Надежность систем автоматизации

6.3. Расчет количества ЗИП

Количество запасных частей зависит от интенсивности отказов, времени пополнения ЗИП (tп), требуемой его достаточности (Kд), организации снабжения и степени восстановления. Рассмотрим методику расчета ЗИП [4].

Для пуассоновского потока отказов вероятность числа отказов n

Pn (t) = (λnt!)n e−λt .

Вероятность того, что число отказов за время t будет не больше m,

Вероятность того, что число отказов за время t будет больше m,

Pn>m (t) =1− Pn≤m (t).

Если в ЗИП имеется два элемента, а вероятность того, что за время tп произойдет больше двух отказов, равна 0,1, то это означает, что достаточность ЗИП равна 0,9 (Kд = 0,9), а недостаточность равна 0,1 (Kн/д = 0,1). Kд ЗИП задается обычно равной 0,9–0,99.

Рассмотрим расчет числа запасных изделий для случая, когда отказавшие изделия не ремонтируются.

Организация ЗИП в данном случае реализуется по такой схеме. Неисправное комплектующее изделие заменяется исправным из ЗИП. Работоспособность его не восстанавливается. В ЗИП должно постоянно находиться такое число запасных частей, которое обеспечивает с заданной вероятностью достаточности (Kд) ЗИП потребность их для заданного интервала времени (tп).

161

Исходными данными для расчета числа запасных частей являются:

–интенсивность отказов заменяемого изделия – λо;

–число заменяемых изделий в основном изделии – n;

–время пополнения ЗИП – tп;

–вероятность достаточности ЗИП – Kд.

Далее по формуле Pn≤m (t) определяется Kд для различ-

ных значений числа запасных элементов в ЗИП, начиная с m = 0.

Как только коэффициент достаточности Kд превысит заданный, вычисления оканчиваются и последнее m берется в качестве рассчитанной цифры.

Пример 6.2 [4]. Определить число запасных типовых элементов замены (ТЭЗ), если известно, что λо = 5 10–6 1/ч, Kд = 0,9…0,99, tп = 5000 ч, число ТЭЗ в аппаратуре равно 60.

2!

при m = 3

162

Pn≤3 = Pn≤2 + P3 (tп ) = 0,809 + (1,5)3! 3 e−1,5 = 0,935 > 0,9

(для Kд = 0,9 достаточно иметь в ЗИП три ТЭЗ); при m = 4

(для Kд = 0,99 достаточно иметь в ЗИП пять ТЭЗ).

Расчет для восстанавливаемых элементов

Отказ элемента происходит с интенсивностью λо. Отказавший элемент ремонтируется и поступает на пополнение в ЗИП. Время пополнения tп теперь равно среднему времени ремонта, т.е., как правило, tп существенно уменьшается. Методика расчета при этом та же, что и в предыдущем случае, только в конце берется значение m + 1 (с учетом ремонтируемого ТЭЗ).

Решим предыдущую задачу при условии, что ТЭЗ ремонтируется, время ремонта tрем = 12 ч:

λΣ = 3 10−4 (1/ч);

λΣtп = λΣtрем = 3 12 10−4 = 3,6 10−3;

Pn≤0 = 0,996 > 0,99.

Поскольку вероятность того, что за время ремонта не произойдет отказа, больше достаточности Kд, то в ЗИП достаточно иметь один ТЭЗ.

163

7. ПРОСТЕЙШИЕ МЕТОДЫ ПОИСКА ДЕФЕКТОВ (ОТКАЗОВ)

Большое значение для повышения надежности систем с восстановлением имеет уменьшение времени обнаружения, локализации и замены компонентов. Рассмотрим простейшие целесообразные методы поиска дефектов (отказов).

7.1. Оценка алгоритмов поиска дефектов по стоимости проверок

Под стоимостью проверок можно понимать:

1.Число проверок N:

– минимальное Nmin ;

– максимальное Nmax ;

– среднее Ncp.

2.Время (трудоемкость) выполнения проверок ti (i-й

проверки), общее время проверок t:

–минимальное tmin ;

–максимальное tmax ;

–среднее tcp.

3. Собственно стоимость отдельных проверок ci (i-й

проверки), полные затраты на проверки С в денежном выражении:

–минимальные полные затраты Сmin ;

–максимальные Сmax ;

–средние Сcp.

Рассмотрим объект диагностирования, имеющий n компонентов. Введем допущения:

–в объекте возник один дефект;

–в процессе поиска новые дефекты не возникают;

164

– вероятности отказов компонентов qi составляют пол-

n

ную группу событий, т.е. ∑qi =1, где qi – приведенная (от-

i=1

носительная) вероятность отказа i-го компонента, т.е.

где λi , ti – соответственно интенсивность отказов и время

работы i-го компонента при экспоненциальной модели отказов.

Легко видеть, что среднее число проверок зависит от вероятностей отказов компонентов и выбранной последовательности проверок. Допустим, компоненты проверяются по одному.

Вероятность обнаружения дефекта будет соответствовать вероятности отказа компонента. Тогда в q1 случаях де-

фект будет обнаружен при 1-й проверке (индексация компонентов соответствует номеру проверки).

В q2 случаях дефект будет обнаружен при 2-й проверке (при проверке 2-го компонента).

В qn–1 случаях дефект будет обнаружен после проверки

предпоследнего компонента. Поскольку последний компонент не проверяется, то это значит, что отказ именно в нем (таково допущение) и его вероятность отказа прибавляется к вероятности отказа предпоследнего. Таким образом:

n–1

Ncp =1 q1 +2 q2 +3 q3 +....+(n −1)(qn−1 +qn ) = ∑iqi +(n −1)qn.

i=1

В этом случае

Nmin =1; Nmax = n −1, а изменение последовательности проверок изменяет Ncp.

165

Каждая проверка характеризуется переменными ti ; (ci ); qi . Поэтому, как нетрудно понять, 1-ми должны проверяться компоненты, обладающие большими значениями qi

и меньшими ti ; (ci ).

Изменим, например, порядок проверок 1 и 2:

n–1

t* =t q +(t +t )q +...+(q − +q )∑t .

cp 2 2 2 1 1 n 1 n j j=1

Тогда ∆t =tcp −t*cp = t1q1 +(t1 +t2 )q2 −t2q2 −(t2 +t1 )q1 =

=t1q2 −t2q1. 1-я последовательность предпочтительней, если

∆t < 0, т.е.:

Таким образом, можно упорядочить проверки

Тогда получим алгоритм поиска дефектов, математическое ожидание времени которого минимально. При этом если после n – 1 проверки дефект не обнаружен, то за дефектный принимают последний – непроверенный и не проверяют его.

7.2. Основные методы построения алгоритмов поиска дефектов (отказов)

7.2.1.Метод случайного выбора проверок

Вэтом случае данные о надежности, продолжительности, стоимости проверок отсутствуют или одинаковы. При

7.2.2. Метод возрастающей продолжительности (трудоемкости)

В этом случае известна лишь продолжительность проверок. Поэтому их очередность устанавливается в порядке возрастания (не убывания) этого параметра:

t1 <t2 < ... < tn−1;

168

tcp = 1n [t1n +t2 (n −1) +...+tn−12].

При этом среднее число проверок может оставаться таким же, как при случайном выборе, а средняя продолжительность становится заметно меньше. Такой метод может считаться простейшим рациональным методом поиска дефектов.

7.2.3. Метод проверок слабых компонентов

Если имеются данные о вероятностях отказов компонентов, то наименьшему среднему числу проверок будет соответствовать последовательность проверок по убывающему ряду вероятностей отказов:

p1 > p2 > ... > pn−1.

Проверке должны подвергаться вначале наиболее слабые компоненты. При этом среднее число проверок заметно уменьшается по сравнению со случайным выбором и тем заметней, чем больше компонентов и больше различаются их вероятности отказов.

7.2.4. Метод «время – вероятность»

Если имеются данные о вероятностях отказов компонентов и продолжительности проверок, целесообразно строить последовательность проверок в соответствии с отношением

При этом достигается минимальное среднее время проверок.

169

7.2.5. Метод половинного разбиения

Иногда возможно проверять компоненты не по одному, а группой. Например, наличие тока через последовательную цепь для обнаружения обрыва или замена сразу группы блоков, плат. Количество компонентов n можно выразить так:

n = 2m +r,

где r – «остаток» до соответствующей степени числа 2 (n −r = 2m ). Например, при n = 5 m = 2, r = 1. Построим дерево проверок для n = 5 (рис. 7.2).

Рис. 7.2. Половинное разбиение системы из пяти элементов

Минимальное количество проверок Nmin = 2 = m.

стояний (при n = 5 три состояния).

170