Механика композитных материалов 3 1983
..pdfРис. 6. Зависимости прогиба от осевой координаты при расчете с
многочленной |
( |
-------- ) и |
одно |
||
членной |
(------- |
) |
аппроксимациями |
||
прогиба; |
1 |
— |
15 шпангоутов, |
||
hr =h\ |
2 |
— |
5 |
шпангоутов, |
hr = |
= 3/г, |
3 |
— 3 |
шпангоута, /ir = 5/i. |
||
максимума прогиба в 15 раз. Сравнительно небольшой эффект, достиг нутый по сравнению с вариантом равноотстоящих ребер, объясняется тем, что местоположение зон максимального прогиба при внешнем дав лении в отличие от осевого сжатия в большей степени определяется расстояниями между соседними подкрепляющими элементами, чем на чальными несовершенствами формы оболочки.
Эффект учета взаимосвязанности осевых гармоник при подкрепле нии тремя, пятью и 15 равноотстоящими шпангоутами иллюстрирует рис. 6. Как видно, решение с одночленной аппроксимацией прогиба не позволяет описать локальное выпучивание между ребрами, наблю даемое при небольшом их количестве, и дает заниженное значение про гиба, однако уже при 15 шпангоутах результат практически не отли чается от полученного па основе многочленной аппроксимации.
Рис. 7 иллюстрирует влияние эксцентриситета расположения ребер при подкреплении оболочки тремя, пятью и 15 равноотстоящими шпан гоутами. Внутренние ребра во всех трех случаях дают больший под крепляющий эффект, причем влияние эксцентриситета падает с ростом количества ребер и уменьшением их высоты. Интересно отметить, что при постановке внутренних шпангоутов локальное выпучивание между ребрами подавляется значительно сильнее.
На рис. 8 дано сопоставление результатов, полученных по моделям «дискретных» и «размазанных» ребер. Как видно, последняя не позво ляет описать локальное выпучивание между шпангоутами. Различие в результатах, полученных по «дискретной» и «размазанной» моделям, уменьшается с увеличением количества ребер и с уменьшением их вы соты. Можно считать, что при 15 шпангоутах высотой hr= h решение рассматриваемой задачи на основе модели «размазанных» ребер дает приемлемые с практической точки зрения результаты.
В заключение данного пункта остановимся на вопросе о рациональ ном выборе количества и высоты шпангоутов при нагружении оболочки динамическим внешним давлением. На рис. 9 приведены результаты расчета прогиба при четырех вариантах подкрепления равноотстоя щими шпангоутами одинаковой суммарной массы. Как видно, меньшее значение максимума прогиба получается при трех шпангоутах высотой 5h. Таким образом, если ограничиться целью максимального снижения прогиба оболочки, наилучший результат для рассматриваемого вида нагружения получается при постановке небольшого числа сравнительно высоких ребер.
7. Анализ прочности оболочки и ребер. Методика расчета напряже ний в произвольной точке ребристой оболочки изложена в п. 3. Поста-
Рис. 7. Зависимости прогиба от осевой координаты при внешнем
( |
---------) и внутреннем |
(-------- |
) |
||
подкреплении. |
Цифры |
у |
кривых |
||
соответствуют |
тем же |
вариантам, |
|||
|
что |
на рис. |
6. |
|
|
Рис. 8. Зависимости прогиба от осевой координаты при расчете по моделям
«дискретных» ( ---------) |
|
и |
«размазанных» |
||||||
(---------- ) |
ребер, |
а |
— |
4 |
шпангоута; |
hr= |
|||
= 3,75/i; |
т=5,2; |
б |
— |
5 |
шпангоутов; |
3h\ |
|||
5,0; в — 15 шпангоутов; |
Л; |
4,7; |
г |
— |
|||||
30 шпангоутов; |
0,5Л; |
4,6. |
|
|
|||||
вив условия прочности материала оболочки и ребер, можно опреде лить момент времени т= т* (а сле довательно, и величину динами ческой нагрузки), в который в кон струкции происходит первое раз рушение. В качестве условия воз никновения первого дефекта в обо лочке будем использовать тензор но-полиномиальный критерий проч ности Малмейстера, ’ записанный
для случая плоского напряженного состояния. Характерные прочности материала оболочки принимаются такими же, что и в работе [18]. Ус ловие достижения предельного состояния в г-м ребре формулируется в виде
|
|
гюо |
При |
ait(,,)> 0 ; |
о и |
( г ) |
|
|
(18) |
- { |
- |
при |
сгц<'> < 0 , |
где Гюо, Г\оо — характерные прочности материала ребра при растяжении и сжатии в направлении оси, принимаемые равными соответству ющим характерным прочностям материала оболочки в направлении 1.
Как показали результаты расчетов, при осевом сжатии для всех вариантов подкрепления оболочки, рассмотренных в п. 5, разрушения кольцевых ребер не происходит. Связано это с тем, что осевые напря жения, которые согласно используемой модели не передаются на ребра, при данном виде нагружения значительно превосходят кольцевые. По вышение разрушающей нагрузки непосредственно связано с уменьше
нием прогиба оболочки. Так, для гладкой оболочки |
т*0 = 2,3; |
при |
постановке равноотстоящих шпангоутов т* = 2,53 (внешние) и |
2,44 |
|
(внутренние), а при варианте подкрепления 4 —т* = 3,08 |
(внешние) и |
|
2,45 (внутренние шпангоуты). Таким образом, подкрепление оболочки внешними шпангоутами по схеме 4 позволило при увеличении массы конструкции в 1,3 раза повысить нагрузку начала разрушения обо лочки на 34%, в то время как подкрепление равноотстоящими шпан гоутами — лишь на 6,5%.
При нагружении внешним давлением ребристых оболочек, рассмот ренных в п. 6, разрушение начинается с ребер. Поскольку конечной целью является определение момента начала разрушения оболочки, была разработана специальная процедура анализа процесса разруше ния конструкции во времени. Если в момент T = T;*I в г-ы ребре выпол-
Рис. 9. Зависимости прогиба от осевой координаты. Цифры у кри вых соответствуют количеству шпангоутов; iir=H5/t (7), 7,5/t (2)
5h (.?), 3h (5).
няется критерий |
прочности (18), то начиная с |
этого момента времени |
||
в формулах (8) |
полагается Ет= 0. |
Аналогично |
зануляются жесткости |
|
остальных ребер |
после выполнения |
в каждом |
|
из них критерия (18). |
Через некоторый промежуток времени после разрушения последнего ребра, в момент т=т*, выполняется критерий прочности в некоторой точке оболочки.
Не останавливаясь на описании последовательности разрушения ре
бер, приведем результаты определения моментов T * I и |
т * д л я |
некоторых |
|||||
вариантов |
подкрепления равноотстоящими ребрами, |
рассмотренных в |
|||||
п. 6. Для |
гладкой оболочки т * о = 4,85. При 15 ребрах высотой |
h: xti = 4,7 |
|||||
и т* = 5,3 |
(внешнее подкрепление); x*i = 4,65 и т* = 5,1 |
(внутреннее под |
|||||
крепление). При пяти |
ребрах высотой ЗА: x*i = 4,8 |
и |
т* = 5,5; |
T * I = 4 , 6 и |
|||
т* = 5,6 при |
внешнем |
и внутреннем подкреплении |
соответственно. |
При |
|||
трех ребрах |
высотой 5A: t*i = 5,l и т* = 5,6; t*i = 5,2 |
и |
т* = 5,9 |
для |
внеш |
||
него и внутреннего подкрепления. Таким образом, наилучший из рас смотренных вариантов (три шпангоута высотой 5/г на внутренней поверхности) дает повышение нагрузки начала разрушения оболочки на 22% при увеличении массы конструкции на 7,5%.
В заключение отметим, что приведенные в данном пункте резуль таты по внешнему давлению следует рассматривать как оценочные, поскольку в момент начала разрушения оболочки т* прогиб достигает 6h—8А и необходим учет геометрической нелинейности. Как показы вают результаты, изложенные в п. 6, при достаточно большом числе ребер приемлемую точность дает решение, основанное на одночленной аппроксимации прогиба. В таких случаях применим метод решения нелинейных задач [12], в котором ребра рассматриваются как дискрет ные элементы, но решение построено исходя из одночленной аппрокси мации прогиба. При условии же, что достаточную точность дает модель «размазанных» ребер, расчет напряженно-деформированного состояния и анализ прочности ребристой оболочки можно проводить на основе методов решения [9, 18, 19] соответствующих нелинейных задач для ортотропных оболочек.
С П И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы |
|
|
1. Ж игалко Ю. П., Дмитриева JI. |
М. Динамика ребристых пластин |
и оболо |
чек. — В кн.: Исследования по теории |
пластин и оболочек. Казань, 1978, |
вып. 13, |
с.3—30.
2.Амиро И. Я-, Заруцкий В. А. Исследования в области динамики ребристых оболочек. — Прикл. механика, 1981, т. 17, № 11, с. 3—20.
3.Fisher С. A., Bert С. W. Dynamic buckling of an axially compressed cylindrical
shell with discrete rings and stringers. — J. Appl. Mech., 1973, N 3, p. 368—381.
4. |
Roth R. S., Klosner I. Л1. Nonlinear response of cylindrical shells subjected to |
|||
dynamic axial loads. — AIAA J., 1964, vol. 2, N 10, p. 1788— 1794. |
|
|
||
5. |
Вольмир А. С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М., 1972. 432 с. |
|||
6. |
Lakshmikantham С., Tsui T.-Yu. Dynamic stability of axially-stiffened imperfect |
|||
cylindrical shells under axial step loading. — AIAA J., 1974, vol. 12, N 2, |
p. |
163— 169. |
||
7. |
Lakshmikantham C., Tsui T.-Yu. |
Dynamic buckling of ring-stiffened |
cylindrical |
|
shells. |
— AIAA J., 1975, vol. 13, N 9, p. 1165-1170. |
|
|
|
8. |
Maytnon G., Libai A. Dynamics |
and failure of cylindrical shells |
subjected to |
|
axial impact. — AIAA J., 1977, vol. 15, N |
11, p. 1624— 1630. |
композитных |
||
9. |
Богданович A. E., Фелдмане Э. |
Г. Расчет несущей способности |
||
цилиндрических оболочек при динамическом нагружении. — Механика композит, ма териалов, 1980, № 3, с. 476—484.
10. Богданович А. Е., Фелдмане Э. Г. Анализ неосесимметричного выпучивания цилиндрических оболочек при осевом динамическом сжатии. — Изв. АН СССР. Ме
ханика |
тверд, тела, |
1982, № 2, с. 144— 154. |
11. |
Богданович |
А. Е., Кошкина Т. Б. Выпучивание цилиндрической оболочки с |
кольцевыми ребрами жесткости при осевой динамической нагрузке. — В кн.: Электро динамика и механика сплошных сред. Применение численных методов. Рига, 1981,
с.103— 122.
12.Богданович А. Е., Кошкина Т. Б. О решении нелинейной задачи динамического
выпучивания цилиндрической оболочки, подкрепленной кольцевыми ребрами жестко сти. — В кн.: Электродинамика и механика сплошных сред. Математическое модели рование. Рига, 1982, с. 123— 135.
13. Найда А. А., Шумик М. А. Экспериментальное исследование поведения под крепленных цилиндрических оболочек при динамическом всестороннем давлении. —
Вкн.: Теория оболочек и пластин. М., 1973, с. 535—537.
14.Андреев Л. В., Крушельницкий И. П., Павленко И. Д ., Приварников 10. К., Прокопало Е. Ф. Динамическая устойчивость подкрепленных цилиндрических оболо чек при нагружении импульсом внешнего давления. — Изв. АН СССР. Механика
тверд, тела, 1974, № 1, с. 118— 125.
15. Андреев JI. |
В |
П а в л е н к о И. |
Д. |
Экспериментальное исследование |
влияния па |
раметров оболочек |
и |
подкрепления |
на |
величину критической нагрузки |
при импуль |
сном нагружении. — В кн.: Гидроаэромеханика и теория упругости. Днепропетровск, 1975, вып. 19, с. 147— 150.
16. Андреев Л. В., Дубовик О. М., Дыигко А. Л., Павленко И. Д. Приближенные оценки критического импульса цилиндрической оболочки, подкрепленной продольными
дискретными ребрами. — Пробл. прочности, 1978, № 3, с. 66—69. |
|
||
17. Lee L. Н. N., Horng 1 . Т. Inelastic |
response of ring-stiffened cylindrical |
shells |
|
to external pressure shock waves. — AIAA |
J., 1976, vol. 14, N |
3, p. 327—332. |
проч |
18. Богданович A. E., Фелдмане Э. Г. |
Осесимметричное |
деформирование и |
|
ность слоистых цилиндрических оболочек при осевом ударе. — Механика композит, материалов, 1982, № 4, с. 653—662.
19. Богданович А. Е Ф е л д м а н е Э. Г. Численное исследование процесса выпучи вания и анализ прочности слоистых цилиндрических оболочек при осевых ударных нагрузках. — Механика композит, материалов, 1982, № 5, с. 822—о32.
Институт механики полимеров |
Поступило в редакцию 25.01.83 |
АН Латвийской ССР, Рига |
|
УДК 624.073:678
М. А. Натов, Б. И. Колева
ИССЛЕДОВАНИЕ ПОЛИМЕРНЫХ ЛИСТОВ ПРИ ДВУХМЕРНОМ НАПРЯЖЕННОМ СОСТОЯНИИ
Нам известны лишь немногие исследования твердости листовых полимерных мембран при двухмерном напряженном состоянии [1—3]. Полученные результаты показали, что при двухосном растяжении раз рушающее напряжение приблизительно равно разрушающему напря жению при одноосном растяжении. Однако при двухосном растяжении деформация на 30% меньше, чем при одноосном. Указанные работы не позволяют установить, является ли это уменьшение, деформации ре зультатом масштабного эффекта или других причин. В них отмечается также, что напряжение не распределяется равномерно и разрушение наступает почти всегда в центре листа.
Эти предварительные результаты недостаточно информативны для проектирования полимерных листов, пригодных для использования в определенных эксплуатационных условиях. Поэтому мы провели иссле дование в двухмерном напряженном состоянии листов, изготовленных из каучука.
Были изучены вулканизированные и невулканизированные листы различной толщины и различного состава на основе бутадиенстирольного каучука «Булекс 1500» [4]. Каучуковые листы удобны для иссле дования, поскольку благодаря быстрой релаксации напряжений в них малы остаточные напряжения [5]. Испытания проводили на специально сконструированном стенде, действие которого основано на принципе свободного раздутия полимерного листа гидравлическим давлением до разрушения. Давление повышается со скоростью 0,01 МПа/мин. Глав ным в проведении этого эксперимента является разработка подходя щего метода определения напряжения и деформации в каждый момент испытания, причем следует иметь в виду, что легче всего и точнее всего измерение может быть осуществлено на высоте раздутия.
Аналогичная задача на примере поведения фольги, деформирую щейся в переходную трещину с параллельными границами и равномер
ным распределением нагрузки, рассмотрена в [6, 7]. |
|
|
|||
В нашем случае |
раздутие |
листа проводится по схеме, показанной |
|||
на рис. 1. Согласно схеме и |
по геометрическим соображениям имеем |
||||
|
b |
H = R ( 1 —cos а); |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
R = 2 sin а |
|
|
|
|
2Н sin ос |
2Я |
„ |
b ( l —cos а) |
b , а |
( 2) |
1 — cos а |
(1) |
|
-------- - 2 lg T ' |
||
|
|
|
|||
Рис. 1. Схема опыта: b — диаметр фланца; 6 — толщина материала; Р — гидростатическое давление, <х половина угла, под которым действуют нормальные на пряжения на образец в конечных точках. N —rK {o / ) .
Статическое равновесие получим, если N = $o sin adF, где F — площадь сечения; N — давление, действующее на площадь F. Так как а и a являются константами, то
2лЬ8
asinaF = asin a —-— = аяб sin а; |
|
|||||
N = P K |
= одтсЬ sin а; |
РЬ |
( 3) |
|||
46 sin а |
||||||
|
|
|
|
|
||
Из. постоянства объема следует |
|
nb2 |
|
|
||
F0S = F8\ |
|
|
|
|||
|
~4 |
’ |
|
|||
|
|
|
|
|||
где F — нормальная площадь мембраны; 6о — начальная толщина |
||||||
мембраны. |
|
|
|
|
|
|
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
^ |
Л |
я 6 2(1 — cos а ) |
|
|||
F = 2я=<--------± - г - 2------- |
|
|||||
|
|
2 sin2 а |
|
|
||
nb26o2sin2 a |
6osin2 a |
|
||||
4яЬ2 (1 — cos а ) |
2 (1 — cos а ) |
|
||||
|
_________РЬ |
|
|
|
||
|
2бо sin а ( 1 + c o s |
а ) |
|
|||
Подставим в (3) Н из (2) и получим |
|
|
|
|||
|
|
PH |
|
|
|
|
|
|
6о sin2 a |
|
|
||
Из закона Гука следует |
|
|
|
|
|
|
|
СТ=—----- 2~ (е*+И 6!/)- |
|
||||
|
1— |
\*Г |
|
|
|
|
В условиях эксперимента раздутый лист получает форму сфериче
ского сектора, следовательно |
|
&х— 8у— е; Ох— (Уу— су. |
( 4 ) |
Коэффициент Пуассона имеет величину р~ 0,5 для сходных каучу-
ковых материалов [8] |
£е(1 + р) |
|
a= - |
||
( 5 ) |
||
|
1 — р2 |
Относительная линейная деформация
/—/о |
a —sin a |
е= - |
sin а |
/о |
|
где k = b-, l = 2RL. Из (6) следует |
|
a sin а
Е = ~ = ~
2е 2 ( а —sin а)
РЬ
Если примем, что А = — и подставим (7) в (4), получим oh
АЕ
2 s in a (l+ c o s a)
(6)
( 7 )
( 8)
Подставляем Е из (7) в (5) и приравниваем полученное таким путем напряжение а к (8), тогда
АЕ |
2Е (а —sin а) |
2 sin a ( l + cos а) |
, Л = 4(а —sin a) (1+cos а ). |
sin а |
Рис. 2 . Зависимость А от ос. Кривые на рис. 2 и 3 получены иа основании теорети чески вычисленных зависимостей. Точки — экспериментальные данные.
Рис. 3. Зависимость а от е (/) и А от е (2 ).
Приравниваем (5) к |
(8) |
и получаем |
|
|
^4 = 4 e sin a (l+ co s a). |
Из (1) следует, |
что |
2// |
a = arctg — . Угол а зависит от диаметра |
фланца и высоты Н раздутого листа, поэтому при испытаниях может быть получено большое число различных по значению углов а в зави симости от вида материала, диаметра фланца, на котором проводится испытание, и высоты, зависящей от давления. Значения а, однако, од нозначно определяют в дальнейшем безразмерную величину Л, дефор мацию и напряжение.
Для каучуковых листов различной толщины и с разными модулями упругости была вычислена зависимость Л от а (рис. 2). На рисунке показаны экспериментальные точки, которые относятся к одному и тому же фланцу при разной толщине листа и при различном давлении. Опыт показал, что независимо от условий проведения эксперимента Л всегда может быть определена по известному значению а, их связывает нелинейная зависимость.
Чтобы определить напряжение по формуле (8), необходимо выявить зависимость Л от а (см. рис. 1). Для определения деформации по фор муле (6) достаточно знать величину а. На рис. 3 представлена зави симость а от е (кривая 1). Точки на этом рисунке отражают экс периментальные данные. Может быть построена вспомогательная зависимость Л от е (кривая 2 рис. 3), которая позволяет определить деформацию в зависимости от диаметра фланца, толщины листа, мо дуля упругости и приложенного давления. Как видно из рис. 2 и 3, данные расчетных зависимостей хорошо согласуются с результатами эксперимента.
При рассмотрении экспериментальных данных отмечен интересный факт: разрушение эластомерных листов толщиной до 2,5 мм наблюда ется всегда при одном и том же значении относительной деформации — от 0,820 до 0,826, в то время, как разрушающее напряжение изменя
ется от 4,12 до 8,80 МПа.
Выводы. 1. Выведены зависимости напряжения и деформации листового материала при раздутии от угла, под которым на лист дей ствуют нормальные напряжения.
2. Исследовано поведение различных каучуковых листов при усло виях двухмерного напряженного состояния и установлено полное сов падение между расчетными и экспериментальными зависимостями напряжения.
1.Манин В. Н., Громов А. И. Физико-химическая стойкость полимерных матери алов в условиях эксплуатации. Л., 1980. 247 с.
2.Dickie R. A., Smith Т. L. Strength and extensibility of a styrene-butadiene rubber
vulcanizate in equal biaxial tension. |
— J. Polymer Sci., 1969, vol. A2, p. 687. |
|
3. Sheppard J. R.t |
Clapson W. |
Rupture in constrained biaxial tension. — J. Ind. |
Eng. Chem., 1932, vol. |
24, p. 782. |
|
4.Патов M. А., Василева Ст. В ., Колева Б. И. Эластомерная гидроизоляционная облицовка для гидротехнических сооружений. Авт. свидетельство НРБ № 21302. За явка от 19.12.73. Per. № 25290 С 08 /17/009/16.
5.Эйрих Ф. Р., Смит Т. Л. Разрушение. М., 1976. Т. 7, ч. 2. 496 с.
6.Глебов В. Д., Криневский И. Е. и др. Пленочные протнвофильтрационные ус тройства гидротехнических сооружений. М., 1976. 206 с.
7.Глебов В. Д., Белышев А. И. Экспериментальное обоснование возможности применения формул теории мембран к расчетам пленочных экранов. — Изв. ВНИИТ, 1976, т. ИЗ, с. 65—80.
8.Луканская А. И., Евстратов В. Ф. Основы прогнозирования механического по ведения каучуков и резин. М., 1975. 360 с.
Высший химико-технологический институт, |
Поступило в редакцию 28.06.82 |
София |
|
УДК 624.073:678
В. Н. Максименко, Н. С. Судаков
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ПРИКЛЕЕННОГО РЕБРА ЖЕСТКОСТИ С ПЛАСТИНОЙ ИЗ КОМПОЗИТНОГО МАТЕРИАЛА
Задачи расчета пластин, усиленных ребрами жесткости, имеют важ ное значение на стадии проектирования и последующего анализа воз можных форм разрушения элементов конструкций. Обзор литературы по указанному направлению приведен, например, в работах [1, 2]. Для пластин из композитных материалов применение стандарных крепеж ных элементов не обеспечивает требуемой прочности. В авиационных и космических конструкциях находят все более широкое применение клеевые соединения подкрепляющего ребра и пластины.
Ниже рассматривается задача о взаимодействии ребра жесткости и полубесконечной упругой анизотропной пластины в предположении, что между ребром и пластиной имеется склеивающий слой постоянной толщины. Задача сводится к уравнению Фредгольма второго рода от носительно неизвестных контактных усилий взаимодействия. Определя ется характер поведения контактных усилий. Предлагается метод чис ленного решения интегрального уравнения, приводятся результаты расчетов.
1. Рассмотрим полубесконечную упругую пластину постоянной тол щины h\ из анизотропного материала, имеющего одну плоскость упру
гой |
симметрии, |
параллельную |
срединной |
плоскости пластины D = |
||
= {х^О; |*/|<оо}. |
Пластина |
подкреплена |
вдоль линии |
L = { z = H + |
||
+ ei<yu\Q<u<lj |
упругим ребром жесткости. Ребро нагружено на концах |
|||||
и = 0, |
и = 1 силами |
P2eii}. Пластина |
растягивается |
равномер |
||
ными усилиями на бесконечности. Будем считать, что ребро и пластина соединены упругим склеивающим слоем, работающим только на сдвиг. Склейка более гибкая, чем ребро и пластина.
Исследуем закон распределения усилий в ребре и определим погон ные контактные усилия q, передающиеся от ребра к пластине (поло
жительное направление для q совпадает с направлением вектора
еЦЪ+п)) #
Пусть склеивающий слой имеет малую толщину A = const с модулем сдвига G. Деформацию сдвига у и напряжения сдвига т считаем рав номерно распределенными по поперечному сечению склейки и являю щимися лишь функциями продольной координаты и.
Будем считать, что ребро работает как одномерный континуум, а пластина находится в обобщенном плоском напряженном состоянии. Это допущение оправдано, если толщина пластины, а также размер
поперечного сечения склеивающего слоя и ребра малы |
в сравнении |
с длиной I скрепленного участка. |
U\> ребра U2i |
Если перемещение вдоль оси и пластины обозначим |
|
то в наших допущениях условие неразрывности примет вид |
|
U i(u ) - U 2(u )= q {u )b {b G ) - 1, |
(1.1) |
где Ь — ширина соединения. Перемещение пластины вдоль оси и с точностью до произвольной постоянной U равно [3, 4]
£/,(и)= Ji K(u,v)q(v)dv+Eu+U -, |
(1.2) |
О |
|
К (и, v) = 2 Re | |
Tv (i4v In [-Mv (у — и) J -|- l\A\ In [ (H + iVlii>) — |
|
|
|
V = 1 |
|
|
— sv(H + Mvu )]+ n vA2 In [( # + Af2u) —/v( # + Mvw)]} |
) ; |
(1.2) |
|
|
av(fl*) |
|
|
r v = pv cos {H-<7v sin ft; Mv = pv sin O + cos 0; Av= |
— ; |
|
|
|
2 |
1 |
|
£ = 2 R e { X l 7VWv5 v }•
V = 1
Здесь и ниже использованы обозначения, принятые в работах [3, 4]. Постоянные F v определяются через величины напряжений на беско нечности.
Полагая перемещение ребра как твердого целого равным нулю, получим
и |
I |
(о<и</), |
(1.3) |
|
и Л и ) = I |
J q { v) dv |
|||
о |
£оУ*о |
|
|
|
где £ 0, Fo — модуль |
Юнга и |
площадь |
поперечного сечения |
ребра. |
Можно считать, что E0l F0 — переменные величины, но поскольку учет этих факторов не имеет принципиального значения, ограничимся слу
чаем |
Fo — const, |
F0= const. |
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя |
выражения (1.2), |
(1.3) |
в уравнение |
(1.1) |
и |
вводя за- |
|||
мену |
переменных H = lh\ и= /£; v = lr\\ |
р |
после |
некоторых |
|||||
q(u) = -j-ср(£), |
|||||||||
преобразований получим |
|
|
|
|
|
|
|||
|
ф(£)+Л j |
k{%, Ti)cp(ri)dT] + 5 |
j |
(y]-l)<p(i\)di\ = D - L l ; |
|
||||
|
k(l, ri) =ln |
(л —i| + ~ Re |
( |
X l TvVvAi In [ (h + M{X\) — |
|||||
|
|
|
|
|
V = |
1 |
|
|
|
|
— 5V(/i+ Mv^)] + /гуЛ2 In [(Л + М2т|) — /V(^ + MV£)]} j |
i |
(1-4) |
||||||
|
|
|
A = 2CGb/A- ' ; |
В = Gbl2 (F0F0A) - 1; |
|
|
|
||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
C = Re| |
; |
L = B ( P , - E QF0E)P - 1. |
|
|
||||
v= 1
Решение уравнения (1.4) следует подчинять условию равновесия всего ребра, которое с учетом замены переменных примет вид
i
Jф(л)^л=—V-—• О-5)
О^
Уравнение (1.4) содержит неизвестную постоянную D, которая может быть определена из условия (1.5).
Отметим некоторые частные случаи. При /г = оо в уравнении (1.4)
А(Е,Ч)= In |£-л|. |
(1-6) |
и получаем решение задачи о взаимодействии ребра жесткости и бес конечной анизотропной пластины. Постоянные Bv определяются через значения а*00, а?у°°, т*?/°°. Выполнив предельный переход к случаю изо тропной среды, найдем
А _ (1 +у) (у —3) Gbl 4ji&hiE[
и получим в частности разрешающее уравнение работы [5].