Надежность систем автоматизации
..pdf1.5. Показатели надежности невосстанавливаемых объектов
Эти показатели также описаны в ГОСТе. Рассмотрим показатели безотказности.
Вероятность безотказной работы (reliability function, survival function) – вероятность того, что в пределах заданной наработки отказ объекта не возникнет.
Обычно обозначается Р(t). Если ввести вероятность от-
каза Q(t), то Р(t) = 1 – Q(t).
Гамма-процентная наработка до отказа (gammapercentile operating time to failure) – наработка, в течение ко-
торой отказ объекта не возникнет с вероятностью g, выраженной в процентах.
Средняя наработка до отказа (mean operating time to failure) – математическое ожидание наработки объекта до 1-го отказа.
Средняя наработка на отказ (mean operating time between failures) – отношение суммарной наработки восстанавливаемого объекта к математическому ожиданию числа его отказов в течение этой наработки.
Интенсивность отказов (failure rate) – условная плот-
ность вероятности возникновения отказа объекта, определяемая при условии, что до рассматриваемого момента времени отказ не возник. Обычно обозначается λ(t).
Параметр потока отказов (failure intensity) – отноше-
ние математического ожидания числа отказов восстанавливаемого объекта за достаточно малую его наработку к значению этой наработки.
Осредненный параметр потока отказов (mean failure intensity) – отношение математического ожидания числа отказов восстанавливаемого объекта за конечную наработку к значению этой наработки.
21
Все показатели безотказности (как приводимые ниже другие показатели надежности) определены как вероятностные характеристики. Их статистические аналоги определяют методами математической статистики.
Расчет надежности – это расчет, предназначенный для определения количественных показателей надежности.
На этапе проектирования расчет надежности проводится с целью прогнозирования надежности работы проектируемой системы.
На этапе испытаний и эксплуатации расчет надежности проводится для оценки количественных показателей надежности спроектированной системы. При этом используется математический аппарат теории вероятностей.
1.6. Теория вероятностей
Теория вероятностей – математическая основа теории надежности.
Случайное событие – событие, которое может появиться или не появиться в результате данного опыта. Вероятность случайного события (количественная характеристика случайного события) – теоретическая частота событий, около которой имеет тенденцию стабилизироваться действительная частота события при многократном повторении опыта в данных условиях.
Случайная величина – величина, которая в результате опыта может принимать то или иное значение (заранее не известно, какое именно).
Примеры случайных событий в теории надежности:
– событие, заключающееся в том, что на интервале времени от 0 до t объект непрерывно находится в работоспособном состоянии; вероятность такого события P(t);
22
–событие, заключающееся в том, что на интервале времени от 0 до t объект может перейти в состояние отказа, вероятность такого события Q(t);
–событие, заключающееся в том, что работоспособное
кмоменту времени t изделие перейдет за время ∆t из состояния работоспособного (1) в состояние отказа (2), вероятность такого события
P(t + ∆t) = P(t)P1→2(∆t).
Примеры случайных величин:
–количество отказавших объектов в некоторый момент времени;
–время работы до отказа некоторого объекта. Случайная величина может быть либо дискретной (число
отказов за время t, число отказавших изделий при испытаниях заданного объема), либо непрерывной (время работы изделия до отказа, время восстановления работоспособности).
В случае дискретной случайной величины пространство исходов эксперимента конечно. В случае непрерывной случайной величины пространство исходов содержит бесконечное множество точек. В этом случае вероятность некоторого события близка к 0. Поэтому используются два вида распределения непрерывной случайной величины, называемые
функцией распределения вероятностей и плотностью распределения вероятностей.
Функция распределения вероятностей F(х) – вероятность Р того, что случайная величина z не превзойдет данного х:
F(х) = Р(–∞ < z ≤ х).
Функция наработки на отказ: если случайная величина – наработка до отказа t, то вероятность того, что t меньше заданного значения tз, равна вероятности возникновения отказа на интервале от 0 до tз:
23
F(tз) = P(t < tз) = Q(t).
Функция надежности – это вероятность того, что на интервале времени от 0 до tз не возникает отказа; определяют по формуле
P(tз) = P(t ≥ tз) = 1 – Q(t),
где P(tз) – функция надежности.
Плотность распределения вероятностей f(х). Зная функцию распределения вероятностей, можно подсчитать вероятность того, что значение случайной величины будет лежать внутри малого интервала от х до ∆х. Эта вероятность называется плотностью распределения вероятностей f(х):
f (x) = |
dF(x) |
, |
F(x) = ∫x |
f (x)dx. |
|
dx |
|||||
|
|
−∞ |
|
||
|
|
|
|
Вероятностные показатели, определяющие характер распределения случайной величины, называются параметрами законов распределения. Это математическое ожидание (среднее значение случайной величины)
∞
M (x) = ∫ xf (x)dx.
−∞
Статистическое определение:
n
∑xi
M (x) = i=1n .
Дисперсия
∞
D(x) = ∫ [X −M (x)]2 f (x)dx,
−∞
24
|
|
n |
|
|
|
D |
(x) = |
∑[xi −M (x)]2 |
|
||
i=1 |
|
|
. |
||
|
n |
||||
|
|
|
|
||
Дисперсия среднего значения |
|
||||
|
D[M (x)] = |
D(x) |
. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
n |
|
|
1.7.Статистическое определение показателей надежности
невосстанавливаемых объектов
Технические системы, их подсистемы и элементы систем могут работать в режиме, когда восстановление со стороны ремонтного персонала возможно, и в режиме, когда это невозможно либо нецелесообразно. Поэтому для восстанавливаемых и для невосстанавливаемых элементов и систем применяются различные показатели надежности и различные методы расчета надежности. Рассмотрим показатели надежности невосстанавливаемых объектов.
Итак, вероятность безотказной работы (ВБР) объекта P(t) выражает вероятность того, что невосстанавливаемый объект не откажет к моменту времени t. Если F(t) – функция наработки на отказ, а ее традиционно обозначают Q(t) и называют вероятностью отказа, то P(t) = 1 – F(t) = 1 – Q(t).
P(t) обладает следующими свойствами:
– P(0) = 1 (предполагается, что до начала работы изделие является безусловно работоспособным);
– lim P(t) = 0 (предполагается, что объект не может со-
t→∞
хранить свою работоспособность неограниченно долго);
– если t2 > t1, то P(t2 ) ≤ P(t1 ) (ВБР – функция невозрастающая).
25
1. Статистически определить P(t) по результатам испытаний можно с помощью следующей формулы:
P(t) = |
N(t) |
=1− |
n(t) |
= |
N (0) −n(t) |
, |
|
N (0) |
N (0) |
N(0) |
|||||
|
|
|
|
где N(t) – число исправных объектов в момент времени t; n(t) – число отказавших объектов к моменту времени t.
2. ВБР в интервале времени от t1 до t2
P(t1,t2 ) = |
P(t2 ) |
, P |
(t1,t2 ) = |
N (t2 ) |
. |
|
P(t1 ) |
N (t1 ) |
|||||
|
|
|
|
3. Вероятность отказа Q(t) выражает вероятность того, что невосстанавливаемый объект откажет к моменту времени t:
|
n(t) |
|
|
n(t) |
|
|
Q(t) = F(t) =1− P(t), Q(t) = |
|
, |
Q(t) = |
|
. |
|
N (t) |
N (t) |
|||||
|
|
|
|
4. Вероятность отказа в интервале времени от t1 до t2
Q(t1,t2 ) =1− P(t1,t2 ),
Q(t1,t2 ) = |
n(t2 ) −n(t1 ) |
=1 |
− |
N (t2 ) |
= |
N (t1 ) − N (t2 ) |
= |
||
|
N (t1 ) |
N (t1 ) |
|
N (t1 ) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
= |
N (0) − N(0) + N (t1 ) − N (t2 ) |
. |
|
|||||
|
|
N |
(t1 ) |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
5. Плотность распределения отказов f (t) определяет вероятность возникновения отказа в момент времени t:
f (t) = dFdt(t) = dQdt(t) = −ddt P(t).
Статистическая оценка f (t) производится за интервал времени ∆t, так как функция f (t) является дифференциальной:
26
f(t+∆t ) (t) = |
n(t +∆t) −n(t) |
= |
N (0) − N(0) +n(t +∆t) −n(t) |
= |
||
|
|
N (0)∆t |
||||
|
N (0)∆t |
|
|
|
|
|
= |
N(t) − N(t +∆t) |
. |
|
|||
|
|
|||||
|
|
|
N(0)∆t |
|
||
f (t) можно рассматривать как среднее число отказов
в единицу времени непосредственно после момента t, приходящееся на один элемент из всех объектов, поставленных на испытания. В связи с этим f (t) на практике обычно называют частотой отказов.
6. Интенсивность отказов λ(t) определяет вероятность возникновения отказа в момент времени t с учетом числа объектов, работоспособных к моменту времени t:
λ(t) = |
|
|
|
1 |
|
|
d |
F(t) = |
f (t) |
, |
|
|
||
1 |
|
|
|
|
|
P(t) |
|
|
||||||
|
− F(t) dt |
|
|
|
||||||||||
λ(t +∆t) = |
|
|
n(t +∆t) −n(t) |
|
|
. |
||||||||
N (t) + N(t +∆t) |
∆t |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
λ(t) можно рассматривать как среднее число отказов
в единицу времени непосредственно после момента t, приходящееся на один элемент, из всех объектов, продолжающих работать к этому моменту t. Отсюда видно, что λ(t) характеризует надежность объекта в момент t, этим и объясняется более широкое применение на практике этого показателя. Это выражение получили следующим образом:
|
f(t+∆t ) (t) = n(t +∆t) −n(t) , |
|
||||
|
|
|
N (0)∆t |
|
|
|
Но |
|
|
|
|
|
|
P(t +∆t) = |
N(t +∆t) |
=1 |
− n(t +∆t) = |
N(0) −n(t +∆t) |
, |
|
N (0) |
N(0) |
|||||
|
|
N (0) |
|
|||
|
|
|
27 |
|
|
|
Тогда
λ(t +∆t)
λ(t +∆t) =
λ(t
= |
[n(t +∆t) −n(t)]N(0) |
, |
|
N(0)∆t[N (0) −n(t +∆t)] |
|
||
|
|
|
|
|
n(t +∆t) −n(t) |
|
, |
∆t[N (0) −{N (0) − N (t +∆t)}] |
|||
+∆t) = n(t +∆t) −n(t) . ∆t[N (t +∆t)]
Чаще используют среднее число работоспособных изделий в интервале Nср(∆t) – среднее число исправных изделий в интервал времени (∆t).
Nср =
поэтому
λ(t +∆t) =
N(t) + N (t +∆t) |
, |
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|
|
n(t +∆t) −n(t) |
|||
|
|
. |
||
N (t) + N(t +∆t) |
|
|||
|
|
|
∆t |
|
2 |
|
|||
|
|
|
||
7. Среднее время наработки на отказ T определяется как математическое ожидание времени до отказа:
∞ |
|
∞ |
|
T = ∫tf (t)dt = ∫P(t)dt, |
|||
0 |
|
0 |
|
|
1 |
N (0) |
|
T = |
∑ Ti . |
||
N (0) |
|||
|
i=1 |
||
8. Дисперсия наработки до отказа Dt. Средняя наработка до отказа является точечной оценкой и не говорит ничего о характере времени до отказа. Две совершенно различные функции P1(t) и P2(t) (рис. 2.1) могут характеризоваться одинаковыми значениями средней наработки на отказ Т1 = Т2.
28
Чтобы различать такие случаи, наряду с показателем Т используется показатель Dt – дисперсия наработки до отказа (среднеквадратическое отклонение наработки до отказа
σt = Dt ).
|
∞ |
|
||
Dt = σt2 = ∫(t −T ) f (t)dt. |
||||
|
0 |
|
||
|
1 |
|
N (0) |
|
Dt = |
|
∑ (Ti −T )2. |
||
N (0) |
||||
|
i=1 |
|||
Мы не упомянули вероятность сбоев. Вероятность бессбойной работы Рсб(t) – это вероятность того, что в заданном интервале времени t будет отсутствовать сбой в изделии:
Рсб(t) = 1 – Qсб(t),
где Qсб(t) – функция распределения сбоев в течение времени t.
1.8.Пример статистического определения показателей надежности невосстанавливаемых объектов
Рассмотрим пример статистического определения показателей надежности: P(t), Q(t), f (t), λ(t), T , σt .
Пусть на испытания было поставлено 35 объектов [4]. Количество отказавших объектов подсчитывали каждые 2 ч. В результате получился следующий ряд значений:
ti |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
12 |
14 |
16 |
18 |
20 |
n(ti) 0 |
3 |
3 |
5 |
8 |
7 |
6 |
2 |
1 |
0 |
|
Определим F (ti ) – интегральную функцию распределения до отказа:
29
ti |
2 |
4 |
6 |
8 |
|
10 |
12 |
14 |
16 |
18 |
20 |
F (ti ) |
0 |
3/35 6/35 11/35 19/35 26/35 32/35 34/35 35/35 35/35 |
|||||||||
Вероятность отказа Q(ti ) = F (ti ): |
|
|
|
|
|||||||
ti |
2 |
4 |
|
6 |
8 |
10 |
12 |
14 |
16 |
18 |
20 |
Q(ti ) 0 0,086 0,172 0,314 0,534 0,743 0,914 0,971 1,00 1,00
ВБР P(ti ) =1− F (ti ):
ti |
2 |
|
4 |
6 |
8 |
|
10 |
12 |
14 |
16 |
18 |
20 |
||||
P(ti ) |
1 |
0,914 0,828 0,686 0,466 0,257 0,086 0,029 |
0 |
0 |
||||||||||||
ВБР на интервале от 4 до 12 ч |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
P |
(4,12) = |
1− F(12) |
= |
|
P(12) |
= |
0,257 |
= 0,28. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
|
0,914 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
− F(4) |
|
|
P(4) |
|
|
|
|
|
|||
Вероятность отказа на интервале от 4 до 12 ч
Q(4, 12) =1− P(4, 12) =1−0,28 = 0,72.
Плотность распределения отказов f (ti ) = ∆n(t +∆t) :
N(0)∆t
ti |
2 4 |
6 |
8 |
10 |
12 |
14 |
16 |
|
18 |
||||||||||
f (ti ) |
0 |
3 |
3 |
5 |
8 |
7 |
6 |
2 |
|
1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
35 2 |
|
35 2 |
|
35 2 |
|
35 2 |
|
35 2 |
|
35 2 |
|
35 2 |
|
35 2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∆n(t +∆t) |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N (t) + N (t +∆t) |
|
||||||||
Интенсивность отказов λ(ti ) = |
|
∆t : |
|||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20
0
30