Механика композитных материалов 3 1983
..pdfтельно, температурное поле и напряжения в пластинке определяются со ответственно по формулам ( 1 1 ) и (21) при
|
[2 А |
о * о(Ao- -Ai)Oo] |
(A 0 - |
м* |
|
||
/+(»1) = - |
A iJ ]), |
amNm+; |
|||||
|
|
|
|
^ |
|
//г |
1 |
|
|
|
|
|
М* |
|
|
|
|
/—(л) = |
(л0 |
bmNтп j |
|
||
|
|
|
|
|
m=l |
|
|
sin em+^ |
sin Em~h |
|
/ПЯ |
|
|
||
где iVm± = |
|
Em_ |
> ,m |
л ± ~ |
; |
|
|
6m+ |
|
||||||
В частности, |
при Xi = 0, |
г/х = 0 |
выражения для |
температурного поля |
|||
( 1 1 ) и напряжений (21) в безразмерных величинах примут соответст венно вид
Г |
= __1_ |
Г |
|
Ф+Сп) (C + + Bit) +Ф _(п) G- |
(24) |
|||||||
to |
к |
0 |
|
|
(G++ B ii )2+ G- 2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Qyy |
|
J _ |
f |
________ 4li2 Q 2 - r i 2 2Q i + |
(r|i — |
Г|2) Q __________ |
, |
||||
О хх— Оху — 0, О у — G&iy^Q |
я |
“ |
(^ 2 -rii)[(G ++ B i 1)2+ G _ 2](M +2+M_2) |
% |
||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(25) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. G±2= (У12+4г]2Ре2±|)/2; |
|
Q = &В++2 Р е т ] В - )Ф + (г \ ) + |
|
|||||||||
|
|
|
+ (£В_—2 Рет1В+)Ф_(т1); |
|
|
|
|
|||||
B± = M± [ ( M 2- i ) ( G ++ B i , ) - 2 P e ^ G - ]+ M T[ ( M 2- E ) G - + |
|
|||||||||||
|
|
|
+ 2ri Ре (G + + B ii)]; |
|
|
|
|
|
||||
Qi= - [G -B -+ (0+ -г1г)В+]Ф + (11) + |
[G -B + - (0 + - т ц )5 - ]Ф - (л ) .(*= 1,2); |
|||||||||||
М+=12 —4т]2Р е —2рг]2Ц-<7'П4‘> |
М- = Ац Ре(£ — p rf) ; |
l = k,yr\2+ Bi; |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м* |
|
|
Ф+(П) = - |
[2 Bi0- |
(Bi0—Bi,) Л0] — |
(Bi 0- B i , ) |
|
AmFm+■ |
|
||||||
|
|
M* |
|
|
|
^ |
|
|
m =l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ф_(т]) = — (Bi0— Bii) |
J ^ B mFm- |
Fm±= N m±| |
; |
Am= ~ |
, Bm= - ^ |
\ |
||||||
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
lo |
h |
|
|
m=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Я = — ; |
ka = ^ r\ |
|
Pe = co6; |
Bin= ft„6 |
(n = 0, 1); |
Bi = x262. |
|
|||||
6 |
<v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. /. Зависимость температуры от ширины зоны нагрева. Ре = 0,1 (/); 1 (2); 5 (5); 10 (4).
Рис. 2. Зависимость напряжений о у от ширины зоны нагрева. Обозначения те же.
На рис. 1 и 2 представлены результаты расчетов температурного поля и температурных напряжений-, проведенных по формулам (24), (25), в зависимости от величины области нагрева при различных скоростях дви жения этой области. Штриховая линия на рисунках соответствует реше нию, получаемому при М* = 0, штрихпунктирная — М *= 1 и сплошная — М* = 2, 3.
Из графиков следует, что температура и температурные напряжения с увеличением зоны нагрева возрастают. С увеличением скорости движе
ния области нагрева температура уменьшается. |
Для Я ^ 0,2 |
решение, |
полученное при ЛГ: = 0, совпадает с решениями, |
полученными |
при М* = |
= 1, 2, 3. |
|
|
С П И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы
1. Амбарцумян С. А., Дургарьян С. М. Некоторые нестационарные температурные задачи для ортотроппой пластинки. — Изв. АН СССР. Механика и машиностроение 1962, № 3, с. 120— 127.
2 . Подстригай Я. С., Коляно Ю. М. Неустановившиеся температурные поля и напря жения в тонких пластинках. Киев, 1972. 308 с.
3. Тихонов А. Н.г Самарский А. А. Уравнения математической физики. М., 1966. 724 с.
Институт прикладных проблем механики и математики Поступило в редакцию 30.03.82 АН Украинской ССР, Львов
МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, 1933, М 3 , с. 467—471
УДК 624.074:678:067
Б. Л. Пелех, Р. Н. Махницкий
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ ВОЗЛЕ ОТВЕРСТИЙ В ОРТОТРОПНЫХ ПЛАСТИНКАХ
ИЗ КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ
4*. КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ В ПЛАСТИНКАХ, ИЗГОТОВЛЕННЫХ ИЗ НАПРАВЛЕННО АРМИРОВАННЫХ ВОЛОКНИСТЫХ КОМПОЗИТОВ
Широко применяемые на практике композиты имеют волокнистую структуру, причем составляющие компоненты существенно различа ются по жесткости. Такие материалы, как правило, макроскопически анизотропны, и характер искусственной анизотропии может меняться в достаточно широких пределах. Механические характеристики таких материалов определяются либо на основе лабораторных испытаний об разцов, либо теоретическим способом. Теоретический способ определе ния механических характеристик во многих случаях предпочтительнее экспериментального, так как позволяет по известным свойствам ком понентов предсказать свойства композита, который лучше всего отве чал бы поставленной задаче.
В последние два десятилетия развивались различные теоретические подходы по определению основных упругих характеристик композитов. Их анализ, обсуждение и сравнение приведены в работах [1—3]. Раз личие между результатами различных подходов лежит в пределах статистического разброса опытных данных, поэтому для практических целей использовать решения с высокой степенью точности нецелесооб разно [ 1].
В данной работе для исследования концентрации напряжений в пластинках с отверстиями, изготовленных из однонаправленно и дву направленно армированных композитов, используются упругие харак теристики, полученные в [4, 5] методом усреднения, в сочетании с некоторыми гипотезами о полях напряжений и деформации.
Для однонаправленио армированных |
композитов модули упругости |
и коэффициенты Пуассона определяются |
через упругие характеристики |
составляющих материалов и коэффициент армирования |
по формулам |
||
|
£i = £ c ( l - r i ) |
+ £ал; |
|
__ _____________ [ 1 + Т 1 ( 6 - 1 ) ] £ а _________________. |
|||
[л — S(л — 1) ] |
(Svc-va)2 ’ |
||
= |
[|(1+У(;) ( 1 + л ) + (1 + У а )(1 -Л ) ] |
__ . |
|
3 2(1+Ус)[|(1+Ус)(1-Т1) + (1+Уа) (1 + Л )]’ |
|||
Q = |
_______________________ Е*______________________ . |
|
|
23 |
2 [ г ] ( 1 + У а ) + | ( 1 + У с ) ( 1 - л ) ] |
|
|
[уаГ|+Ус£(1 ~ |
л) ] [1+ Л (s—1)] + |
(|Ус-Уп)2ЛП ~л) . |
[л+ £ ( 1 — л ) ] [ 1 + Л ( 1 - 1 ) ] — ( ^ с - у а ) 2л ( 1 - л ) |
||
У 2 1 |
= У31 = У с ( 1 — Л ) + У а |
Т ] , |
* Сообщение 3 см. [7].
где Е а, va и Е с, vc — модули Юнга и коэффициенты Пуассона армиру ющих волокон и связующего; r\= Va/V — коэффициент объемного арми рования (Va — объем армирующих волокон в объеме композита V),
£= Еа/Ес.
Из представлений (1) следует, что однонаправленно армированные композиты являются трансверсально-изотропными материалами. Дву направленно армированные композиты представляют собой макроско пически однородные ортотропные материалы с упругими характеристи ками [5]:
|
Е Х= Е" 1 [1 + (^ 1 _ 1 )п ,]; |
Е2=Е'2[ 1 +№ '2- |
1) 42]; |
|||
____________________ [1 + (^ 2 ~ 1)Л2] £ а____________________ . |
||||||
|
[т12 + &/2(1 “ Т]2) ] [1 + (^ 2 — |
1)*П2] “ ('Va"” &/2V,3l)'n2(l ~ ~Ц2) |
||||
[т'12(1 +Т]2) + |
1 —Г)2] G'12 |
= |
|
+ l- T ]i]G //i3 . |
||
|
fti'*\2(1 — ^2) + 1 + Л2 |
|
(1 |
Л1) + 1+ ^1 |
||
|
|
|
|
|
|
(2) |
|
|
|
|
|
|
Ег т |
[ ^ 2 3 ( 1+ Л2) + 1— Л2] G f 2Z |
(1 — <n2)v,2I+VaT|2g7^-J E 1 |
|||||
|
|
|
||||
|
т '23 ( 1“ Т|2) + 1+ Г]2 |
[1 + (£>'2— l)l\2]E'\ |
||||
_ |
[ (1 |
Л1) у |
1НvaT|1] £ 3 |
[ ( 1 - |
Г)2) у /32 + УаУ]2]£ ,3 |
|
1 |
[ n |
- t r . - i M ^ ' i |
[1 + |
(^2“ |
1 )'Ц2\Е/2 |
|
где E'u G'ij, v'ij — значения соответствующих величин, вычисленных
по формулам (1) при замене т] на rjь а £"*, |
G"ijt |
V'ij — на r\2\ Vi = |
= Ea/E'i- l" i= E aIE"i- m'ij= E J[2 G 'ij(l+ v a)]- |
т”ц = |
E a/[2 G " ij(l+ ya)]; |
i\i = V JV ; Л2= V .2/!/ |
|
|
Целью данной работы является исследование влияния коэффициен тов армирования и упругих характеристик составляющих компонентов однонаправленно и двунаправленно армированных композитов на рас пределение напряжений возле отверстий в пластинках, изготовленных из таких материалов.
Рассматривается анизотропная пластинка толщины 2h со свобод ным круговым отверстием радиусом а, находящаяся в условиях изгиба моментами Ми М2, приложенными «на бесконечности». Для решения задачи используются уравнения приближения (т = 1, п = 2) [6], учиты вающие низкую сдвиговую жесткость и трансверсальную сжимаемость,
т. |
е. все |
упругие характеристики композитных материалов (1) |
и (2). |
В |
рамках этого приближения задача заключается в интегрировании |
||
системы |
линейных дифференциальных уравнений (уравнений равнове |
||
сия в обобщенных перемещениях) [7] |
|
||
|
|
Enyp+Li2yQ+Li3Wo+Luw2=0 (/= 1, 2, 3, 4) |
(3) |
при удовлетворении граничным условиям на контуре отверстия (р = а)
М р + М р° = 0 ; М р0+ М р е ° = О ; ^ P3o + /Vp3o0 = 0 ; |
N p32 + N pZ2° = 0 , |
( 4 ) |
||
где Lij — |
линейные дифференциальные операторы не выше |
второго |
||
порядка; |
Мр°=-^ (М ,+ М 2) + L (М , - М 2) cos 20; |
М ре° = у |
(М2-М\) X |
|
Xsin20; Л^р3о0 = Л^р32° = 0. Для решения краевой задачи (3), |
(4) |
приме |
||
няется вариационный метод с использованием неопределенных множи
телей Лагранжа |
[7]. |
|
Обобщенные |
перемещения представляются в виде двойных рядов |
|
YP |
cos 2n0; ye |
sin 2iiQ ; |
n=0 (“ I |
71=1 t- |
Wo - * ± ± |
|
cos 2n0; |
w2 = a X i |
X i Ani*{^) cos2n0, |
||||||
|
71=0 t = 1 |
° |
|
|
n = 0 |
t = 1 |
° |
|
|
|
где Лпгг’ — неизвестные коэффициенты. |
|
|
|
|
|
|||||
Далее, применяя описанную в работе |
[7] |
методику, |
сводим |
задачу |
||||||
к решению системы линейных алгебраических уравнений |
|
|
||||||||
4 |
Я |
7 7 + 2 |
|
4 |
я |
?г+2 |
|
|
|
|
|
|
7п= ?1 — 2 |
|
t = 1 771 = 71— 2 |
(Л |
,1‘ + Л т Ч: 7™)=0 |
||||
г'= 1 |
f = l |
г = 1 |
|
|
|
|
||||
(/г= 0 , |
1 , . . . , |
р; / = 1 , 2 , 3 , 4 ; Z = l , 2 , . . . , s ; |
4 _ 2**’ = 4 |
V |
= 4 (P -IV |
= |
||||
|
|
= Л(Р+ 2)р= Л _2г = Л - 1 г = Л р+1г= Л р + 2 г = Ло^2 = Ло2 = 0 ) . |
|
|||||||
Коэффициенты |
а*/*1*, |
Cij*771 являются функциями коэффициентов |
||||||||
армирования и |
упругих |
характеристик |
компонентов |
композитов ( 1), |
||||||
( 2 ) .
Сначала проведем анализ напряженного состояния однонаправлен но армированных пластинок с отверстиями. На рис. 1 представлены зависимости коэффициента концентрации изгибного момента Мв от
коэффициента |
армирования |
т] для композитного материала пластинки |
с параметрами |
E JE C= 10 ; |
va=A7C= 0,25 (a//i= 1 — сплошные линии, |
a/h = 7 ■— штриховые линии) |
при цилиндрическом изгибе. Кривые 1 и 2 |
|
иллюстрируют случаи изгиба моментами, приложенными соответст венно перпендикулярно и параллельно армирующим волокнам; штрихпунктирные линии — результат учета поперечных нормальных дефор маций. На рис. 2 и 3 показано распределение изгибных моментов Л40
а
0,1 |
0,3 |
0,5 |
0,7 |
|
|
Рис. 5. |
|
по контуру отверстия пластинки с параметрами Еа/Е с =Ю\ va = vc = 0,25; a/h = 1 для случая цилиндрического изгиба моментами, приложенными перпендикулярно и параллельно армирующим волокнам соответст венно. На рис. 2—4 кривые 1 соответствуют rj = 0,15; 2 — 0,3; 3 — 0,5; а штриховые линии на рис. 2 — результат учета нормальных дефор маций. Рис. 4 иллюстрирует распределение изгибных моментов по кон туру отверстия при равномерном всестороннем изгибе.
Как видно из рис. 1, коэффициент армирования г| существенно вли яет на концентрацию моментов M Q при цилиндрическом изгибе. Наи большее значение коэффициент концентрации достигает при т]^0,5 в случае загружения сторон, перпендикулярных армирующим волокнам. При загружении сторон, параллельных армирующим волокнам, для т|~ 0,5 коэффициент концентрации достигает наименьшего значения.
Теперь проведем анализ напряженного состояния двунаправленно армированных пластинок. На рис. 5 представлены зависимости коэф фициента концентрации изгибного момента Мв от коэффициентов
армирования |
т] (л = т11 + г12У Для пластинки с параметрами Е а/Е с = 10; |
||||
va = vc= 0,25 |
(a/h= 1 — сплошные линии, a/h — 7 |
— штриховые линии) |
|||
в случае |
цилиндрического изгиба (0,5 |
и 0,15 — |
значения г|2) . Рис. 6 |
||
иллюстрирует распределение изгибных |
моментов M Q п о контуру отвер |
||||
стия при |
a/h = 2 для материалов с параметрами |
va = vc = 0,25; |
rji = 0,3, |
||
г|2= 0,15; |
E J E с=10 (кривая 1); Еа/Ес = 1Ъ (2); £ а/£с = 25 (3) |
в случае |
|||
цилиндрического изгиба. Как видно из рис. 6, соотношение модулей
Юнга армирующих волокон £ а |
и связующего Е с |
существенно влияет |
на распределение напряжений |
возле свободного |
кругового отверстия. |
С ростом параметра Е а/Ес коэффициент концентрации момента Мв уве личивается.
Сопоставляя результаты исследований однонаправленно (см. рис. 1) и двунаправленно армированных (см. рис. 5) пластинок с одинако выми характеристиками компонентов их материалов, можно заключить, что при одинаковых видах нагружения (MXl°°= M, МХ2°°= 0 и A4Xi°°= 0, МХ2°°= М) значения коэффициента концентрации момента для двуна правленно армированных пластинок изменяются в меньших пределах, чем для однонаправленно армированных.
СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы
1.Болотин В. В., Новичков Ю. И. Механика многослойных конструкций. М., 1980.375 с.
2 . Ван Фо Фы Г . А. Конструкции из армированных пластмасс. Киев, 1971. 220 с.
3.Малмейстер А. К., Тамуж В. П., Тетере Г. А. Сопротивление жестких поли мерных материалов. 2-е изд. Рига, 1972. 498 с.
4.Аболиньш Д. С. Тензор податливости однонаправленно армированного мате риала. — Механика полимеров, 1965, № 4 , с. 52—59.
5. Аболиныи Д. С. Тензор податливости армированного в двух направлениях упругого материала. — Механика полимеров, 1966, № 3, с. 372—379.
6 . Пелех Б. Л., Махницкий Р. Н. Приближенные методы решения задач кон центрации напряжений возле отверстий в ортотропных пластинках из композитных материалов. 1. Обобщенные уравнения растяжения и изгиба пластинок из композит
ных материалов. — Механика композит, |
материалов, 1980, № 3, с. 463—467. |
7. Пелех Б. Л., Махницкий Р. Н. |
Приближенные методы решения задач кон |
центрации напряжений возле отверстий в ортотропных пластинках из композитных материалов. 3. Концентрация напряжений возле кругового отверстия при изгибе
пластинок из композитных материалов. — |
Механика композит, |
материалов, 1980, |
N2 6 , с. 1036— 1040. |
|
|
Институт прикладных проблем механики |
Поступило |
в редакцию 01.12.82 |
и математики АН Украинской ССР, Львов |
|
|
МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, 1983, № 3, с. 472—475
УДК 624.074.4:539.4
Л. А. Трошина
УСТОЙЧИВОСТЬ ТРЕХСЛОЙ^ЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК НЕСИММЕТРИЧНОГО СТРОЕНИЯ
С МАЛОЖЕСТКИМ ЗАПОЛНИТЕЛЕМ ПРИ ОСЕВОМ СЖАТИИ
Исследование устойчивости трехслоймых цилиндрических оболочек на основе трехмерных уравнений теории упругости для заполнителя проведено в работах [1—5]. Примененные в них расчетные схемы раз личаются учетом или неучетом сдвига в несущих слоях и тем, как заполнитель воспринимает внешнюю нагрузку. И то, и другое точно учитывается при использовании для заполнителя и каждого несущего слоя трехмерных линеаризованных уравнений упругой устойчивости [4]. Такой подход впервые был применен для двухслойных оболочек без заполнителя [6]. Трехслойные оболочки симметричного строения подробно рассмотрены в работах [2, 3]. В данной статье на основе общего подхода работы [4] исследуются трехслойиые цилиндрические оболочки несимметричного строения.
Предполагается, что докритическое состояние трехслойной цилин дрической оболочки одноосное (ozJ=¥=0), безмоментное (не учитывается влияние закрепления торцов оболочки), осесимметричное. Напряжение oZi° в каждом слое оболочки определяется из условия распределения сжимающей нагрузки пропорционально жесткостям слоев на растяже ние—сжатие.
Возмущенное состояние каждого слоя трехслойной оболочки описы вается трехмерными линеаризованными уравнениями упругой устойчи вости при малых докритических деформациях в цилиндрической сис
теме координат г, 0, z [7]: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
дог |
|
1 |
д х Г0 |
|
d%rz |
|
|
|
|
дщ |
|
|
|
|||
дг |
|
7 |
дд |
+ |
|
dz |
|
|
|
|
|
dz |
= |
0; |
|
|
дхгв |
|
. |
1 |
дов |
|
дх,е |
, |
2тг0 |
|
п<?(ог |
л |
|
|
|||
---------1--------— |
+ —— Н-------- ------а2° - г - |
= 0; |
|
( 1) |
||||||||||||
dr |
|
|
г |
oQ |
|
dz |
|
|
г |
|
dz |
|
|
|
||
|
|
|
f a n |
|
|
дто; |
д о г |
|
|
_ |
|
|
|
|
||
|
|
|
д г |
|
г д д ' ^ OZ |
|
|
~ и- |
|
|
|
|
||||
Геометрические соотношения имеют вид |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Г ди |
|
|
д |
|
1 |
|
|
1 |
{ |
дхю |
ди |
\ |
|
dw |
|
|
о)г = |
- |
|
* |
<"> |
J |
0)0 |
2 |
\ |
дг |
дг |
У |
|
Е?== — |
|
||
L ite |
|
|
or |
|
||||||||||||
dv \ |
|
|
|
да |
|
|
1 |
|
д® |
|
dv |
v |
|
dw |
ди |
|
W + |
|
б2= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; Уп= — - |
|
|||
d f f |
; |
а г |
; |
Уг0~ Т 1 ) ё |
+ ~дГ ~ Т |
~дг~ ’ |
||||||||||
’ |
dz |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dv |
|
1 |
ди |
|
|
|
|
( 2) |
|
|
|
|
|
|
|
^0Z — dz |
+ r |
d0 |
|
|
|
|
||||
Связь между напряжениями и деформациями задается законом Гука
для ортотропного тела [8]: |
|
|
|
3 |
|
„ _ ^ „ |
V 21 |
V31 |
V 12 |
1 |
V32 |
г ,~ е ; 0 г х |
- щ |
' • = - ~е ~ - Е1 »• - |
|
||
|
_ |
V 1 3 |
V23 |
1 |
|
Ez~ ~р~ат |
-р0в + — - а г; |
|
^1 |
t 2 |
Е3 |
1 |
1 |
|
1 |
YrO------77 Тго; У 1'2 |
п |
^ rZi Y6Z |
^Oz> |
Сг 12 |
^13 |
|
CJ23 |
где Ej — модули упругости; йц — модули сдвига; v*j — коэффициенты Пуассона.
С помощью разложения напряжений, деформаций и перемещений в двойные ряды Фурье по поверхностным координатам система диффе ренциальных уравнений в частных производных (1) — (3) сводится к системе шести обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4) |
где у = {до, и, v, оу» тГ0, тгг}; |
т, 2/г — число полуволн в осевом и окруж |
||||||||||
ном |
направлениях; |
у = Т/Т0 — |
безразмерный |
параметр |
внешней на- |
||||||
|
|
з |
|
hk |
— толщина |
одного |
слоя; |
T0 = 3Du{/3{E (l — |
|||
грузки Т\ Т= 2 Ozk0hh\ |
|||||||||||
—v ) / [ ( l + v ) |
h= \ |
|
— |
критическая |
нагрузка пластинки, лежащей |
||||||
(3 — 4v )]}2/3 |
|||||||||||
на |
упругом |
основании |
[3]; |
JOii = £'i/zi3/12(l —vi2v2i) — |
изгибная жест |
||||||
кость пластинки; Е , Е и v, vj2, v2i |
— модули упругости и коэффициенты |
||||||||||
Пуассона упругого |
основания и |
пластинки. |
Интегрирование системы |
||||||||
(4) |
с однородными |
граничными |
условиями |
проводится |
известным ме |
||||||
тодом ортогональной прогонки [9, 10]. Разработанный алгоритм реали зован на языке АЛГОЛ-60 для БЭСМ-6.
Исследуются трехслойные цилиндрические оболочки несимметрич
ного строения |
(к\Фк2) со |
следующими жесткостными |
и |
геометричес |
|||||||
кими характеристиками несущих слоев и |
заполнителя |
(несущие |
слои |
||||||||
изготовлены |
из |
одинакового материала): |
£’i=2,3*107 |
кПа; |
£ 2 = |
||||||
= 1,84-107 кПа; G13 |
= 0,28-107 кПа; G23 = 0,32 .107 кПа; G12 = 0,45-107 кПа; |
||||||||||
V I2 = 0,15; V 2 1 = 0,12; |
vi3 = 0,39; л'зi =0,17; v23 = 0,31; v32 = 0,17; |
£ '= 104 |
кПа; |
||||||||
v = 0,45; Ri = 50 C M ; |
L=150 |
C M. |
|
|
|
|
|
|
|
||
Соотношения |
толщин |
несущих |
слоев |
определяются |
из |
условия |
|||||
h\—/^2== const, |
где |
Ль Л2 — |
толщины |
внешнего |
и внутреннего |
несущих |
|||||
слоев соответственно. На рис. 1 представлены зависимости параметра критической нагрузки у* трехслойных оболочек симметричного и не
симметричного |
строения |
от параметра толщины |
заполнителя |
//3 = /i3//?i |
при R 1= const |
(Л 3, R\ |
— толщина заполнителя |
и радиус |
срединной |
поверхности внешнего несущего слоя). Значение Т0 определено для пластинки толщиной Л = 0,5 см.
Как показано в работе [3], трехслойные оболочки симметричного строения с относительно тонким слоем заполнителя теряют устойчи вость по общей форме (до^до2), которая с увеличением толщины за полнителя постепенно переходит в форму потери устойчивости внешнего несущего слоя (доi=^=0, до2^ 0 ) . На рис. 1 трехслойной оболочке сим метричного строения (/ii = /г2 = 0,5 см) соответствует кривая 1.
Трехслойные оболочки, у которых слои изготовлены из одного ма териала и внешний слой тоньше внутреннего (Лi = 0,4 см; Л2 = 0,6 см),
2
1
0 |
0.1 |
0,2 |
0,3 |
о |
Рис. 1. |
Рис. 2. |
теряют устойчивость аналогично трехслойным оболочкам симметрич
ного строения |
(кривая |
2 рис. 1). |
При |
малой толщине заполнителя |
||||||
(#з = 0—0,12) |
проявляется |
общая |
неосесимметричная |
форма, |
затем |
|||||
следует |
переходная область |
(Я3 = 0,12—0,18), и начиная с некоторой |
||||||||
толщины |
заполнителя |
(//3>0,18) |
теряет |
устойчивость только |
внешний |
|||||
слой, где трехслойную |
оболочку |
можно |
рассматривать |
как |
оболочку |
|||||
со сплошным заполнителем. Но, |
как |
видно из рис. 1, характер |
кривых |
|||||||
1 и 2 различается, поскольку при малой толщине заполнителя у обо лочки с более тонким внешним слоем (кривая 2) сказывается влияние на критическую нагрузку большей обобщенной жесткости внутреннего слоя, а при большой толщине заполнителя — меньшей обобщенной жесткости внешнего слоя, чем у оболочки симметричного строения (кривая 1).
Кривая 3 на рис. 1 соответствует оболочке, у которой внешний слой
толще внутреннего (/zi = 0,6 см; /г2 = 0,4 см). В отличие от |
рассмотрен |
ных выше зависимостей (кривые 1 и 2) кривая 3 вместо |
переходного |
участка имеет участок, соответствующий форме потери устойчивости внутреннего несущего слоя (Я 3 = 0,18—0,32). Отсюда можно сделать вывод, что у оболочки с более толстым внешним слоем может терять устойчивость внутренний слой, если его обобщенная жесткость меньше, чем обобщенная жесткость внешнего слоя.
Кривые 4 и 5 |
рис. 1 описывают зависимости у*(Я 3) Для |
оболочек |
|||
с сильно различающимися толщинами несущих слоев |
(к\ = 0}2 |
см; h2 = |
|||
= 0,8 см |
и |
/ii = 0,8 |
см; /z2 = 0,2 см). Область общей формы потери устой |
||
чивости |
у |
таких |
оболочек значительно сокращается |
(//3 = 0—0,04) и |
|
сразу сменяется областью потери устойчивости тонкого слоя (//з>0,04). Тонкий внешний несущий слой (кривая 4) теряет устойчивость по осе симметричной форме, а тонкий внутренний (кривая 5) сначала по осесимметричной (# 3 = 0,04—0,1), а затем по неосесимметричиой форме
(Я 3>0,1).
Как видно из рис. 1, зависимость параметра критической нагрузки от толщины заполнителя для трехслойных оболочек несимметричного строения имеет различный характер в зависимости от соотношения тол щин несущих слоев. При изменении толщины заполнителя оптимальное соотношение толщин несущих слоев (в смысле наибольшего значения критической нагрузки) постоянно меняется. Необходимо отметить, что даже при очень тонком слое заполнителя, когда оболочка теряет устой чивость по общей форме (w\^w2), критическая нагрузка существенно зависит от соотношения толщин несущих слоев. Последнее влияет также и на размеры областей, ограничивающих формы потери устой чивости трехслойной оболочки. Так, чем больше несимметрия пакета,
тем меньше |
область совместной работы несущих слоев. |
w = w/wmах |
На рис. |
2 дано распределение относительного прогиба |
|
по безразмерной толщине заполнителя Н2 = (г —R2 —/z2/2)//г3 |
(R% — ра- |
|
Ю5кПа
0 Q2 О,А 0,6 0,8 |
о |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
Рис. 3. |
Рис. 4. |