Надежность систем автоматизации

функция ИЛИ-НЕ х2 х2 сохранится при любом однократном

х2.1х1.2 х2.2 х1.3х2.3х1.4 х2.4 ,

что, очевидно, соответствует х2 х2 , поскольку переменные

х1.2 = х1.3 = х1.4 = х1 ; х2.1 = х2.2 = х2.3 = х2.4 = х2.

Рассмотрим формирование функций подключения шин «+», «0 вольт» для ФПТ-элемента, построенного на КМОПтранзисторах:

z+ = х1.1х2.1х1.2 х2.2 х1.3х2.3х1.4 х2.4 ,

z− = (x1.5 x2.5 x1.6 x2.6 ) (x1.7 x2.7 x1.8 x2.8 ).

111

При отказе одного транзистора, соответствующего одной из переменных, ортогональность подключения шин питания не нарушается:

z+ z− =(х1.1х2.1х1.2 х2.2 х1.3х2.3х1.4 х2.4 )

(x1.5 x2.5 x1.6 x2.6 )(x1.7 x2.7 x1.8 x2.8 ) =1.

При любом однократном отказе z+ = х1х2 , а z− = x1 x2.

Оценка вероятности безотказной работы

Зададим λо.тр – интенсивность отказов транзисторов, λсб.тр – интенсивность сбоев транзисторов, λв.в – интенсивность отказов входов-выходов. Тогда при экспоненциальной модели отказов получаем для обычного базисного элемента

p1 = e−(4λо.тр+4λсб.тр+3λв.в)t ,

для предлагаемого

p2 = e−(16λо.тр+16λсб.тр+12λв.в)t .

Пусть р – обобщенная вероятность отказа одного транзистора, тогда

Р1 = p4 , Р2 = р16 +16 р15 (1− р).

Сучетом возможности одного отказа либо в z+, либо

вz−, а также восьми случаев однократных отказов в z+ и одновременно восьми случаев однократных отказов в z− – еще 64 случая двукратных отказов:

Р2 = р16 +16 р15 (1− р) +64 р14 (1− р)2.

Кроме того, парируются и другие двукратные отказы. Так, в каждой конъюнкции (дизъюнкции) это C42 = 6 дву-

112

Рис. 4.17. Сравнительный анализ вероятности безотказной работы элемента ИЛИ-НЕ (P1) и элемента с сохраняемым базисом (P2)

кратных отказов, но берем лишь отказы «константа 1»

вконъюнкциях z+, «обнуляющие» одну из них, и отказы «константа 1» в дизъюнкциях z−, обращающие одну из них

вединицу, т.е. вместо шести всего половину – три случая. Получается еще 12 вариантов.

Р2 = р16 +16 р15 (1− р) +76 р14 (1− р)2.

График сравнительного анализа вероятности безотказной работы элемента ИЛИ-НЕ (P1) и элемента с сохраняемым базисом (P2) представлен на рис. 4.17.

113

4.4.6.Синтез структурной схемы надежности системы

всоответствии с методикой оптимального

резервирования на основе процедуры наискорейшего спуска*

Используется метод градиентного спуска [17, 18] – нахождение локального минимума (максимума) функции с помощью движения вдоль градиента. На каждом этапе поиск точки максимума производится вдоль «наилучшего» направления. Неясно, какое направление является «наилучшим», но известно, что направление градиента является направлением наискорейшего возрастания функции.

Пусть система включает в свой состав n ПдС. Известны значения вероятности безотказной работы Pi и стоимости Wi (где i = 1, …, n) каждой из ПдС. Имеются m методов повышения вероятности безотказной работы, например мажоритарное резервирование, резервирование замещением при нагруженном резерве («горячее»), при облегченном резерве («теплое»), при холодном резерве («холодное»). Кроме того, указаны ограничения на применения этих методов. Вариант

резервирования имеет вид вектора: (ki ,η); i =1,n; η=1,m.

Причем в общем случае этот вектор учитывает и сложность (стоимость и ВБР дополнительных устройств – мажоритарных схем, переключающих устройств и пр.).

Две постановки задачи оптимизации структурной схемы надежности системы выглядят следующим образом:

1.Найти (ki ,η) : Wc → min при Pc(t) ≥ Pcзад(t).

2.Найти (ki ,η) : Pc(t) → max при Wc ≤ Wcзад.

На 1-м этапе оптимизации по 1-му критерию добиваются выполнения условия Pi(t) ≥ Pcзад(t), т.е. ВБР каж-

дой из подсистем должна быть не хуже заданной. В ре-

* В написании подраздела принимал участие студет А.И. Хромченков.

114

n

зультате если получают ∏Pi (t) ≤ Рcзад(t), то приступают ко

i=1

2-му этапу оптимизации. Соответствующее резервирование берется за нулевое.

На 2-м этапе итеративно увеличивают резервы. Определение того, на каком участке необходимо добавить очередной резервный элемент, осуществляется итеративно по наибольшему приращению ВБР на единицу стоимости в соответствии с выражением для градиента [3, 4]

где j – номер итерации, начинающийся с 0. Это ССН, полученная на 1-м этапе.

Рассмотрим суть методики на примере 4.1. Пусть СА включает в свой состав пять ПдС. Известны значения вероятности безотказной работы Pi и стоимости Wi (где i = 1, …, 5) каждого из устройств. При синтезе оптимальной

всмысле критериев 1 и 2 ССН допускается:

–мажоритарное резервирование ПдС1 на начальном шаге оптимизации и резервирование замещением с нагруженным режимом работы элементов на других шагах (при необходимости возможна замена мажоритарного резервирования на резервирование замещением с нагруженным режимом работы элементов уже на начальном шаге либо использование МЭ трех из пяти);

–резервирование замещением с нагруженным режимом работы элементов для ПдС2, 3, 4;

–резервирование замещением с нагруженным либо ненагруженным режимом работы резервных элементов для ПдС5;

–ненадежностью и стоимостью мажоритарных элементов и переключающих устройств можно пренебречь.

Заданные значения ВБР подсистем: P1 = 0,9; P2 = 0,75;

P3 = 0,82; P4 = 0,8 и P5 = 0,9; их стоимости W1 = 16, W2 = 11,

115

W3 = 13, W4 = 12, W5 = 15 соответственно. Заданное значение ВБР системы Pcзад(t) = 0,94; заданное (допустимое) значение стоимости системы Wзад = 120.

Решение.

Вариант А. Найдем Wc → min при Pс (t ) ≥ Pсзад (t ).

Для начала проверим выполнение такого условия Pi (t ) ≥ Pсзад (t ) для каждого i от 1 до 5. Видно, что ни для од-

ного из участков системы это условие не выполняется, поэтому необходимо введение резервных элементов. На 1-м участке системы требуется использовать неадаптивное мажоритарное резервирование (два из трех):

P1 (t) = P3 +3P2 (1− P) =3P2 −2P3.

На остальных участках – резервирование замещением с нагруженным режимом работы резервных ПдС, т.е. P(t) =

=1−(1− P)2 – работает хотя бы один канал из двух. В резуль-

тате получим следующую структурную схему надежности системы (рис. 4.18).

МЭ

>=2

1 2 3 4 5

Рис. 4.18. ССН для 1-й попытки выполнения условия Pi (t) ≥ Pсзад(t) для каждого i от 1 до 5

Теперь еще раз проверим выполнение условия Pi (t) ≥ Pсзад(t), рассчитав значение ВБР на каждом участке:

P1(t) =3P12 −2P13 = 0,972 > Pсзад(t);

116

P2 (t) =1−(1− P2 )2 = 0,9375 < Pсзад(t); P3 (t) =1−(1− P3 )2 = 0,9676 > Pсзад(t); P4 (t) =1−(1− P4 )2 = 0,96 > Pсзад(t); P5 (t) =1−(1− P5 )2 = 0,99 > Pсзад(t).

Условие не выполняется для 2-го участка, значит, введем на нем еще один резервный элемент (рис. 4.19).

Рис. 4.19. ССН для 2-й попытки выполнения условия Pi (t) ≥ Pсзад(t) для каждого i от 1 до 5

Получим

P1(t) =3P12 −2P13 = 0,972 > Pсзад(t); P2 (t) =1−(1− P2 )3 = 0,9844 > Pсзад(t); P3 (t) =1−(1− P3 )2 = 0,9676 > Pсзад(t); P4 (t) =1−(1− P4 )2 = 0,96 > Pсзад(t); P5 (t) =1−(1− P5 )2 = 0,99 > Pсзад(t).

Найдем ВБР системы и ее стоимость на 0-м шаге (для j = 0):

Pс0 = 0,972·0,9844·0,9676·0,96·0,99 = 0,8799 < Pсзад(t),

Wс0 = 3·16 + 3·11 + 2(13 + 12 + 15) = 161.

117

Теперь, когда каждая ПдС обладает ВБР, не меньшей заданной, начнем увеличивать ВБР всей системы.

Попробуем увеличить ВБР для 1-й подсистемы. Поскольку разрешено использовать неадаптивное мажоритарное резервирование, то теперь придется вводить пять каналов и осуществлять выбор трех из пяти:

P11(t) = P5 +5P4 (1− P) +10P3 (1− P)2.

На остальных участках – резервирование замещением с нагруженным режимом работы резервных подсистем, т.е.

Pi1(t) =1−(1− Pi )n – работает хотя бы один канал из имеющихся. Получим

P11(t) = P5 +5P4 (1− P) +10P3 (1− P)2 = 0,991 44; P2 (t) =1−(1− P2 )4 = 0,996;

P3 (t) =1−(1− P3 )3 =0,994; P4 (t) =1−(1− P4 )3 =0,992; P5 (t) =1−(1− P5 )3 =0,999.

Сведем расчеты в таблицу 1-й итерации (табл. 4.2). Исходное: 0-й шаг. Каналы: 3,3,2,2,2. Вводим еще один канал на каждом участке, а на 1-м – еще два. Получаем 5,4,3,3,3.

Получим градиенты (табл. 4.3) – определяем наиболее выигрышный участок.

118

(δ1i )* = δ14 , значит, очередной элемент надо добавить на

4-м участке. Следовательно, ССН для шага j = 1 будет иметь вид, показанный на рис. 4.20.

МЭ

>=2

1 2 3 4 5

Рис. 4.20. ССН для 1-й итерации увеличения ВБР (вариант А)

Pс1 = 0,972·0,9844·0,9676·0,992·0,99 = 0,909 < Pсзад(t);

Wс1 = Wс0 + W4 = 173,

т.е. увеличиваем резерв только на 4-м участке, остальные без изменений.

2-я итерация (табл. 4.4). Исходное: 1-й шаг – увеличиваем резерв только на 4-м участке, остальное без изменений. Каналы: 3,3,2,3,2. 2-й шаг – опять увеличиваем резервы, в том числе и на 4-м. Получаем 5,4,3,4,3.

Определяем наиболее выигрышный участок для 2-й итерации (табл. 4.5).

(δi2 )* = δ32. Очередной элемент добавим на 3-м участке.

Следовательно, ССН для шага j = 2 будет иметь вид, представленный на рис. 4.21.

МЭ

>=2

1 2 3 4 5

Рис. 4.21. ССН для 2-й итерации увеличения ВБР (вариант А)

Pс2 = 0,972·0,9844·0,994·0,992·0,99 = 0,934 < Pсзад(t), Wс2 = Wс1 + W3 =186,

т.е. увеличиваем резерв только на 3-м участке, остальные без изменений.

3-я итерация (табл. 4.6). Исходное: 2-й шаг – увеличиваем резерв только на 3-м участке, остальное без изменений. Каналы: 3,3,3,3,2. 3-й шаг – опять увеличиваем резервы, в том числе и на 3-м. Получаем 5,4,4,4,3.

120