Методы идентификации систем

I -i CL4 k(ukukT) +qrururT =Pr_~l +qrururT k=1

Выражение для P~l требует обратимости матрицы Рг. Кроме того, должно быть известно начальное значение матрицы Р0. Применяя лемму

Поскольку 1 + НГТР^]НГ- скаляр, то при получении Рг по рекуррент­ ному соотношению (6.17) обращения матриц не требуется.

Начальная оценка Р может быть произвольной. Но для улучшения сходимости целесообразно использовать начальную оценку

Р0 = -1 , е —» О, 8

где I - единичная матрица.

Множитель 1/е можно выбирать почти произвольно в промежутке между 10 и значением, соответствующим наибольшему числу, которое может храниться в памяти используемой ЭВМ.

Пример. Рассмотрим систему у = атх, где а - вектор параметров, ко­ торый необходимо идентифицировать и где

*1 = X, = , У\ = 11,У2 = 4-

Пусть Р0 = - / = 105/ , е = 1(Г5, qx= q2= 1,

а х = a 0 + P lq lx i( y l - x J a 0),

Р{ =Р0 - Р0н {(1+ я / Р0я , Г я ; Р0

7. ИДЕНТИФИКАЦИЯ МЕТОДАМИ СТОХАСТИЧЕСКОЙ АППРОКСИМАЦИИ И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО ОБУЧЕНИЯ

7.1. Метод стохастической аппроксимации

Метод стохастической аппроксимации, используемый для иденти­ фикации линейных и нелинейных стационарных процессов, по существу представляет собой метод последовательного градиентного поиска. В про­ цедурах идентификации по методу стохастической аппроксимации не предполагается сходимость в среднеквадратическом смысле на каждом шаге оценки после первых т оценок, где т - размерность вектора пара­ метров (как при использовании методов последовательной регрессии), и поэтому сходимость достигается на большем интервале времени.

Процедура идентификации по методу стохастической аппроксимации

Рассмотрим дискретную стационарную систему xk =<t>(uk,ukA,...,p)

и измерительное уравнение

Уk ~ хк +vk>

где х, и, у, v - переменные состояния входа, выхода и шума в измерениях соответственно; р - вектор параметров, который необходимо идентифици­ ровать; Ф - заданная линейная или нелинейная функция, связывающая пе­ ременные хь ики неизвестный вектор параметровр, где ик = (м*,..., мА_,)т.

Подставляя это соотношение, преобразуем исходное уравнение к виду

Хк =Ф («*,/»).

Пусть размерность вектора параметров равна т.

Оценка р п+1 векторар (на п +1-м последовательном шаге) получается при выполнении алгоритма стохастической аппроксимации следующим образом:

где рп - оценка вектора р на п-м последовательном шаге; \|/„ - функция, которую можно оценить по измерениям у (ее математическое ожидание равно нулю при точных р , и)\ Хп- последовательность скалярных коррек­ тирующих коэффициентов.

Для обеспечения сходимости последовательность Хп должна удовле­ творять следующим условиям:

Очевидно, любая функция вида А.* = — удовлетворяет указанным

условиям так же, как и многие другие функции параметра к. Вектор-функция \ук введена для описания функции градиента. По­

этому функцию 1|/Аможно выразить следующим образом.

Обозначим через М р ) скалярный показатель качества идентифика­ ции, определяемый в виде

где

Ф а

Заметим, что функцию \|/* можно оценить по измерениям >>*, i/* и по предыдущим оценкам /?*_,.

Процедура идентификации, таким образом, зависит от начальных оценок р\ (здесь р\ обозначает начальное множество р и ..., рт) и от на­ чального значения коэффициента Х\.

Пример 1. Процесс оценивания \j/* можно проиллюстрировать, рас­ сматривая линейную систему, описываемую уравнением

Хк = Р Г ик = Ф ( и к,р).

йФ(ик,р к)

Ф*

И V* = [Ф (и * . Л ) -> '*к (« л .А ) = ( Л Т«* -% )« *•

Для начала процедуры идентификации можно принять, что х1= ух (где>»1 обозначает первые т измерений),

Р\ = о*

7.2. Идентификация методом обучения

Метод обучения относится к методам последовательной идентифи­ кации линейных систем в реальном времени, который основан на принци­ пе обучения с моделью и в котором получена модель импульсной харак­ теристики. Аналогично методам стохастической аппроксимации метод последовательного обучения не дает оценки параметров по методу наи­ меньших квадратов на различных последовательных шагах, вследствие чего сходимость этого метода несколько ниже, чем метода последователь­ ной регрессии. Тем не менее оценки постепенно сходятся (в среднем) к ис­ тинным значениям параметров. Метод последовательного обучения отли­ чается от метода стохастической аппроксимации характеристиками схо­ димости. Этот метод удобно применять для процессов с медленно ме­ няющимися параметрами. Основное преимущество метода последова­ тельного обучения по сравнению с другими последовательными методами состоит в простоте алгоритма последовательной идентификации.

Идентификация стационарных процессов. Базовый алгоритм идентификации

В методе последовательного обучения рассматривается линейная си­ стема со случайным входом u(t), выходом x(t) и импульсной реакцией g(/). Связь между входом и выходом описывается интегралом свертки, который для нулевых начальных условий записывается в виде

x{t) = \g{x)u(t-i)&x,

о

где и - измеряемая функция. Дискретная форма выражения:

1=1

Определение импульсной реакции g, выполняется путем итерационных вычислений множества величин:

h,u \ h2U), ,hNU\ Vj = N + l, N + 2....

которые должны соответственно приближаться к g b gi, ■■■, gN в уравнении (7.1), где j обозначает номер итерации. Тогда оценка выхода модели

при использовании й,0) (на j-Pi итерации), таким образом, становится рав­ ной по аналогии с уравнением (7.1):

(7.2)

xju = 1 Л а Ч - '-

Обозначая

S = fo> -,£w ]T>

hj = [h <J),-,hN(j)Y

иUj =\UH ,...,UJ. n Y , преобразуем уравнения (7.1) и (7.2) соответственно

квиду х} = g TUj и x M = h]Uj.

Определим теперь разность:

- x JU= ( g - h j )r UJ = U ] ( g - h j ) = U]Ahj.

Следовательно, соотношение для идентификации методом обучения запишем в виде

и . и ■

J UJ

Чтобы начать процедуру оценивания по уравнению (7.3) при у = 1, можно подставить в это уравнение х1м = 0 .

Если в уравнении (17) ввести коэффициент коррекции ошибки а, то соотношение преобразуется в следующее:

Л +1 = hj +a(Xj - x jM)~Y — при 0 < а < 2. и]и J

Сходимость решения по-прежнему обеспечивается.

Пример 3. Идентифицировать методом последовательного обучения вектор параметров р системы со = рти + р, где р - шум измерений. Резуль­

Начальная оценка р х = 0, а значит, и ©1м =0.

Далее рассмотрим систему, которая описывается уравнением

у(о=лт,

где /[z(f)] - произвольная непрерывная нелинейная функция z(f).

В соответствии с теоремой Вейерштрасса любая непрерывная функ­ ция /О /) ] может быть аппроксимирована полиномом z(f), сходящимся

+ я™J - 1г«(‘г,т2...т1В)х(/ - i,)x(f - 12) •...• x(f - Tm)dT]dT2 •...• dxm=

00

/t

Представленные окончательные уравнения представляют собой ряд Вольтера m-го порядка для рассматриваемой системы.

Алгоритм последовательного обучения

Пусть х = (х],х2,...,хп)Т, где */ = x(t- iT) . Введем следующий 5-мерный вектор \\rs(x):

’Vs(х) = [ф, (х), ф2 (х),..., ф, (х)]т ,