Надежность систем автоматизации

Эти формулы и являются основными формулами расчета надежности системы при резервировании замещением.

При выводе этих формул мы допускали, что переключающие устройства П1, П2, …, Пk действуют безотказно. Однако надежность этих переключающих устройств легче учесть, рассматривая их как самостоятельные элементы, включенные последовательно с соответствующими резервными элементами группы.

Рассмотрим частные случаи резервирования замещением: нагруженный, облегченный и ненагруженный резервы.

4.2.2. Резервирование замещением в случае нагруженного резерва

Пусть все k резервных элементов составляют нагруженный резерв. В этом случае они все должны работать на интервале 0…t:

qi (t,τ) ≡ qi (t), i =1, 2, ..., k,

где qi (t) – вероятность отказа i-го резервного элемента. Тогда формула (4.1) примет вид

Применяя k раз рекуррентное соотношение

Qk (t) = qk (t)Qk −1(t),

получаем ту же формулу, что и в случае нагруженного резерва с постоянным включением резервных элементов в работу:

Qk (t) = q0 (t)q1(t)...qk (t).

81

Для экспоненциального закона распределения

Qk =(1−e−λt )k+1 или Pk =1−(1−e−λt )k+1 .

Эту формулу мы уже знаем.

4.2.3. Резервирование замещением в случае облегченного резерва

Пусть все k резервных элементов составляют облегченный резерв. В этом случае, как и при нагруженном резерве, отказ резервного элемента может наступить и до его включения в работу. Поэтому введенную выше ВБР k-го резервного элемента pk (t,τ) здесь можно представить так:

pk (t,τ) = pk(обл) (τ) pk(раб) (t −τ),

где pk(обл) (τ) – надежность k-го резервного элемента в облегченном режиме, т.е. в резерве, а pk(раб) (t −τ) – надежность

этого же k-го резервного элемента в рабочем режиме при условии, что до включения в работу он, будучи в резерве, не откажет к моменту τ. Учитывая это выражение, основные рекуррентные формулы перепишем так:

Рассмотрим практически важный частный случай, когда все элементы k-кратно резервированной группы с облегченным резервированием подчинены экспоненциальному закону надежности. Пусть

82

По формуле Ньютона – Лейбница

∫t f (x)dx = F(t) − F(0).

0

Если функция f непрерывна, то F – первообразная. Тогда получим:

1) при k = 1 (один резервный элемент и один основной) f0 (τ) =Q0′(τ) =(1− P0 (τ))′ = −P0′(τ) = −(−λe−λτ ) = λe−λτ;

P1(t) = e−λt + ∫t e−λ0τe−λ(t−τ)λe−λτdτ = e−λt +

0

+∫t e−λ0τe−λteλτλe−λτdτ =

0

= e−λt + ∫t e−λ0τe−λtλe0dτ = e−λt +e−λtλ∫t e−λ0τdτ =

Легко видеть, что ВБР увеличивается на величину

83

учитывающую уменьшение интенсивности отказов λ и ве-

λ0

тогда по правилу дифференцирования арифметических комбинаций:

Тогда выносим постоянный множитель:

Далее

Раскроем подынтегральное выражение:

Вынесем постоянный множитель и возьмем интеграл:

поэтому

Проведя подобные вычисления для k = 3, 4, …, можно найти закономерность изменения Pk(t):

86

где учитываем, что Pk(0) = 1, Qk–1(0) = 0.

Аналогично, допуская, что все элементы в рассматриваемой резервированной группе равнонадежны, окончательно получаем

Pk (t) = pk (t) + ∫t Pk −1(τ) fk (t −τ)dτ,

0

Qk (t) = qk (t) −∫t Pk−1(τ) fk (t −τ)dτ,

0

где p(t), q(t), f(t) – количественные характеристики надежности, общие для всех элементов этой группы, p(t), q(t), f(t) = = –Р′(t). Зная эти характеристики и применяя последовательно k раз эти рекуррентные формулы, получаем надежность Pk(t) и ненадежность Qk(t) рассматриваемой резервированной группы в случае, когда ее элементы равнонадежны.

Рассмотрим практически важный частный случай, когда все элементы k-кратно резервированной группы с ненагруженным резервированием подчинены одному и тому же известному экспоненциальному закону надежности P(t) =

= e−λt :

88

1) при k = 1 в формуле для «теплого» резервирования «облегченная» λ = 0:

P1(t) = e−λt +λe−λt [t −0],

P1(t) = e−λt (1+λt);

89

P2 (t) = e−λt +e−λtλ∫t (1+λτ) dτ =

0

=e−λt +e−λtλ t + λt2 .

2

Таким образом,

P2 (t) = e−λt + ∫t e−λτ(1+λτ)λe−λ(t−τ)dτ =

0

=e−λt 1+λt + λ2t2 ;

2

3) при k = 3