Механика композитных материалов 3 1983

МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, 1983, № 3, с. 476—488

УДК 624.074:678.001

А. Е. Богданович, Т. Б. Кошкина

ДЕФОРМИРОВАНИЕ И ПРОЧНОСТЬ ОРТОТРОПНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК, ПОДКРЕПЛЕННЫХ КОЛЬЦЕВЫМИ РЕБРАМИ ЖЕСТКОСТИ ПРИ ДИНАМИЧЕСКИХ СЖИМАЮЩИХ НАГРУЗКАХ

Задачи динамики цилиндрических оболочек, усиленных ребрами жесткости, в последние годы привлекают пристальное внимание исследо­ вателей. В известных теоретических работах наиболее детально рас­ смотрены вопросы собственных и вынужденных колебаний ребристых цилиндрических оболочек (обзор этих исследований дан в статьях [1, 2]). Результаты, полученные к настоящему времени по проблеме деформирования подкрепленных цилиндрических оболочек при дина­ мических нагрузках, немногочисленны и явно недостаточны как для ясного понимания влияния подкрепляющих элементов на процесс де­ формирования, так и для их эффективного использования с целью по­ вышения несущей способности конструкций.

Работа [3] была, по-видимому, первой, где исследовалось влияние дискретного расположения ребер жесткости на устойчивость цилиндри­ ческой оболочки, нагруженной осевым импульсом прямоугольной формы. Она явилась развитием известной работы [4], где нелинейная задача динамической устойчивости решалась для гладкой цилиндри­ ческой оболочки. С учетом конечности прогибов оболочки в [3] были получены нелинейные уравнения движения (принималось, что ребра локализованы вдоль координатных линий цилиндрической поверхности) и изложена общая схема решения задачи методом Бубнова— Галеркина. Как и в [4], критической считалась нагрузка, при которой про­ исходит резкое увеличение амплитуд прогибов (такой критерий дина­ мической потери устойчивости широко использовался ранее в работах Вольмира [5]). На основе результатов численных расчетов, проведен­ ных лишь для низшей осевой формы выпучивания, был сделан вывод, что «влияние дискретности ребер является существенным и что расчет, выполненный с применением «размазывания», полностью ошибочен». Тем не менее, при решении той же задачи в более поздних работах [6, 7] для расчета жесткостных параметров ребристых цилиндрических оболочек использовалась модель «размазанных» ребер. Уравнения дви­ жения ребристой оболочки (с точностью до определения жесткостей), метод решения и критерий динамической потери устойчивости в этих работах полностью идентичны использованным в '[4]. Основное вни­ мание при анализе численных результатов было уделено начальным несовершенствам при подкреплении оболочки продольными либо коль­ цевыми ребрами жесткости. Задача о нагружении ребристой цилиндри­ ческой оболочки осевым ступенчатым импульсом рассматривалась также в работе [8]. Решение проведено в геометрически линейной постановке на основе модели «размазанных» ребер. При расчете напря­ жений в оболочке * суммировалось большое количество членов рядов Фурье, что позволило использовать в качестве условия потери оболоч­ кой несущей способности критерий текучести Мизеса.

Разработанные в [9, 10] методы анализа напряженно-деформиро­ ванного состояния и прочности несовершенных цилиндрических оболо­ чек, подверженных осевым динамическим сжимающим нагрузкам, поз­ волили с новых позиции подойти к решению соответствующих задач

Для ребристых оболочек. Так, в работе [И ] изложен метод расчёта в геометрически линейной постановке неосесимметричного напряженнодеформированного состояния ортотропной цилиндрической оболочки, обладающей произвольным полем начальных несовершенств формы и подкрепленной произвольной системой монотропных продольных и коль­ цевых ребер жесткости. Воздействие ребра на оболочку описывается посредством дельта-функции. Решение получено методом Бубнова— Галеркина; особое внимание уделено выбору количества членов в рядах Фурье, необходимого для достижения требуемой точности вычисления перемещений и напряжений. Как показали результаты расчетов, про­ веденных для одного и двух шпангоутов, подкрепляющий эффект мак­ симален при размещении ребер в тех сечениях, где происходит наибо­ лее интенсивное выпучивание гладкой оболочки. При таком локальном повышении жесткости конструкции постановка даже сравнительно невысоких ребер приводит к значительному снижению прогиба и на­ пряжений.

В работе [12] задача об осевом динамическом сжатии ортотропной цилиндрической оболочки, подкрепленной монотропными кольцевыми ребрами, рассмотрена в геометрически нелинейной постановке. В отли­ чие от [11], решение построено исходя из аппроксимации прогиба одним членом ряда Фурье (т. е. в пренебрежении эффектом взаимосвя­ занности осевых форм выпучивания). Сравнение с результатами, полу­ ченными согласно методике [11], проведенное для случая двух ребер, расположенных в местах наиболее интенсивного выпучивания гладкой оболочки, показало, что при небольших прогибах учет взаимосвязанно­ сти осевых форм значительно сильнее влияет как на максимальную величину прогиба, так и на общий вид зависимости прогиба от осевой координаты, чем учет геометрической нелинейности.

Из результатов работ [И, 12]можно сделать общий вывод о том, что при нагружении осевым динамическим сжатием цилиндрической оболочки, подкрепленной редко расположенными ребрами жесткости, необходим учет дискретности расположения ребер (и, как одно из следствий, учет взаимосвязанности осевых форм выпучивания).

Проблеме динамической устойчивости цилиндрических оболочек, подкрепленных ребрами жесткости, при нестационарном внешнем дав­ лении посвящено сравнительно небольшое число работ. Эксперимен­ тальные результаты, приведенные в [13— 1G], свидетельствуют о том, что частота расположения и жесткость подкрепляющих элементов весьма сложным образом влияют на процесс динамического выпучи­ вания и в частности на то, какая форма потери устойчивости (общая или местная) будет доминирующей. Подавляющее большинство из из­ вестных теоретических результатов получено при рассмотрении ребрис­ той оболочки согласно «конструктивно-ортотропной» модели. Пределы применимости такого подхода не установлены. Отметим, что решение конечно-разностным методом задачи упругопластического динамичес­ кого выпучивания цилиндрической оболочки, подкрепленной регуляр­ ной системой кольцевых ребер [17], позволило установить, что при учете дискретности расположения шпангоутов наблюдаются интерес­ ные локальные эффекты в месте расположения каждого ребра, прояв­ ляющиеся на фоне развития общей формы потери устойчивости. Теоре­ тического исследования неосесимметричного деформирования при динамическом внешнем давлении несовершенных цилиндрических обо­ лочек с произвольным образом размещенными вдоль поверхности коль­ цевыми ребрами, по-видимому, не проводилось.

В настоящей работе рассматриваются решения задач деформирова­ ния несовершенных ортотропных цилиндрических оболочек, подкреп­ ленных кольцевыми ребрами жесткости, при равномерно распределен­ ных по торцам осесимметричных сжимающих динамических усилиях и равномерно распределенном по боковой поверхности динамическом внешнем давлении. Приводится сравнение результатов, полученных при

рассмотрении ребер согласно «дискретной» и «размазанной» моделям. Исследуется влияние эксцентриситета расположения ребер на величину прогиба и значение критической динамической нагрузки.

1. Нелинейные уравнения движения ортотропной цилиндрической оболочки, подкрепленной кольцевыми ребрами. Предполагается, что кольцевые ребра (шпангоуты) расположены вдоль координатных ли­ ний х = хг недеформированной цилиндрической поверхности (коорди­ ната х отсчитывается в осевом направлении от одного из торцов обо­ лочки). Для оболочки принимаются гипотезы Кирхгофа—Лява; мате­ риал оболочки — ортотропный. Деформация ребер описывается согласно технической теории изгиба стержней. Предполагается, что толщина стенки ребра значительно меньше как расстояния между со­ седними ребрами, так и характерной длины полуволны выпучивания оболочки (это позволяет учесть воздействие ребра на оболочку посред­ ством дельта-функции).

Линеаризованные уравнения движения ребристой оболочки в пере­ мещениях при сделанных выше допущениях имеют вид*

d2w ~dF = 0,

где у — координата в окружном направлении; и, v — перемещения точки срединной поверхности оболочки в осевом и окружном направле­ ниях; ш, ш° — полный и начальный прогиб; P(t) — заданное осевое сжимающее усилие на торцах оболочки; q(t) — давление на внешнюю боковую поверхность оболочки; R, h, р — радиус срединной поверх­ ности, толщина и плотность материала оболочки; Cij, Dц — матрицы мембранной и изгибной жесткости ортотропного пакета оболочки; рг ~ плотность материала г-го шпангоута; Аг — площадь поперечного сече­ ния шпангоута; Ег — модуль упругости шпангоута в направлении его оси; zr — расстояние от центра тяжести шпангоута до срединной по­ верхности оболочки (положительное при внутреннем подкреплении); /ог — момент инерции шпангоута относительно срединной поверхно­ сти оболочки.

В уравнениях работы [11] дополнительно учитывалось кручение ребер, которые

считались моцотропными с плоскостью изотропии, перпендикулярной осевой линии ребра.

2. Решение уравнений движения вариационным методом. Принимая на торцах оболочки условия шарнирного опирания, разложим переме­ щения в ряды, почленно удовлетворяющие этим условиям:

МN

для каждого фиксированного п сводим систему дифференциальных уравнений в частных производных к следующей системе 2k алгебраи­

W2U7

ном случае должны Определяться исходя из требуемой точности реше­ ния. В системе (3)— (5) использованы обозначения:

Решение системы (3) — (5) проводится в следующей последователь* ности. Во-первых, из уравнения (3) выражается Umn через Vmn и Wmn- Подстановка и тп в (ч; и (Ь) приводит к системе уравнений

мм

6рт — символ Кронекера.

Далее из системы (6) линейных алгебраических уравнений по пра­ вилу Крамера выражаются Vvn'.

\А|=det[aipn]. Подставив (9) в систему дифференциальных уравне­

где элементы матрицы Рп:

fmpn= [а т2Р(1) + № q{t)R ]bPm.

Элементы матриц Ап, Вп, С„, /й определяются согласно (8). Умножив далее обе части уравнения (10) на обратную матрицу Й~[, оконча­ тельно получаем

d2Wn

нп~ + [М-'Сп+М -'Вп(Д„-1) гдп] (w„ - W„°) - ЛН/>«W« = 0.

Для численного решения задачи Коши (11), (12) достаточно восполь­ зоваться стандартными программами, имеющимися в математическом обеспечении ЭВМ ЕС.

3. Расчет деформаций и напряжений в оболочке и ребрах. После определения коэффициентов Фурье Wmn(t) по формуле (9) вычисля­

в направлении внутренней нормали к срединной поверхности оболочки. Первые слагаемые в (13) и (14) — безмоментные осесимметричные деформации. Деформация г-го шпангоута определяется по формуле

вдоль оси шпангоута о\\(г)= Етеуу(г\ Приведенные формулы позволяют рассчитать после нахождения

'функций и(х, уу t)y v(xy уу t)y w(xy уу t) напряженно-деформированное

оболочки системой К одинаковых равноотстоящих кольцевых ребер можно осуществить переход от модели «дискретных» к модели «разма­

занных» ребер путем формальной замены в уравнениях (1) оператора

к

S 6(х — хг) на оператор l/dy где d = L/K — расстояние между соседними

т= 1

шпангоутами. Полученным в результате такого перехода уравнениям движения (их можно классифицировать как уравнения движения двух­ слойной ортотропной оболочки) ряды (2) удовлетворяют почленно. Каждый из коэффициентов Фурье Wmn{t) определяется из уравнения вида

где GOmn, P*mn, <j*mn — частота собственных колебаний, критическое статическое осевое усилие, критическое статическое внешнее давление для оболочки со шпангоутами, определенные согласно модели «разма­

ются по методике, описанной в п. 3.

5. Деформирование ребристой оболочки при осевом динамическом

Рис. 1. Зависимости прогиба от осевой координаты при внешнем (----------) и внутреннем (-----------) подкреплении. 1 —3 — варианты подкрепления. Ыа рис. 1—3 верти­ кальными столбиками и черточ­ ками отмечено местоположение

шпангоутов.

где ось 1 направлена вдоль образующей оболочки. Ребра имеют прямо­ угольное сечение и изготовлены из того же материала, причем ЕГ = Е\. Площадь поперечного сечения ребра Ar = hrh. Начальные несовершен­ ства для оболочки w°(x, у) задаются посредством ряда Фурье (2) с ко­ эффициентами

усилие примем линейно возрастающим во времени и зададим в виде

таты получены для безразмерной скорости нагружения VP= 2. Тщательный анализ распределений По т коэффициентов Фурье

Wmn(t), полученных в результате численного интегрирования задачи Коши (11), (12), показал, что для приведенных выше параметров обо­ лочки и ребер, скорости нагружения и начальных несовершенств (17)

Схема расположения ребер

1014

1118

суммарная масса шпангоутов одинакова. Как видно, при постановке равноотстоящих шпангоутов максимальная величина прогиба сущест­ венно снижается, но местоположение максимумов остается тем же, что и для гладкой оболочки. Постановка высоких шпангоутов в сечениях максимального прогиба гладкой оболочки не только заметно искажает общий вид зависимости w (x)y но и дает значительно больший под­ крепляющий эффект. Так, при схеме подкрепления 4 максимальное значение прогиба в 4,1 раза ниже, чем для гладкой оболочки, и в 2,2 раза ниже, чем при подкреплении равноотстоящими шпангоутами. Можно отметить также, что при вариантах подкрепления 2—4 стано­ вится заметным эффект локального выпучивания между шпангоутами (где и достигаются максимальные значения прогиба).

Результаты, приведенные на рис. 1, показывают, что подкрепление внешними шпангоутами приводит к существенно большему снижению прогиба, чем подкрепление внутренними (так, для варианта 2 макси­ мальные значения прогиба различаются в два раза).

На рис. 3 сопоставляются зависимости w{x), рассчитанные на

Рис. 3. Зависимости прогиба от

анты подкрепления

дней не позволяет описать смещения максимума прогиба и даст сильно завышенное его значение. Этот результат подтверждает вывод, сделан­ ный в работе [И ] на основе результатов расчета оболочки с одним

идвумя шпангоутами высотой ЮЛ.

6.Деформирование ребристой оболочки при динамическом внешнем

давлении. Рассмотрим далее нагружение оболочки линейно возраста­ ющим во времени внешним давлением q(x) = Vqxq*. Параметры обо­ лочки задаются согласно (16), ось 1 совпадает с осью у. Ребра прямо­ угольного сечения с площадью Ar = h rh имеют модуль упругости ЕГ = Е\. Начальные несовершенства оболочки w°(x, у) задаются посредством ряда Фурье (2) с коэффициентами

денные в данном пункте результаты, кроме рис. 8, относятся к одному моменту времени т = 5,0.

На рис. 4 даны зависимости прогиба в сечении y = nR от осевой координаты при внешнем подкреплении оболочки равноотстоящими шпангоутами высотой 5Л. Как видно, постановка двух шпангоутов при­

12 раз. При этом максимум прогиба каждый раз достигается между шпангоутами, наиболее близкими к той области, где максимален про­ гиб гладкой оболочки. Исходя из этого естественно применить следу­ ющий принцип неравномерного размещения шпангоутов (рис. 5). Пер­ вый ставится в сечение х=Х\, которому соответствует максимальная величина прогиба гладкой оболочки. В результате получается завися-, мость 6 с максимумом в точке х2. В сечение х = х2 ставится второй шпангоут, получается зависимость 2 и т. д. Как следует из рис. 5, по­ становка по такому принципу пяти шпангоутов приводит к снижению

Рис. 5. Зависимости прогиба от осевой координаты при подкреп­ лении неравноотстоящими шпан­ гоутами с hr = bh: 1 — гладкая оболочка; 6 — одни шпангоут (*,=0,435L); цифры у остальных кривых соответствуют количеству шпангоутов (x2 = 0,66L, x3 = 0f26L; X 4 = 0 J3 L , A'5 = 0,51L). Местополо­ жение шпангоутов отмечено стол­

биками.