных условиях43.

Применение вариационных методов. Для неосесимметричных задач переменные в уравнениях оболочек из композиционных материалов не разделяются, и описанными выше методами найти точные решения не удается. Практическая необходимость решения таких задач с появле­ нием большого числа тонкостенных конструкций из композиционных материалов потребовала разработки и применения эффективных при­ ближенных методов, пригодных для ЭВМ.

Разрешающая система уравнений статики ортотропных оболочек относительно перемещений ир, U Q , W и функций поперечных сдвигов ур, уе в полярной системе координат (р, 0) с началом в центре отверстия за­ писывается в виде4-62:

1г1(ир)+1г2(ив)+Ьг3((о)+Ьг4(ур)+1гЦув)=0 (£= 1,2, 3,4,5), (4.4)

где операторы Lp зависят от обобщенных жесткостей анизотропных ма­ териалов оболочки при растяжении, изгибе и сдвиге, а также от кри­ визны вдоль координатных линий р, 0.

Решения уравнений (4.4) должны удовлетворять условиям затуха­ ния возмущенного напряженного состояния в оболочке вдали от отвер­ стия и граничным условиям43 с учетом основного напряженного состоя­ ния на контуре отверстия:

I

Из соотношений (4.4), (4.5) составим функцию приращения упру­ гой энергии деформации оболочки

5 5 5

где интегрирование в первом слагаемом выполняется по всей области оболочки вне отверстия, а во втором — по контуру отверстая. В41 выра­ жение (4.6) получено исходя из общих вариационных принципов теории упругости.

Вариационный путь решения задачи заключается в представлении обобщенных перемещений и* в виде конечных сумм по заранее выбранной

и в определении постоянных A v.n из условий стационарности выражения

(4.6). При этом варьирование в (4.6) выполняется по произвольным постоянным А „ 11.

Если в качестве граничных условий на контуре отверстия заданы об­ общенные перемещения, а аппроксимирующие функции, удовлетворяю­ щие им, ортогональны, построенный вариационный принцип совпадает с известным принципом Бубнова—Галеркина63.

8 2 6

При решении широкого класса задач для анизотропных оболочек

сотверстиями использовались функции в виде4-62-67:

рs

иP= POX J X J Auni ( — У cos /гО;

n = 0 i = 1

рs

рS

деформации оболочки (4.6) приходим к системе алгебраических урав­ нений для нахождения произвольных постоянных Aint (4.7):

числа членов в функциях (4.7) в случае ортотропной цилиндрической оболочки с учетом деформаций межслоевых сдвигов. Численные рас­ четы проводились с помощью ЭВМ с удержанием в рядах (4.7) до де­ вяти членов. При этом решалась система алгебраических уравнений до

54-го порядка.

В62,67 исследовалась точность решения задач при разном числе коор­ динатных функций. Численные результаты для цилиндрических ортотропных оболочек с учетом межслоевых сдвигов получены в49-63-66. Ис­ следовалось влияние анизотропии, межслоевого сдвига, жесткостей под­ крепляющих колец, геометрических параметров и вида нагрузки на величины компонентов напряженного состояния в оболочке.

В работе62 в данной постановке решены задачи для ортотропных многослойных оболочек вращения, а также сферической и цилиндри­ ческой оболочек, имеющих в области отверстий переменную толщину.

решались в67-68. Аппроксимирующие функции выбирались в виде рядов по полиномам Лежандра. Для определения границ периодических эле­ ментов, на которые разбивалась область оболочки, использовались ^-функции, позволяющие точно удовлетворять граничным условиям.

8 2 7

Получены численные результаты для таких оболочек в случае центро­ бежных сил.

В работе69 на основе метода конечных разностей изучалось влияние вязкоупругих свойств материала, а в70 — влияние двухслойности на напряженное состояние в оболочках с вырезами.

5. Трехслойные оболочки. В современной технике нередко применя­ ются оболочки из композитных материалов трехслойного строения. При значительном различии прочностных характеристик несущих слоев и заполнителя расчеты таких конструкций с применением классической, а также сдвиговой гипотез для всего пакета оболочки в целом могут привести к существенным погрешностям.

Рассмотрим работы, относящиеся к вопросам расчетов трехслойных оболочек с отверстиями.

Если материалы всех слоев ортотропные, оболочку можно рассмат­ ривать как конструктивно ортотропную с некоторыми приведенными упругими характеристиками. В3 приведена схема решения задач для таких оболочек с применением теории типа Тимошенко для всего па­ кета. В этом случае могут быть использованы подходы, применяющиеся для многослойных оболочек. Отличие будет лишь в формулах для вы­ числения приведенных жесткостей и для напряжений в слоях.

В работе71 предложен подход к решению задач для оболочки с транс­ версально изотропными слоями при жестком заполнителе. При этом разрешающая система уравнений относительно функций напряжений F, прогибов w и сдвигов ф, ф получена в виде:

где F0— частное решение; f\,f2— гармонические функции; gi — решения уравнений Гельмгольца. В3 приведены различные варианты этих реше­ ний в зависимости от значений корней характеристического уравнения.

Рассмотрены задачи для многосвязных областей и связанные с ними вопросы сведения к бесконечным системам алгебраических уравнении,

атакже исследования сходимости и единственности их решений.

Вработе76 исследовано напряженное состояние сферической обо­ лочки с жестким заполнителем, ослабленной круговым неподкрепленным отверстием. Изучено влияние изменения модулей упругости несу­ щих слоев и заполнителя. Случай легкого заполнителя для такой задачи рассмотрен в71-77, а для подкрепленного отверстия — в78. В этих рабо­

8 2 8