Надежность систем автоматизации

В принципе, «вложенность» дробей может быть большая, но парируется дополнительных отказов не более n. Считаем, что повторно отказавшие элементы не восстанавливаются (хотя в ряде случаев это может быть возможно, например переход из трехэлементного базиса в двухэлементный).

Получаем ряд

с выделением целой части:

∑vi =u ≤ n.

Эта сумма показывает дополнительное число парируемых отказов без учета «остатков».

Если учитывать «остатки», то

В 1-м приближении (для восстановления из m отказавших) получаем для v1

n+m

( )n+m−i

PСССВР (t ) = ∑Cni +me−iλt 1−e−λt e−λпуt +

i=n

mr

m+ j

+ ∑Cnm++mje−(n− j)λt (1−e−λt ) e−λпуt .

j=1

Вслучае дополнительных затрат на восстановление отказавших λв получаем

( ) n+m n+m−i −λ t PСССВР t = ∑Cni +me–iλt (1−e−λt ) e пу +

i=n

mr

+ ∑Cnm++mje−(n− j)λt (1−e−λt )m+ j e−(λпу+λв)t . j=1

132

Если дополнительные затраты имеют вид

тогда необходимо определить условия получения выигрыша δР за счет восстановления отказавших элементов при введении дополнительной общей избыточности λв.

Пусть задано значение выигрыша δРтр, тогда

mr

+ ∑Cnm++mje−(n− j)λt (1−e−λt )m+ j e−(λпу+λв)t − j=1

n+m

( )n+m−i

− ∑Cni +me–iλt 1−e−λt e−λпуt .

i=n

Формула моделируется для расчетов в СКМ MathCad. На рис. 4.28–4.34 представлены некоторые результаты

расчетов выигрыша в вероятности безотказной работы ПЛИС-ФПТ при различных параметрах СССРВ (рис. 4.35).

133

Рис. 4.28. Выигрыш в вероятности безотказной работы ПЛИС-ФПТ при n = 100, m = 20, r = 4: – δР 0 ; – δР 1 ; – δР 2 ;

– δР 3 ; – δР 4

Рис. 4.29. Выигрыш в вероятности безотказной работы ПЛИС-ФПТ при n = 100, m = 10, r = 4. Обозначения см. рис. 4.28

134

Рис. 4.30. Выигрыш в вероятности безотказной работы ПЛИС-ФПТ при n = 100, m = 8, r = 4. Обозначения см. рис. 4.28

Рис. 4.31. Выигрыш в вероятности безотказной работы ПЛИС-ФПТ при n = 10, m = 8, r = 4. Обозначения см. рис. 4.28

135

Рис. 4.32. Выигрыш в вероятности безотказной работы ПЛИС-ФПТ при n = 20, m = 8, r = 4. Обозначения см. рис. 4.28

Рис. 4.33. Выигрыш в вероятности безотказной работы ПЛИС-ФПТ при n = 200, m = 8, r = 4. Обозначения см. рис. 4.28

136

Рис. 4.34. Выигрыш в вероятности безотказной работы ПЛИС-ФПТ при n = 20, m = 10, r = 4. Обозначения см. рис. 4.28

Рис. 4.35. Расчетные параметры СССВР ПЛИС-ФПТ

137

Таким образом, выигрыш в ВБР при определенных значениях параметров и основной интенсивности отказов может достигать нескольких десятков процентов. Для конкретных значений параметров предлагаемая математическая модель обеспечивает оценку возможного выигрыша.

Можно определить при заданном λв возможность выигрыша:

n+m

=∑Cni +me–iλt (1−e−λt )n+m−i +i=n

= e−λвt .

138

Тогда

= −λв.

Рис. 4.36. Пассивно-активная отказоустойчивость – мажоритарное скользящее резервирование КБ с восстановлением на основе ФПТ-элементов

Вводим дополнительный предложенный метод пассив- но-активной отказоустойчивости – мажоритарное скользящее резервирование с восстановлением на основе ФПТ-элементов

(рис. 4.36).

139

5. НАДЕЖНОСТЬ ВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ СИСТЕМ

Все системы, рассматриваемые в теории надежности, разделяются на восстанавливаемые, допускающие перерыв в работе для восстановления и ремонта (repair), и невосстанавливаемые, работоспособность которых в случае отказа не подлежит восстановлению. Большинство устройств и СА являются восстанавливаемыми [4].

Динамические модели надежности в отличие от ранее рассмотренных учитывают как процессы отказов, так и процессы восстановлений. Эти модели основаны на Марковских процессах.

5.1. Марковские процессы

Андрей Андреевич Марков – выдающийся русский математик, внесший большой вклад в теорию вероятности, математический анализ и теорию чисел (рис. 5.1).