Методы идентификации систем

п+ 1

2

Рис. 2.5. Распределение мнений экспертов при полной несогласованности

Вычислим дисперсию средних рангов:

р(к ) = - ± ( Щ - к )2,

П]

где

- математическое ожидание среднего ранга.

Максимальная дисперсия (при полностью согласованных мнениях

где 0 < ЙГ < 1; W = 0 - эксперты полностью несогласованны; W = 1 - экс­ перты высказываются как один, т.е. полностью согласны.

Конечно же, эксперты действуют независимо друг от друга, не знают мнений других. Мало или велико конкретное значение W2

Пусть т экспертов из N абсолютно компетентны, тогда {N - т) - со­ вершено некомпетентны.

Таким образом, W выражает долю абсолютно компетентных экспер­ тов. W= 0,3, т. е. 30 % вполне компетентны, а 70 % - нет.

Отсутствие согласованности мнений экспертов может иметь двоякое объяснение: 1) некомпетентность из-за слабой изученности объекта иден­ тификации; 2) сложность объекта затрудняет эксперта в ответах о ранге факторов.

Эксперту проще сопоставить важность некоторых факторов попарно.

Метод парных сравнений

Эксперту предлагается проранжировать факторы попарно, т. е. каж­ дой паре Xj и Х[ поставить в соответствии число qu'.

Знаки: >— более предпочтителен;

— эквивалентны; -4 - менее предпочтителен.

Числа qu обладают очевидным свойством: qu + qti = 0.

Таким образом, каждыйj -й эксперт свое мнение представляет в виде

таблицы п х п, Oj = ||^||,У - номер эксперта. Ниже приведена таблица ка­

ждогоу-го эксперта (табл. 2.1)

Усредним мнение экспертов. Для этого достаточно построить усред­ ненную таблицу п х п.

Проверим согласованность мнений экспертов. Определим дисперсию величин qu .

Так как среднее значение qu = 0 (qa - математическое ожидание), то

левая диагональ).

Максимальное значение дисперсии будет иметь место при полной

Однако эксперты могут противоречить друг другу. Например, ре­ зультирующая последовательность имеет вид Х\ > Хг > Хз > Х\, т.е. оказа­ лось, что одновременно Х\ > Хз и Х3 > Х\ (произошло нарушение транзи­ тивности). Выявление подобных противоречий необходимо не только в усредненной таблице Q , но и во мнении каждого эксперта.

Для определения результирующих рангов имеются правила. Правило 1. Определим суммарное предпочтение каждого фактора:

и ___

4i = Ич,1 ■

/=1

Первый ранг имеет фактор, суммарное предпочтение которого мак­ симально, т.е. qz = max{#,•}, i= 1, ..., п.

Первый ранг имеет фактор Хг, т.е. Kz = 1. Однако это правило излиш­ не усредняет предпочтения.

Правило 2. Это правило опирается на идею усиления контраста. Для этого вводится порог 8. Если предпочтение > 8, то оно имеет явный ха­ рактер, если < 8, то оно сомнительно, т.е. больше соответствует эквива­ лентности.

В результате матрица средних предпочтении Q преобразуется в кон­ трастную матрицу U. Элементы матрицы U преобразуются в соответствии

свыражением Un = сp(qu), где

-1, если qn < - 8;

При 8 = 1 контрастная матрица ставится нулевой, и все факторы эк­ вивалентны. При 8 = 0 контрастная матрица полностью заполняется еди­ ницами, но при этом почти неизбежно нарушение транзитивности.

Алгоритм ранжирования

1. Для каждого фактора Х{определяется количество худших его фак­ торов п </ и количество лучших его факторов п >,.

2. Расстановка факторов. Лучшим считается тот фактор, для которо­ го наименьшее значение п >х(минимальное количество лучших его факто­

Далее рассматриваем «О» в первом столбце: это факторы 2 и 12. Оп­ ределяем, в какую сторону условия (2.4) попадут факторы 2 и 12. Для это-

2.4.3.Определениерационального числа входов и выходов объекта,

учитываемых моделью

Описанным выше образом получаются ранжированные ряды всех претендентов на входы и выходы модели.

Х х>Х2> ...> Х Л

(здесь уже произведена перенумерация в соответствии с рангами),

и х> и 2 > . . . > и ч,

Y\> Y2> ...> Ym.

Выбор рациональных чисел п , q , гп , т. е. размерность входов и вы­ ходов модели, следует также производить экспертно.

Для этого нужно начать с минимального числа входов и выходов. Щ= 0, qx= гп\ = 1 - эту модель назовем Fx, т. е. Y = F x(Xf U),

где У= {Yx...Yml};X= {Xx..X nl}i U = {Ux...Uql}.

При решении этой задачи модель представляет собой черный ящик, т. е. не выясняется характер связи Fx. Таким образом, первая модель ха­ рактеризуется тройкой < щ, qXi тп\ >.

Вторая модель F2= < п2, q2i тп2 > должна быть выбрана экспертами из

трех:

F2 =<nx+1,qx,mx>,

F?=<nx,qx,mx+ 1>.

Эксперты ранжируют тройки по заранее оговоренным критериям. Тройка параметров, получившая первый ранг, образует модель F2.

Аналогично (/ + 1) - модель Fi+X определяется ранжированием трех полученных из Ft троек:

FL\ =<ni +\iqh mi >,

Fl+\ 1j

F-li =<ni9qi,mi +\> .

Таким образом, получается последовательность моделей F\, F2, Fiyрасположенных в порядке их уточнения и усложнения.

Теперь остается в этом ряду установить предпочтения, т. е. выбрать ту модель^ которая и будет идентифицироваться (также с помощью экс­ пертов).

Fx <F2 < ... <Fz >FzH > ... > F/.

Это означает, что надо остановиться на модели Fz = (п#2т2). Такцм образом, п = nz, q - q2, т = т:.

2.4.4.Определение характера связи между входами

ивыходами модели объекта

Структура модели определяется видом модели F. Этот оператор ха­ рактеризуется кодом «А».

а = ?,Р = ?,у = ?,5 = ?.

Анализ следует начинать с простейшего (нулевого) случая.

Так, динамический объект (а = 1) труднее идентифицировать, чем статический (а = 0); стохастический (р = 1) - труднее детерминированного (Р = 0); нелинейный (у = 1) - сложнее линейного (у = 0) и т. д.

В процессе выбора кода А следует иметь в виду, что, учитывая эти трудности, можно намеренно сузить модель, т.е. сделать ее проще объекта.

Так, если динамика процесса не слишком ярко выражена, то можно объект описывать статической моделью, нелинейный объект можно ап­ проксимировать линейным и т. д.

Разумеется, эффективность управления снизится, но если это сниже­ ние невелико, а выигрыш в идентификации значителен, то такой выбор следует считать оптимальным.

Пример. Пусть динамический объект (А = 1000)

^ + C 'y =x(t).

dt

Если коэффициент С* > 0 достаточно велик или y(t) меняется доста­ точно медленно, то объект можно описать статической моделью вида у = cx(t) , А = (0000). После выбора кода А следует определить конкретную

форму и ее оператор F.

Методы определения будут рассматриваться далее.

3. ПРОСТРАНСТВО СОСТОЯНИЙ. УПРАВЛЯЕМОСТЬ И НАБЛЮДАЕМОСТЬ СИСТЕМ

3.1. Понятие пространства состояний

Динамические системы могут быть описаны системами обыкновен­ ных дифференциальных уравнений, уравнений в частных производных ли­ бо разностных уравнений. Динамические свойства системы определяются производными по времени.

Любое обыкновенное дифференциальное уравнение л-го порядка можно преобразовать в систему дифференциальных уравнений первого порядка. Система из л дифференциальных уравнений полностью опреде­ лена, если заданы все коэффициенты и известны л начальных условий.

Начальные условия образуют л-мерный вектор, который точно опре­ деляет состояние системы в момент времени t0. Указанный вектор называ­ ется вектором состояния системы в момент времени Го, а его компоненты называются переменными состояния.

Полученное в результате векторное дифференциальное уравнение является уравнением состояния динамической системы.

3.2. Линейные и канонические преобразования дифференциальных уравнений х

Вектор состояния может быть образован различными комбинациями л переменных состояния. Определить их можно в результате следующих преобразований.

Рассмотрим линейную систему, описываемую следующим вектор­ ным уравнением состояния:

X = AX + BU, (3.1) где X = л-мерный вектор состояния; U = m-мерный вектор возмущающих воздействий (входной вектор независимый); А, В - матрицы коэффициен­ тов.

Построим вектор состояния, используя линейное преобразование уравнения (3.1). Преобразованный вектор состояния X* является линейной комбинацией л компонент вектора X:

Х = у Х *

X* =\|/-1X,

где \|/ - матрица преобразования.

Тогда уравнение (3.1) можно представить в виде: