Надежность систем автоматизации

(δ3i )* = δ13, значит, очередной элемент надо добавить на

1-м участке. Это два дополнительных элемента. Следовательно, ССН для шага j = 3 будет иметь вид, показанный на рис. 4.22.

Рис. 4.22. ССН для 3-й и последней итерации увеличения ВБР (вариант А)

Pс3 = 0,9914·0,9844·0,994·0,992·0,99 = 0,953 ≥ Pсзад(t),

что удовлетворяет условию Pc(t) ≥ Pсзад(t).

121

Стоимость реализации системы на 3-м шаге оптимиза-

ции Wс3 = Wс2 + 2W1 = 218.

Итак, минимальная стоимость реализации системы Wсmin = 218 при достигаемой Pc(t) = 0,953, что больше задан-

ной 0,94.

Вариант В. Найдем Pc(t) → max при Wс ≤Wсзад.

Для начала проверим выполнение условия Wс ≤Wсзад (i от 1 до 5) для нерезервированной системы (рис. 4.23).

Рис. 4.23. ССН нерезервированной системы

Найдем ВБР системы и ее стоимость на 0-м шаге (для j = 0):

Pс0 = 0,9·0,75·0,82·0,8·0,9 = 0,398 52;

Wс0 = 16 + 11 + 13 + 12 + 15 = 67 <Wсзад.

Видно, что для нерезервированной системы условие по стоимости выполняется, но имеется запас стоимости для увеличения надежности системы, поэтому необходимо введение резервных элементов. На 1-м участке системы требуется использовать неадаптивное мажоритарное резервирование – выбор двух из трех:

P1(t) = P3 +3P2 (1− P) =3P2 −2P3.

На остальных участках – резервирование замещением с нагруженным режимом работы резервных подсистем, т.е.

P(t) =1−(1− P)2 – работает хотя бы один канал из двух.

122

Начнем увеличивать ВБР всей системы, учитывая усло-

1,1,1,1,1. Вводим еще один канал на каждом участке, а на 1-м – еще два. Получаем 3,2,2,2,2.

(δ1i )* = δ12 , значит, очередной элемент надо добавить на

2-м участке. Следовательно, ССН для шага j = 1 будет иметь вид, показанный на рис. 4.24.

Рис. 4.24. ССН для 1-й итерации увеличения ВБР (вариант В)

Pс1 = 0,9·0,9375·0,82·0,8·0,9 = 0,498 15;

Wс1 = Wс0 + W2 = 78 <Wсзад,

123

т.е. увеличиваем резерв только на 2-м участке, остальные без изменений.

2-я итерация (табл. 4.10). Исходное: 1-й шаг – увеличиваем резерв только на 2-м участке, остальное без изменений. Каналы: 1,2,1,1,1. 2-й шаг – опять увеличиваем резервы, в том числе и на 2-м. Получаем 3,3,2,2,2.

(δi2 )* = δ24. Очередной элемент добавим на 4-м участке.

Следовательно, ССН для шага j = 2 будет иметь вид, представленный на рис. 4.25.

Рис. 4.25. ССН для 2-й итерации увеличения ВБР (вариант В)

124

Pс2 = 0,9·0,9375·0,82·0,96·0,9 = 0,597 78;

Wс2 = Wс1 + W4 = 90 <Wсзад,

т.е. увеличиваем резерв только на 4-м участке, остальные без изменений.

3-я итерация (табл. 4.12). Исходное: 2-й шаг – увеличиваем резерв только на 4-м участке, остальные без изменений. Каналы: 1,2,1,2,1. 3-й шаг – опять увеличиваем резервы, в том числе и на 4-м. Получаем 3,3,2,3,2.

(δ3i )* = δ33 , значит, очередной элемент надо добавить на

3-м участке. Следовательно, ССН для шага j = 3 будет иметь вид, представленный на рис. 4.26.

125

Рис. 4.26. ССН для 3-й итерации увеличения ВБР (вариант В)

Pс3 = 0,9·0,9375·0,9676·0,96·0,9 = 0,705;

Wс3 = Wс2 + W3 = 103 < Wсзад ,

т.е. увеличиваем резерв только на 3-м участке, остальные без изменений.

4-я итерация (табл. 4.14). Исходное: 3-й шаг – увеличиваем резерв только на 3-м участке, остальные без изменений. Каналы: 1,2,2,2,1. 4-й шаг – опять увеличиваем резервы, в том числе и на 3-м. Получаем 3,3,3,3,2.

(δi4 )* = δ54 , значит, очередной элемент надо добавить на

5-м участке. Следовательно, ССН для шага j = 4 будет иметь вид, показанный на рис. 4.27.

Рис. 4.27. ССН для 4-й и последней итерации увеличения ВБР (вариант В)

Pс4 = 0,9·0,9375·0,9676·0,96·0,99 = 0,776.

Стоимость реализации системы на 4-м шаге оптимизации Wс4 = Wс3 + W5 = 118 <Wсзад. При следующих шагах

значение Wс гарантированно выйдет за допустимые пределы. Итак, максимальное значение Pc(t) = 0,776 при стоимости реализации системы Wс = 118 меньше заданной 120. Не-

большое значение, но денег мало дали!

4.4.7. Оценка ВБР отказоустойчивой ПЛИС-ФПТ со скользящим резервированием

и восстановлением логики

Предложим в качестве элементов системы со скользящим резервированием и восстановлением логики (СССРВ) ФПТ-элементы, сохраняющие функциональную полноту при заданной модели отказов. ФПТ-элемент для модели константных однократных отказов входов реализует функцию

х1х2 х3х4 или, что то же самое, функцию (x1 x2 ) (x3 x4 ).

127

Все модификации f4383 = х1х2 х3х4 для однократных константных отказов входов – х2 х3х4 , х1 х3х4 , х1х2 х4 , х1х2 х3 – представляют собой функции трех аргументов f31, f87, обладающие функциональной полнотой, и функцию f1 двух аргументов – известный базис Вебба (стрелка Пирса ↓) х3х4 , х1х2. Базис сохраняется и при замыкании соседних

входов, например 2-го входа с 3-м: х1х2 х2 х4 = х2 (х1 х4 ). Восстановление отказавших основных (резервных) эле-

ментов эквивалентно их увеличению при допущении, что они восстанавливаются по мере наступления отказов. Но для восстановления одного элемента надо несколько отказавших.

Так, если остаются базисы Вебба (стрелка Пирса↓), х1х2 , х3х4 , то для получения базиса х1х2 х3х4 необходимо

х1х2 х3х ,

четыре элемента с таким базисом: два для реализации двух конъюнкций х1х2 , х3х4 , один для двухместной операции ИЛИ-НЕ и один инвертор.

Если имеется один элемент с одним из базисов х2 х3х4 , х1 х3х4 , х1х2 х4 , х1х2 х3, необходима декомпозиция, например вида

х1х2 х3х4 ,

а это два элемента с базисом х1х2 , х3х4 и один элемент

х1 х3х4 – всего три.

Легко видеть, что даже в случае наличия максимальных

ближайшее меньшее натуральное число. Естественно, в общем случае для различных абстрактных базисов будет иметь место, например, выражение

m ,r

где r – максимальное требуемое количество отказавших элементов для восстановления исходной функции.

Если из четырех отказавших элементов восстановится один, то добавка будет:

Pдоп =C156 e−9λt (1−e−λt )15−9 .

Это значит, что схема работоспособна и при шести отказах, т.е. новая формула минимальной ВБР будет иметь вид

+C1512e−12λt (1−e−λt )15−12 +C1513e−13λt (1−e−λt )15−13 +

+C1514e−14λt (1−e−λt )15−14 +C1515e−15λt (1−e−λt )15−15 +

Эта новая формула для необходимых четырех элементов для восстановления одного полного.

Если надо всего три, то «прибыток» будет больше. Когда откажут три элемента, схема работоспособна, а из этих трех отказавших восстанавливают один. Потом отказывают еще два – их недостаточно для восстановления. При шести отказах подключается восстановленный; если отказывает еще один (седьмой – не восстановленный, а нормальный), то те-

129

перь отказавших три и из них восстанавливается еще один, т.е. схема будет работать при семи отказах:

+C1512e−12λt (1−e−λt )15−12 +C1513e−13λt (1−e−λt )15−13 +

+C1514e−14λt (1−e−λt )15−14 +C1515e−15λt (1−e−λt )15−15 +

Количество «восстановленных» элементов (если для восстановления одного надо r отказавших) из количества m:

v= m .r

Например, m = 5; r = 4; v = 1, т.е. дополнительно можно парировать 6-й отказ.

1 ≤ w ≤ r −1. Остатки могут пригодиться в дальнейшем при последующих отказах элементов из количества n.

пользуется для парирования v1 дополнительных к m отказов. Например, m = 18; r = 4; v = 4. Значит, после отказа еще четырех элементов можно восстановить еще один элемент, т.е. еще дополнительных отказов будет парировано

mr v2 = r .

130