Методы идентификации систем
..pdf
6.2. Статическая задача для системы с несколькими входами и несколькими выходами
Процесс, имеющий т входов и п выходов (рис. 6.2), по аналогии с процессом с одним выходом может быть описан следующей системой уравнений:
Щ |
ХХ |
*1 |
= апи\ + - +аи Ч + ~ +а1яит9 |
м2 |
*2 |
|
|
ит |
хп |
X |
t = a n u l + . . . + a y u j + . . . + a tmu m9 (6.2) |
Рис. 6.2. Процесс с несколькими |
|
хп =<*nlu\ +... + anj Uj + ... + дя/Л|> |
|
входами и несколькими выходами |
|
||
или, в векторной форме,
х =Ли,
а \ \ - а \ m
где x = (xl,...,x„...,x„)T, u = ( u l y . . . , U j , . . . , u m ) T , А
шап\ ”’^пт
Каждая строка в уравнениях (6.2) имеет точно такой же вид, как и уравнение для системы с одним выходом. Следовательно, можно запи сать /-ю строку системы уравнений (6.2) следующим образом: xt = ита„ где
Л/ [Я/i, |
• • >&iji• • • j &im\ |
|
|
|
Подобно процессу с одним выходом для г измерений (г > т + 1), ве |
||||
личины |
Xu uj ( /= ! ,...,« ; |
j = 1, . . т) определим в виде |
||
|
|
* / ( 1 ) |
w l ( l ) * * * w m ( l ) |
|
|
|
|
|
V1 ; |
|
х , = |
х Пм) , |
и = uW ' um(fj) |
= |
|
|
|
|
L«(r>J |
|
|
|
|
T |
|
|
3 < ' > . |
_U\( r ) . . . M m ( r ) |
_ |
Индекс в скобках (р) означает р-ю совокупность измерений (р = 1,2,...»г\ а и - то же самое, что и в уравнении для системы с одним выходом. По этому указанные выше г измерений удовлетворяют для /-го выхода соот
ношениям
_ т *|(1)“ И (1)Я/,
_ т xi{r) И (r)Oh
или, в матричной форме,
х , = щ .
Поскольку уравнения (6.3) аналогичны соответствующим уравнени ям для системы с одним выходом, то наилучшие (в смысле наименьших квадратов) оценки а параметров удовлетворяют соотношению (6.1):
«; = (и ти у 1• U Tx = (a,*,..., ami). |
(6.4) |
Идентификация а* в соответствии с уравнением (6.4) предполагает,
что r> m + 1, как для случая с одним выходом. Поскольку для всех i рас сматривается одна и та же матрица измерений U (i обозначает i-ю строку системы уравнений (6.2)), то все элементы матрицы А можно полностью идентифицировать по m + 1 измерениям; при этом одновременно иденти
фицируются а] для всех /.
6.3. Идентификация линейных динамических процессов
Пусть динамический процесс задан дифференциальным уравнением в матричной форме
Х = аХ + \Ш,
где X>U- «-мерный вектор состояния и w-мерный вектор управления. Приведем уравнение к дискретному виду, заменив производные че
рез конечные разности. |
|
|
|
X * L*+i - X k |
|
где At - шаг по времени. |
At |
|
|
|
|
Тогда исходное уравнение примет вид |
|
|
|
хк+]=лхк+вик, |
(6.5) |
где А = |
= I + A t-d ; Д = |
= АГ*Р; I - еди |
ничная матрица.
Введем теперь новые векторы
Wk = (Х 1к,...,Хпк-, и ]к,...,итк)т= (Wu ,...,wn+mk)j
а11—а1п> |
^11 “Ат |
( Ф , ) Т “ |
Ф = |
|
|
*п\ * пп» |
•*^пт . |
( ф * ) Т J |
и уравнение (6.5) запишется в виде |
|
|
4 |
г Ф ^ . |
|
Полученное уравнение аналогично рассмотренному ранее. Если за помнить г единовременных совокупностей измерений (г £ п + т + 1) вели чин Х ы , Wk (т.е. Хь-и Хк, Uk), то элементы матрицы Ф можно идентифици ровать с помощью линейной регрессионной процедуры по методу наи меньших квадратов (6.1). Следовательно, оценка Ф* /-й строки матрицы Ф
(г = 1,7?) будет следующей: |
|
|
|
(ф ')Т = |
= W ,...,a in,blx,...,biml |
(6.6) |
|
где |
|
|
|
^ т + п ( \ ) к |
Х ц \ ) к — Х п { \ ) к > |
U \ { \ ) k ” U т { \ ) к |
|
( г ) к ^ т + п ( г ) к
X n t + \ “ [^/(1)*+1
--------1 * |
U \ ( r ) k — U m ( r ) k _ |
»^ Г/(ц)А:+1»“ *>^Г/(г)Л+1.Г
Здесь X^k+i обозначает ц-е измерение /-го состояния |
(р, = 1,2, |
..., г), а г - число измерений Ж*, Л"**].
Для идентификации А, В в соответствии с уравнением (6.6) требует ся запомнить 2г измерений Х и г измерений U.
В приведенном выводе считается, что вектор состояния X должен быть измерен. Однако в общем случае можно измерить лишь выходной ве ктор У.
У = С Х+ п,
где /I - вектор шума.
Поэтому можно сделать вывод, что если некоторые элементы матри цы С равны 0, то непосредственная идентификация А, В по измерениям У становится невозможной.
|
Пример. Требуется идентифицировать дискретную систему первого |
|||||||||
порядка |
+ 1) = ау{к) + Ьи(к)9используя линейную регрессию, на основе |
|||||||||
следующих данных о входе и выходе: |
|
|
|
|
|
|||||
к |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
и(к) |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
У(к) |
-5 |
-4 |
-4 |
-2 |
-2 |
-2 |
0 |
1 |
1 |
0 |
Сравнение экспериментальных данных Л' и значений, полученных в результате расчета Х т приведено на рис. 6.3.
к
Рис. 6.3. Результаты расчета
6.4.Идентификация нелинейных процессов
Как статические, так и динамические процессы могут обладать не линейными характеристиками, которые нельзя игнорировать.
Если имеется априорная информация о типе нелинейности, то пара метры «истинных» нелинейных функций могут быть идентифицированы.
Если тип нелинейности неизвестен, то аппроксимация может быть выполнена с помощью полиномов.
Однако во всех случаях идентификацию можно проводить только в предположении некоторого определенного типа нелинейной аппроксими рующей функции, параметры которой подлежат идентификации.
Аппроксимация с помощью полиномов
Методом наименьших квадратов рассмотрим аппроксимацию поли номом третьего порядка некоторого динамического процесса, имеющего две переменные состояния (Х\ и Х 2) и одну управляющую переменную U.
X ik+l = anX ]k + Д/2X\k + <*nX\k + bnX 2k + bj2^2k + bi3Xlk +
+ c nu k + c a u 2k + c nu l
/ = 1, 2.
Введем векторы Z и ct/.
Z |
3l T |
= [z,,z2,...,z9] T= [Хш A x f k,X 2k ,X 2k,X lk ,u k,u l,u \] |
6.5.1. Скалярный случай
Рассмотрим систему с неизвестным параметром вида
хк = аик +пк9\/к = 0,1,2,...,
где щ к х к- измеряемые входная и выходная последовательности соответ ственно, а пк - шум измерения на к-м измерительном интервале. Задача идентификации (оценивание неизвестного параметра системы а) может быть решена путем использования линейной регрессии по методу наи меньших квадратов. В итоге на основании г единовременных совокупно стей величин щ, Xk [к - 1, г) получается оценка аг параметра а, для ко торой минимизируется критерий Jr
|
г |
|
Л "" |
~^г^к) » |
(6.7) |
|
к=1 |
|
где qk- произвольный весовой коэффициент, например qk- |
1. Введение |
|
qk> 1 в уравнение (6.7) может служить для увеличения веса последних из
мерений. Регрессионная оценка по методу |
наименьших квадратов аг пара |
||
метра а задается выражением |
|
|
|
dJ |
|
' |
|
т - “ = 0 = |
к-1 |
|
|
dar |
|
|
|
откуда |
|
|
|
|
|
Z ЧкЧЧ |
( 6.8) |
а |
= М . |
||
%Чк“к к=1
Оценка <яг может быть получена и последовательным способом:
- Я\и\х\ |
|
*1 = ' |
2 |
?lwl |
|
_ Я\ЩХ\ |
Я2и2х2 |
Ч\и\ |
+Я2и2 |
Однако последнее уравнение может быть переписано в виде
- _ - |
а\Ч\Щ2 + Щ 2и22 |
qxuxxx +q2u2x2 _ |
a2 - a l |
---------------------— + |
-------------------Я1Щ2+ q2u2 -- |
|
Я\и\ + Я2и2 |
= Q\ + 9l»l(*l ~fll“l) + g2M2(*2 ~ а1ц2) <7l«l2 +?2M22
Преобразование правой части позволяет получить
|
|
|
- |
|
. ?2“2(*2 - a i“2> |
|
|||
|
|
|
a2 ~ a\ |
+ ------ 2---------о |
' |
|
|||
|
|
|
|
|
|
£lwl |
+ #2W |
|
|
Аналогично дляу-й оценки получим |
|
|
|||||||
|
|
Qj |
= a j . x + P j q j U j i x j |
- a j _ xUj), |
(6.9) |
||||
где я0 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Составим |
выражение |
для |
определения |
вектора р}. |
Обозначим |
||||
1 |
2 |
1 |
2 |
|
2 |
1 |
2 |
~ |
|
— - q xщ |
, тогда |
— |
= Я\и\ |
+Я2и 2 |
= ---- ^Й2и 2 |
- Следовательно, |
|||
Р\ |
|
Р2 |
|
|
|
Р\ |
|
|
|
|
|
1 |
X |
2 |
1 |
|
2 |
|
(6. 10) |
|
|
— = Z Якик = -----+ ?/“у> V /> 1. |
|||||||
|
|
Ру |
*=i |
|
Py-i |
|
|
|
|
Отметим, что последовательный результат уравнений (6.8) и (6.9) со впадает с уравнением (6.8) для любых значений г.
6.5.2.Многомерный случай
Рассмотрим систему со многими параметрами, задаваемую уравне
нием
Ч = «!«],* + а2и2%к + - + атит,к + пк> |
(6.И) |
где я,- (z = 1, ..., т ) - требующие идентификации неизвестные параметры; х*- выход системы на &-м измерительном интервале; щк - i-й вход системы на этом же интервале; щ - шум измерения.
Уравнение (6.11) может быть записано в векторной форме
где О = [a lv>®m] > |
— |
" |
Оценивание вектора параметров а осуществляется таким образом, |
||
чтобы оценка аг минимизировала критерий Jr: |
||
л =*=i£ |
« * |
( * *»*)2- « J |
|
Здесь г обозначает число измерений. Следовательно, оценка агдол |
|||
жна удовлетворять уравнению |
|
|
|
.*-1 |
) |
= Ъчкх кик |
(6.12) |
*-i |
|
||
Введем обозначение
Л "1= S ?* (« * "/)• |
(6.13) |
Матрица Pr~l обратима только при г > т , где т - |
размерность «и» |
а г - число рассматриваемых измерений. При этом уравнение (6.12) при
нимает вид |
г |
|
_j |
|
|
^ Г |
ar ~ Y a 4 kXkUk> |
(6.14) |
откуда
г
аг = Рг ИЯкХкик- к=\
Последнее выражение представляет собой обыкновенную оценку ве ктора а с помощью линейной регрессии. Отметим, что хотя произведение ик и ? (6.13) является вырожденным, матрица Рг~1не вырождена из-за сум мирования по к. Уравнение (6.14) может быть записано в виде
|
1 |
г“ ' |
|
|
|
|
Рг ar = ^ q t x kuk + q rx rur . |
|
|||
|
|
к=\ |
|
|
|
Поскольку из уравнения (6.12) следует, что |
|
||||
|
г-1 |
г-1 |
т |
(6.15) |
|
|
1 |
4kXkuk = ( Z q kukuk К _ м |
|||
|
к=\ |
к=1 |
|
|
|
можно подставить выражение для |
г=-1 |
|
|
||
^Я кх кик в уравнение (6.14), что дает |
|||||
|
|
|
к=1 |
|
|
Pr |
-1 |
r_I |
т |
+ q rx rur . |
|
ar = C Z q kukuk |
|
||||
к=1
Прибавляя и вычитая в правой части уравнения [qruru fa r_l]i получаем
А=1
+4rururJаг-\ =& .ЯкикикТ)аг-\ +ЧгиЛ х г - и гТаг. ,).
к=\
С учетом определения Рг~] уравнение принимает вид
Pr~'ar = Р г"’а г_, +<7г« Д * г - и гТа г.,) ,
что дает
a r = a r_, +Prq ur ( x r - urTa r_x). |
(6.16) |
Следовательно, оценка аг может быть рекуррентно получена по пре
дыдущей оценке аг_х (6.16) и по измерениям и весовым коэффициентам хп
мг, qr при условии, что матрица Рг также получена последовательно. Мат рица Рг определяется выражением