Механика композитных материалов 3 1983

Пусть к бесконечно протяженному слою из вязкоупругого материала «мгновенно» [и были приложены внешние воздействия и он, приобре­ тая большие однородные статические мгновенные упругие начальные дефор­ мации и напряжения, перешел в пер­ вое промежуточное состояние. Напря­ женное состояние слоя описывается величинами главных значений тензора начальных напряжений pi. Благодаря вязкоупругим процессам, происходя­ щим в слое, в нем к моменту времени

т накапливаются большие дополнительные однородные плоские вязкоупругие деформации и напряжения. Слой переходит во второе промежу­ точное состояние. Вектор внешних усилий, приложенных к слою, не из­ меняется. Затем в слое намечается круговой контур и удаляется часть слоя, ограниченная этим контуром. По принципу освобождаемое™ от связей ее действие на оставшуюся часть заменяется силами, распреде­ ленными по граничному контуру. Напряженное состояние оставшейся части слоя остается неизменным. «Мгновенно» [1, 3] уменьшаем эти силы до нуля. Слой, приобретая большие дополнительные мгновенные упругие деформации, переходит в текущее состояние. При этом считаем,

ными условиями (17) удовлетворяются тождественно.

Для решения задачи применим метод последовательных приближе­ ний. Последовательно используя для каждого приближения метод Ко­ лосова—Мусхелишвили [8] и опираясь на результаты работ [9, 10], получим следующее представление для коэффициента концентрации на граничном контуре (при pi = 0; р2 = р)\

соотношений (12) с учетом (17). На рисунке приведен график измене­

соответствует расчету, проведенному по соотношениям классической теории упругости; кривые 2—4 соответствуют моментам времени 0, 0,1, 1 ч. Как видно из рисунка, для нашего случая учет вязких свойств материала дает поправку около 22%.

Авторы выражают благодарность Г. С. Тарасьеву за постановку задачи и внимание к ее выполнению.

СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1.Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупругости. М., 1974. 338 с.

2.Тарасьев Г. С. К теории наложения конечных упругих деформаций. — В кн.:

Технология машиностроения. Тула, 1970, вын. 20, с. 142— 149.

3. Тарасьев Г. С., Левин В. А. Выпучивание цилиндрического стержня из вязкоупругого материала при больших начальных деформациях. — В кн.: Тез. докл. Всесоюз. сими, по устойчивости в механике деформиров. твердого тела. Калинин, 1981,

с.65.

ниях. — Прикл. математика и механика, 1957, т. 21, № 6, с. 43—50.

7.Тарасьев Г. С. Уравнения нелинейной теории упругости в перемещениях. — Прикл. механика, 1971, т. 7, № 12, с. 26—33.

8.Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории уп­ ругости. М., 1966. 707 с.

9. Нечаев Л. И., Тарасьев Г. С. Концентрация напряжений вокруг кругового в промежуточном состоянии тоннеля в нелинейно-упругом теле. — Докл. АН СССР,

1973, т. 215, N° 12, с. 301—304.

10.Нечаев Л. Н. Об эффектах третьего порядка в задачах о концентрации на­

УДК 539.4:678.067

С. Т. Милейко, Ф. X. Сулейманов

МОДЕЛЬ УСТАЛОСТНОГО РАЗРУШЕНИЯ КОМПОЗИТОВ С МЕТАЛЛИЧЕСКОЙ МАТРИЦЕЙ

Разнообразие структур композитов, а также механизмов усталост­ ного разрушения [1, 2] требует разработки аппарата быстрого ана­ лиза усталостного поведения композитов, который давал бы и прогно­ стические возможности. Возможная схема такого анализа основана на машинном моделировании процесса усталостного разрушения, в ко­ тором используются определяющие уравнения либо микроструктурной, либо феноменологической природы. Во втором случае существенным должен быть систематически поставленный эксперимент, доставляю­ щий информацию, необходимую для определения соответствующих па­ раметров.

Излагаемая ниже модель построена с учетом изученных ранее [2] особенностей усталостного разрушения композитов с металлической

ционных задач.

1.Рассмотрим вначале процесс накопления усталостного повреж­

характерном элементе композита повреждение может быть либо тре­ щиной в матрице, либо обрывом волокна, либо трещиной, пересекаю­ щей волокно и матрицу (рис. 1).

Размеры элемента в плоской структуре естественно выбрать сле­ дующим образом: высота h равна толщине слоя композита, длина I

77777771 У////А

В

Рис. 1. Возможные типы повреждения элемента композитной структуры: а — со* = со*1, А/=1, А1Я= 1/2; б — £о* = со*2, А/=1/2, Ато= 1; в — со* = со*3| А,/=1/2, А». = 1/2.

Рис. 2. Разбиение продольного сечения композитного стержня на элементы.

* Величина / должна, вообще говоря, определяться на основе рассмотрения не­ которой структурной модели.

В предельном состоянии модуль Юнга элемента принимается равным

Er= XfEjVj XmEmVm] Xf, ! •

Если критическое состояние соответствует перерезанию трещиной мат­

независимы; N — текущее число циклов; а — максимальная амплитуда нормального (к плоскости поперечного сечения) напряжения в эле­ менте.

- Имея в виду применение уравнения (1) к объемам, состоящим из большого числа элементов и находящимся в неоднородном напряжен­

со*. Предполагается при этом, что всегда работает лишь один из меха­ низмов повреждения, представленных на рис. 1.

Для определенности перейдем теперь к рассмотрению конкретной

= Tl3(as+i) = 0 и T i ^ + ^ l . Определяя ri3(1) и т]4(1) из оставшихся двух урав­

участков.

Значение частоты определим из частотного уравнения, которое по­

Предусмотрим теперь подсказываемую экспериментальными наблю­ дениями [2] возможность скачкообразного предельного повреждения элемента (г + 1,/') вслед за достижением предельного состояния в эле­ менте (/',/'). Такая возможность в физическом эксперименте возникает, например, в случае благоприятной конфигурации микротрещины и гра­

нием магистральной трещины, которая распространяется со скоростью, описываемой кинетическим уравнением типа Париса:

= R (Л Г

dN Р VКт > ’

где с — длина трещины; К — коэффициент интенсивности напря­ жения; р, Кт, т — константы.

Если принять, что время распространения магистральной трещины много меньше времени накопления повреждения, что соответствует экс­ периментальным данным (см. форму кривых зависимостей собственной частоты от числа циклов нагружения [2]), то долговечность образца можно описать введением вероятности р превращения повреждения в некотором элементе в магистральную трещину, пересекающую этот элемент, причем макротрещина разрушает стержень полностью только в том случае, когда это условие выполняется во всех тс неповрежден­ ных элементах (mc= i\ i'+ 1 ,... fMy) столбца

Подобно вероятности s перескока повреждения в соседний элемент вероятность р связана со структурой композита и конфигурацией тре­

щины. Целесообразность введения двух вероятностей s u p обсужда­ ется ниже — в п. 6.

Образование магистральной трещины в дискретном процессе по­ вреждения, описанном выше, есть в терминах статистики последова­ тельность испытаний [3], в каждом из которых может произойти одно из двух несовместимых событий — проскок трещины или его отсутст­ вие. Вероятность образования макротрещины на q-м шаге такого про­

цесса при условии, что она не возникла на предыдущих шагах, дается

формулой

Pq= l - ( l - P q^) (1 - p ) w y_<+1>.

3. Моделирование процесса усталостного повреждения композитной структуры на ЭВМ заключается в следующей процедуре. При задан" ной амплитуде а свободного конца стержня на q-u шаге повреждения вычисляются напряжения в элементах, затем, в соответствии с (9), вычисляются число циклов ANq и приращение функции повреждения во всех элементах по (10). Значение частоты fq определяется из чис­ ленного решения уравнения (8).

Далее с помощью программы — генератора случайных чисел URAND [4] на каждом шаге вырабатываются две последовательности

ние распространяется в столбце /' до тех пор, пока выполняется усло­ вие £e(i)< s ; i ^ M y - 1 .

На рис. 4 представлены результаты численного эксперимента в виде зависимости собственной частоты стержня от числа циклов (Nc — число циклов, соответствующее 5% падению частоты) для различных значений параметра 5. Эти кривые отражают характерные особенно­ сти кривых, полученных в физическом эксперименте, на участке до образования магистральной трещины.

Введение в расчет параметра р обрывает процесс накопления по­ вреждения, приводит к статистической величине долговечности N*n. Ха­ рактер зависимости N*n от величины р при прочих неизменных пара­ метрах показан на рис. 5.

В процессе численного эксперимента наблюдается картина повреж­ дения стержня; некоторые примеры показаны на рис. 6.

4.Перейдем теперь к вопросу об определении параметров материала,

т.е. величин р и s, а также констант, входящих в уравнение (1). Начнем с приближенного определения константы п (величина оп Дол­ жна быть зафиксирована), которую можно затем использовать в ка­ честве начального приближения при уточненном определении набора параметров. С этой целью упростим модель, предположив, что повреж­ дение распространяется лишь в верхнем слое стержня, в котором обра­ зуется магистральная трещина в момент времени N = N*, когда длина поврежденной зоны достигает величины хр\ Тогда, пренебрегая изме-

Рис. 4. Кривые зависимости падения собственной частоты колебаний стержня от числа циклов в численном эксперименте. s = 0 (/); 0,2 (2); 0,4 (5); 0,6 (4); 0,8 (5); 1,0 (б).

Рис. 5. Зависимость долговечности N *n в численном эксперименте от вероятности р образования магистральной трещины.

* Альтернативным условием разрушения может быть падение собственной частоты колебаний стержня на заданную величину.

tmri**‘***i»i***ii*i****«*t*mtm*mmtmm**«*«*

t«*r

**«*л

uttrmntitmfnmnmmuniimixttut

a

Рис. 6. Картины разрушения ком­

Подставляя (12) в (11) и учитывая, что максимальная начальная ам­ плитуда напряжений в неповрежденном стержне e o ~ a E 0k0H/2, запишем

ления повреждения (1) определяется из сравнения результатов числен­ ного эксперимента, описанного выше, с экспериментальными данными [2]. Оптимальные значения этих параметров обеспечивают минимум целевой функции вида

к

ЛГ|,Х2

прямым методом по деформируемому многограннику [5] в области значений /?, а, определенной из начального приближения (п. 4) при фиксированных остальных параметрах модели (5 = 0, р = 0, an= const). Затем, полученный набор /г1, а 1 уточняется при значениях 5, соответ­ ствующих выбранному объемному содержанию волокна.