Методы идентификации систем
..pdfФедеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Пермский государственный технический университет»
Т.С. Леготкина
МЕТОДЫ
ИДЕНТИФИКАЦИИ
СИСТЕМ
Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия
Издательство Пермского государственного технического университета
2008
УДК 681.51.015(075.8) ЛЗЗ
Рецензенты:
президент Пермского регионального общественного отделения «Западно-Уральская академия информациологии» общественной организации «Международная академия информатизации»
академик В.В. Белоусов; канд. техн. наук, доцент Ю.Н. Хижняков
(Пермский государственный технический университет)
Леготкина, Т.С.
ЛЗЗ Методы идентификации систем: учеб, пособие / Т.С. Леготкина. ~ Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2008. - 123 с.
ISBN 978-5-398-00136-5
1 Представлен материал основных тем дисциплины «Идентификация систем управления». Рассмотрены основные понятия теории идентификации, включаю щей теорию задачи структурной и параметрической идентификации статических и динамических систем. Большое внимание уделено идентификации с помощью пробных входных сигналов, а также статистическим методам идентификации. Приведены методы идентификации по экспериментальным данным. Для облегче ния восприятия материала даны примеры
Предназначено для студентов специальности 220201 «Управление и инфор матика в технических системах», а также для студентов других специальностей, изучающих аналогичные вопросы.
УДК 681.51.015(075.8)
ISBN 978-5-398-00136-5 |
© ГОУ ВПО |
|
«Пермский государственный |
|
технический университет», 2008 |
ВВЕДЕНИЕ
В последнее время в связи с предъявлением все более высоких тре бований к системам управления в различных областях техники проблема идентификации становится исключительно важной. Нельзя обеспечить ка чественное управление системой, если ее математическая модель не из вестна с достаточной точностью. Для построения математической модели могут быть использованы как теоретические, так и экспериментальные ме тоды. Как показывает опыт, нельзя построить математическую модель, адекватную реальной системе, только на основе теоретических исследова ний физических процессов в системе. Поэтому в процессе проектирования систем управления одновременно с теоретическими исследованиями про водятся эксперименты с целью уточнения математической модели систе мы. По мере накопления информации модель системы уточняется, и для ее идентификации на каждом этапе требуются соответствующие методы.
Методы определения математических моделей по результатам экс периментальных исследований являются предметом теории идентифика ции. В зависимости от объема информации о системе различают задачи идентификации в широком и узком смысле. При решении задачи иденти фикации в широком смысле (структурная идентификация) априорная ин формация об объекте незначительна и решение дополняется рядом других задач о выборе рациональной структуры модели, класса модели и др. При решении задач идентификации в узком смысле (параметрическая иденти фикация) считается, что структура известна, и необходимо определить па раметры модели объекта (системы). Однако после исследования получен ной модели объекта может случиться, что модель плохо описывает экспе риментальные данные, в результате процесс идентификации необходимо повторить с моделью другой структуры.
При экспериментальном определении параметров модели необходи мо обеспечить подбор адекватной структуры модели и выбор такого вход ного сигнала, с помощью которого по результатам эксперимента можно было бы найти оценки всех параметров модели.
Таким образом, идентификация - многоэтапная процедура, которая содержит следующие этапы:
•структурная идентификация - определение рациональной структуры математической модели на основе теоретических соображений;
•параметрическая идентификация - проведение идентифицирующего эксперимента и определение оценок параметров модели по экспери ментальным данным;
•проверка адекватности - проверка качества модели по критерию
близости выходов модели и объекта.
Методическое пособие состоит из 10 глав. Первые три главы посвя щены задачам структурной идентификации. В главах 4 и 5 рассматривают-
ся методы с использованием специальных входных сигналов и статистиче ские методы с использованием корреляционных функций. В главах 6, 7 описаны регрессионные методы и методы, построенные по рекуррентным соотношениям, наиболее приспособленные для использования вычисли тельной техники. В главах 8, 9 и 10 рассмотрены метод квазнлинеаризации для непрерывных и дискретных систем, идентификация с использованием прогноза и эвристические методы. Все рассмотренные методы сопровож даются достаточным количеством задач с подробными решениями. На ос нове методов, описанных в главах 4, 5, поставлены лабораторные работы с использованием пакета «Генератор заданий».
1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Задача идентификации как задача определения (оценивания) пара метров и структуры объекта возникает в двух случаях:
-в процессах познания при построении познавательных моделей объектов и явлений;
-в процессах управления, связанных с целенаправленным изменени ем объекта, т.е. с достижением целей, поставленных человеком.
1.В процессах познания объект идентифицируют как бы «прозапас».
Создается его познавательная модель, отражающая в необходимой мере ме ханизм функционирования объекта. Объяснение феноменов природы, их взаимная увязка и т. д. - основные за дачи идентификации этого рода (рис. 1.1).
Yi =F0(Xi).
Задача идентификации - построение модельного оператора F, т.е. определение оценки для FQпо наблюдениям Xtи У,. Естественно требовать соответствия F ~ F Q.
2. Идентификация в процессах управления. В процессе идентифик ции должна быть создана модель, которая, прежде всего, обязана удовле творять потребностям управления.
Под управлением будем понимать процесс такого целенаправленно го воздействия на объект, в результате которого объект оказывается в оп ределенном смысле «ближе» к выполнению поставленных целей, чем до управления (рис. 1.2).
среда
Рис. 1.2. Процесс управления
Обозначим:
х' - управляемая составляющая воздействия среды; х" - не управляемая составляющая, но контролируемая;
Y - информация о состоянии объекта, доступная управляющему устройству, Г составляет липы, часть Y (Y с У);
Г - цель, т.е. то, что должно быть обеспечено управляющим устрой ством;
А - алгоритм управления.
Таким образом, управление реализуется четверкой <х\1,А,Т>, где
I = <х',Y' > - информация о состоянии среды и объекта; х', /, А зависят от объекта управления и могут быть определены полностью лишь при нали чии модели объекта.
Цель Т определяет требования, выполнение которых обеспечивается организацией управляющего воздействия х' с помощью алгоритма А и сбо ром информации по каналу Y Не зная как х1и х” влияют на состояние Г, т.е. не имея модели Y '= f ( x \ x n), нельзя определить х' для достижения
цели Т.
Алгоритм А, естественно, зависит от объекта (более того, в сложных случаях он должен включать в себя эту модель). Организация каналов свя зи управляющего устройства с объектом существенно подчиняется струк туре объекта. Поэтому синтез системы управления невозможен без модели объекта.
В процессе функционирования системы управления модель объекта также необходима. Она позволяет экстраполировать поведение и опреде лять наиболее эффективные воздействия на объект управления с точки зрения поставленной цели Т.
Дрейф характеристик объекта не избежен в каждой реальной системе (иногда меняет не только параметры, но и структуру). Т.е. прежде чем синтези ровать управление, необходимо откор ректировать модель, т.е. снова иденти фицировать объект. Это реализуется
в |
двухэтапной |
схеме |
управления |
(рис. 1.3). |
|
|
|
Рис. 1.3. Схема управления |
На этапе идентификации синтези |
||
руется модель |
объекта. Этап иденти |
||
фикации сменяется этапом управления, где для синтеза управления х! ис пользуется модель, полученная на предыдущем этапе. На первом этапе це лью является синтез адекватной модели, а на втором - синтез управления на основе этой модели.
Ометодах теории и практики идентификации
Взависимости от объекта подбирается и метод.
1.Простейшие объекты - статические нестохастические объекты (т.е. описываемые регулярными функциями, связывающими вход и выход объекта).
Метод идентификации - приближение функций многочленами. Та кая теория имеет две ветви - теорию аппроксимации и теорию интерпо ляции.
2.Статические стохастические объекты.
Для идентификации стохастических объектов применяются методы математической статистики. Основной задачей является оценка парамет ров статического объекта по наблюдениям в обстановке случайных помех. Другим направлением математической статистики для целей идентифика ции статических стохастических объектов является теория планирования эксперимента.
3. Динамические объекты.
Для идентификации используются методы теории систем автомати ческого управления. Эта теория породила методы идентификации динами ческих объектов управления в режиме нормальной эксплуатации (т.е. в об становке случайных возмущений и помех).
Проблема идентификации складывается из многих аспектов и для своего решения требует ответов на вопросы:
-что называть объектом идентификации? (каковы общие черты мо
дели);
-какова задача идентификации, ее особенности;
-как связать идентификацию с управлением;
-как определить эффективность процедуры идентификации, т.е. что называть плохой, а что - хорошей идентификацией?
Объект удобно изображать в виде многополюсника (рис. 1.4). На рис. 1.4 использованы сле
дующие обозначения:
*ь . . хп- наблюдаемые входы; е\, ..., ек - ненаблюдаемые входы; у 1, .• ут- наблюдаемые выходы. Многомерный объект описывают
в векторной форме:
е\ ек
У1
* л |
Ут |
Рис. 1.4. Представление
* = (* ь |
объекта |
У -(У \ , ■■;УтУ, |
|
£ = (еь |
е*). |
Все входы объекта представляют собой воздействие внешней среды на объект и являются какими-то определенными функциями состояния среды и времени.
Так как отсутствует модель среды, то входы объекта естественно рассматривать как случайные функции времени, т.е. X = Я(г), Е =E(t\ ста тистические свойства которых в общем случае неизвестны. Однако извест ны наблюдения входа и выхода объекта X(t) и Y(t) в непрерывной или дис кретной форме.
E(t) предполагается случайной функцией (например, нормальный случайный процесс). Объект связывает входы с выходом некоторым ап риори оператором F0: F = Fo(X, Е).
Однако идентифицируется не F0, а оператор F, связывающий наблю даемые входы и выходы: Y = F(X).
Ненаблюдаемый фактор E{t) рассматривается как случайная помеха, затрудняющая определение оператора F.
Сведения об объекте.
Все сведения об объекте подразделяются на два вида: априорные А (до наблюдения) и апостериорные В (после наблюдения), поэтому двойка <Л, В> характеризует всю информацию об объекте.
Априорная информация должна ответить на вопрос: что представляет собой структура идентифицируемого объекта? Структура характеризуется, прежде всего, значением четырех признаков: А = < а, (3,7,8 >.
1. а - Признак динамичности.
Объект будем называть динамическим (а = 1), если его поведение зависит не только от текущего значения входа, но и от предыдущих значе ний выхода (объект обладает памятью, или инерционностью).
а= 0 - объект статический.
2.(3 - Признак стохастичности.
(3=1, если поведение выхода объекта зависит от неконтролируемых входов объекта.
(3 = 0 - объект детерминированный.
3.у - Признак нелинейности.
у= 1, если реакция на два различных воздействия не эквивалентна сумме реакций на каждое из этих возмущений в отдельности.
Для случая без помех F0(*i + х2) *F Q(X)) +FQ(X2). у = 0 - объект линейный.
4 . 8 - Признак дискретности.
8 = 1 - объект дискретный, если состояние его входов и выходов из меняется или измеряется лишь в дискретные моменты времени: t = 1,2,...,л.
8 = 0 - объект непрерывный. |
|
||
Естественно, |
что |
представления о |
виде модели, определяе |
мые А =< а, (3,7,8 >, |
мог>т |
изменяться после |
анализа экспериментальной |
информации.
Априорная (доопытная) информация А имеет качественный характер.
Апостериорная (опытная) информация' имеет количественный харак тер, т.е. представляет собой результат (протокол) наблюдений входа и вы хода исследуемого объекта:
B = <X,Y>,
где X - результат всех измерений входов; V - результат всех измерений выходов за тот же период наблюдений.
Для непрерывных объектов (А =< аД у,0 >) имеем записи непре рывных данных X(t), Y{t) в интервале 0 <t<T, т.е. В0 = (< X{t)tY{t) > (0</< 7)). Это значит, что поведение объекта зарегистрировано в виде п + т кривых*i(r), ..., *„(/),y\(t), ...,ym{t) в данном временном интервале.
В дискретном случае (А =<а,$,у,1>) X = (хи ...,*„); Y = (yu
к - число одновременно измеряемых серий в заданный момент времени t, и
в протокол записывается Bt = (< А*,!* >, / = 1, ..., и, j |
= 1, ..., т, к = 1, ..., |
||||
АО, который представляет собой таблицу чисел из п + т столбцов и N |
|||||
строк: |
|
|
|
|
|
*11 |
*21 |
*«1 |
У и |
У н |
У ml |
*12 |
*22 |
*и2 |
У п |
У 22 |
Ут2 |
д> = |
|
|
|
|
|
*1N |
*2 N |
XnN |
У IN |
У2Ы |
УпМ |
Измерительная матрица В\ построена для первого момента времени. Протокол Bt может быть получен из В0путем фиксации дискретных
моментов времени:
/ = 0,8,28,...,(Af-l)8,
Т
где 5 - интервал дискретности, 5 = — .
N
Обратный переход из дискретного вида в непрерывный возможен далеко не всегда.
Таким образом двойка априорной и апостериорной информации <А,В> достаточно полно характеризует объект для целей его идентифи кации.
2.СТРУКТУРНАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ
2.1.Постановка задачи идентификации
Задачей идентификации является определение оператора F0 объекта* т.е. построение такого оператора объекта F, который был бы в определен ном смысле близок к оператору FQ. F « F0.
Оператором преобразования (объекта или модели) принято называть алгоритм трансформации функции в функцию. Простейшие примеры опе раторов - дифференциал и интеграл:
|
/X*) = £ (* ), |
F(x) = ]xdt. |
|
Ш |
о |
Оператор, |
как правило, |
характеризует динамическую систему, |
а функция - статическую. |
|
|
Близость - |
понятие относительное, так как операторы F и F0 могут |
|
иметь разную структуру, разное число входов. Близость оценивается по их реакциям на одно и то же входное воздействие Х 9т.е. по выходам объекта
(K(f) = F0[ * ,*(/)]) |
и модели (Ум(/) = F (X )). Степень близости можно оце |
нить с помощью |
значения квадрата модуля разности выходов объекта |
и модели: |
|
9(0 = IДО - Ум(0 |2 = 1 \у, (0 - Уи, ( o f > /=1
где Гч (г) = (уМ| (t),yM2 (t),...,yMm(0 ) - вектор выхода модели.
В общем случае близость оценивается функцией невязки q. Это скалярная функция двух векторных аргументов - выходов объекта и модели:
9( о = р ( т д ( 0 )-
Свойства q(t):
1)неотрицательна для любых Y(t) и FM(0i т.е. р(У(0» FM(0) ^ 0;
2)равна нулю при Y(t) ~ YJJ)\
3)непрерывна и выпукла по обоим аргументам, т.е. функция всегда лежит ниже (точнее, не выше) отрезка прямой, соединяющей две любые точки (Уь Ум0 и(Уг Ум2), где У, и Ум, - произвольные векторы.
Итак, задача идентификации ставится следующим образом: постро ить такой оператор модели F, который реагировал бы на возмущение вхо да А"в соответствии с реакцией объекта Y.
Таким образом, выходы модели и объекта Ум = F(X) и Ум ~ У, при одинаковых входных воздействиях х должны быть эквивалентны. Этого можно добиться, если ввести единую меру близости на всем интервале на