конец вектора А описывает почти замкнутую кривую. Размах кри­ вой уп(со) равен проекции годографа вектора А на прямую х—х. Для того чтобы при любом положении датчика Дп этот размах был равен максимальной амплитуде, необходимо чтобы проекция годографа на любое направление была одинаковой и равной ЛшахЭтому условию удовлетворяет окружность диаметром Лтах. Оценим, насколько годограф близок к окружности.

Запишем уравнение годографа в полярных координатах. После преобразования формул (2.14) и (2.15) получаем

«Диаметр» этой фигуры, определенный как расстояние между дву­ мя взаимно перпендикулярными векторами D, зависит от угла фп следующим образом:

{(т)’+Т [1+cosJ l/ 1 +(2 f ts

В этом выражении сумма всех членов, кроме первого, при любом значении фп не превосходит по абсолютному значению 1. Учитывая, что 6^0 ,3 и, следовательно, величина ( JT/ 6 ) 2> 100, можно запи­ сать

Ошибка такого приближения не превосходит 0,5%. Следовательно, годограф вектора Л действительно достаточно близок к окружно­ сти диаметром, равным максимальной амплитуде колебаний.

2.6.2. Влияние связности лопаток на точность измерения их колебаний методом годографа

До сих пор речь шла о колебаниях идеальной изолированной лопатки. Однако колесо турбомашины представляет собой связную систему многих осцилляторов (лопаток). При возбуждении коле­ баний в такой системе амплитудно-фазовая характеристика каж­ дой лопатки будет отличаться от окружности (см., например, [4, 77]). Для оценки влияния разночастотности лопаток вместо урав­ нения (2.12), описывающего движение изолированной лопатки, необходимо записать систему г уравнений, каждое из которых

должно содержать коэффициенты взаимного влияния и собствен­ ные частоты различных лопаток.

Ниже даны оценки ошибок измерения методом годографа амп­ литуд вынужденных колебаний венца с разночастотными лопатка­ ми. Оценки получены путем численного эксперимента на ЭВМ.

Математическая модель венца представлена системой уравне­ ний вида

(/= 1 ,2 , ...,2).

(2. 18)

В отличие от выражения (2.12) в каждом уравнении системы (2.18), описывающем движение лопатки с номером /, присутствуют члены Pi2f/i-i и Р21УШ, учитывающие взаимодействие /-й лопатки с соседними. Поскольку при колебаниях по низшим формам силы механического взаимодействия пренебрежимо малы, а силы аэро­ динамического взаимодействия быстро убывают с расстоянием, для оценки достаточно ограничиться аэродинамическим влиянием лишь соседних лопаток [56].

Коэффициенты аэродинамического демпфирования и аэродина­ мического влияния зависят от параметров потока. При расчетах это учитывалось тем, что коэффициенты р*, Р12 и $21 рассматрива­ лись как функции кратности колебаний. Учет кратности вызван тем, что вынужденные колебания с более высокой кратностью наблюдаются на меньших скоростях вращения, в результате чего аэродинамические коэффициенты уменьшаются. Кроме того при этом возрастает сдвиг фаз между возмущающими силами, дейст­ вующими на соседние лопатки.

Расчеты показали, что амплитудно-фазовая характеристика ло­ паток разночастотного венца несколько отличается от окружности и это отличие тем сильнее, чем больше разночастотность и связ­ ность лопаток. В этом случае лопатка колеблется со сравнительно большей амплитудой в области частот, далеких от собственной (парциальной) частоты ее колебаний, и результат измерения амп­ литуды методом годографа может оказаться отличным от резонан­ сной амплитуды.

Многочисленные расчеты, проведенные для различных степеней расстройки в диапазоне кратностей п от 1 до 4 показали, что амп­ литуды, измеряемые методом годографа, могут оказаться и больше и меньше максимальных. Для кратностей /г>2 вероятность получе­ ния ошибки измерения больше 5% практически не отличается от нуля (Р<0,01) и полностью исключены ошибки, превышающие 10%. С ростом кратности вероятность ошибки уменьшается. Этого следовало ожидать, так как с ростом кратности быстро убывают коэффициенты аэродинамического влияния и, следовательно, амп­ литудно-частотная характеристика приближается к характеристи­ ке изолированной лопатки.

жима. Особенно важно сокращение этого времени при измерениях на неустановившихся и опасных режимах, например при измере­ ниях срывных колебаний вблизи границы помпажа, в процессе выхода на режим и т. д. Поэтому необходимо определить то ми­ нимальное время накопления информации, при котором с задан­ ной достоверностью можно утверждать, что измеренная величина мало отличается от истинного значения размаха.

В ряде случаев может оказаться, что необходимое время боль­ ше допустимого по условиям эксперимента, тогда возникает воп­ рос о надежности результата измерения.

Итак, сформулируем задачу следующим образом.

Исследуемые колебания представляют собой детерминирован­ ный или стационарный случайный процесс y(t) с ограниченным размахом 2А. Значения уг отсчитываются через равные интервалы времени То (время одного оборота ротора). Необходимо опреде­ лить такое число отсчетов N', чтобы разница между максимальным и минимальным отсчетами с заданной вероятностью Р отличалась от размаха 2А не более, чем на Д, т. е.

Очевидно, что в такой общей постановке задача могла бы быть решена при наличии каких-либо априорных статистических харак­ теристик процесса, например его плотности распределения и функ­ ции корреляции. Поскольку заранее таких характеристик обычно получить не удается, оценка (2.20) может быть получена лишь по­ сле проведения измерений.

Для предварительной оценки необходимого числа отсчетов мож­ но предположить, что колебания происходят по чисто синусоидаль­ ному закону со случайной начальной фазой и случайным отноше­ нием частоты колебаний к частоте вращения (частоте отсчетов). Для таких колебаний плотность распределения определена мето­

дом Монте-Карло [8] путем моделирования на ЭВМ процесса изме­ рений.

Для каждого числа отсчетов N' было проведено Ю5 испытаний,

в каждом из которых вычислялось N' значений г/г (/== 1, 2, .,N') по формуле

//, = sin 2л (/г-|-<р).

Величины кратности п и фазы ф для каждого испытания выби­

ность того, что при проведении N' отсчетов статистическая пог­ решность не превзойдет выбранной величины А.

Так при допустимой погрешности 5% и достоверности измере­ ния Р = 0,95 получаем N'=50. Это значит, что при частоте враще-

Рис. 2.12. Зависимость достоверности измерения амп­ литуд от числа отсчетов N' для различных значений допустимой ошибки Д

ния, равной 100 об/с, время, необходимое для регистрации, обстав­ ляет 1/2 с. При большей скорости вращения можно либо умень­ шить время регистрации, либо при том же времени получить более достоверный и точный результат измерения.

2.8. ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

Перед тем как начать описание методов обработки в ЭВМ ре­ зультатов измерений мгновенных перемещений, измеренных диск­ ретно-фазовым методом, напомним основное положение теории дискретных измерений [47] — любой процесс с ограниченной поло­ сой частот полностью определяется своими дискретными значения­

кова). Из этого следует, что если наибольшая ожидаемая частота колебаний лопаток в п раз превосходит частоту вращения, то мгно­ венное перемещение концов лопаток необходимо измерять не реже, чем в 2п раз за один оборот ротора. Это означает, что число датчи­ ков Дш установленных равномерно по окружности над рабочим колесом турбомашины, должно быть не меньше ближайшего к 2п

чиков на практике сопряжена с большими трудностями. Кроме того