Методы идентификации систем

Затем, задав нормальное распределение для а\ и зная выборочные

*

значения У2, можно получить приближенные выражения для математиче­ ского ожидания и дисперсии параметра а2, и т.д.

Таким образом, если производится несколько измерений случайной

величины, то пользуются выборочным средним 7,- и для случая, когда все значения Ь( =0, получают:

ах= 7,\

а2 = (?Ь 2 -У2

и Т.Д.

Следовательно,

Var{5|}« Var^,},

Var{a2} » Var{0,)2} +Var{.y2}

и т.д.

Пример. Для передаточной функции g(p) =---------------- - заданы 1 + ахр + а2р

а\ = 0,2; а2 = 0,05.

Отклик на единичный ступенчатый сигнал (переходная характери­ стика) имеет вид

У(р) =В(р)х(р) =^ .

Р

Во временной области это уравнение запишется в виде y{t) = 1 - V^25e'2' sin(4f +1,107).

Случайная ошибка, распределенная по нормальному закону, прибав­ ляется к y(t) Y(t) = y(t) + в.

E{z) =0,

Var{e} = 5-10-4.

Если нет точной формулы y(t) , а имеются только измеренные значе­ ния у(0, то можно использовать интерполирование для описания y(t) и далее проводить интегрирование.

У1 (0 = J[l - J^(f)]d/ = jV U 5e'2' sin(4f +1,107)dt,

00

^( 0 = j[v i- ^ i(o K

Были проведены четыре повторных эксперимента, по которым вы­ числены следующие выборочные значения:

Y\ =0,207,

S i = 7,61 • 10-4, *1

?2= -0,01 н

s i =9,83-10"6,

У2

S*yy =6,41-1 О*6.

Подставляя полученные результаты в уравнение (4.11),

получим

а{ = 0,207,

а 2= (0,207)2 + 0,0111 = 0,0539.

Приближенные значения дисперсии

Var{«1} = 5 2. = 7,61-10^,

Для проведения лабораторных работ разработан пакет прикладных программ «Identlab» (генератор заданий), на основе которого моделируют­ ся динамические объекты. В процессе выполнения лабораторной работы на основе входных и выходных данных определяются параметры объектов. Генератор заданий позволяет использовать для идентификации различные входные сигналы, что обеспечивает использование разных методов иден­ тификации. Основной задачей идентификации является определение структуры и параметров модели.

Для изучения методов идентификации, а также исследования влияния помехи на параметры и математическую модель была разра­ ботана программная оболочка Identlab. Программная оболочка была реализована на языке Borland Delphi, ее внешний вид представлен на рис. 4.8.

- кнопка «Готово» (при нажатии данной кнопки происходит решение дифференциального уравнения).

2.«График». Изображается график полученного решения. При необ­ ходимости можно производить перемещение и увеличение ‘изображения графика. Если идентификация происходит с наложением помехи, то крас­ ным цветом выводится исходный график, а белым - график, содержащий случайную помеху.

3.«Таблица». Происходит вывод на экран массива данных, содер­ жащего входной и выходной сигналы, а также значение аддитивного шума.

4.«Коэффициенты». После ввода пароля на экран выводятся пара­ метры модели.

5.«Справка». Указывается назначение основных кнопок, закладок

иобластей, имеющихся в программе.

Для того чтобы получить данные для идентификации, выбирают но­ мер варианта, вид входного сигнала, числовые значения коэффициентов, время переходного процесса и количество шагов. При необходимости ука­ зывается уровень помехи. После этого, если все установки произведены, нажимают кнопку «Готово». Далее можно посмотреть полученный резуль­ тат (график и таблица) и сохранить результаты таблицы.

Программная оболочка предназначена для решения дифференциаль­ ных уравнений 1-го, 2-го, 3-го порядка. В качестве метода используется модифицированный метод Эйлера.

Как уже указывалось, пакет дает возможность сформировать входное воздействие в виде «белого шума». «Белый шум» представляет собой не­ коррелированный случайный процесс бесконечным равномерным спек­ тром частот и нулевым математическим ожиданием. На практике невоз­ можно реализовать такой сигнал, однако если входной сигнал представля­ ет собой случайный шум с равномерным спектром частот, значительно бо­ лее широким, чем спектр исследуемой системы, либо является псевдослу­ чайной периодической бинарной последовательностью, то автокорреляци­ онную функцию такого процесса можно аппроксимировать дельта­ функцией и считать его «белым шумом». В качестве генератора «белого шума» в программе Identlab используется генератор нульпоследовательности максимальной длины (НПМД) на регистрах сдвига.

Таким образом, пакет программ Identlab дает возможность генериро­ вать экспериментальные результаты, используемые для обработки доста­ точно широким кругом методов идентификации систем.

5.МЕТОДЫ КОРРЕЛЯЦИОННЫХ ФУНКЦИЙ

5.1.Основные сведения о случайных функциях.

Законы распределения. Интегральные характеристики случайных функций

Случайная функция X(t) - это совокупность множества возможных кривых x(t) (рис. 5.1), где x(t) - случайная величина, изменяющаяся во вре­

дая из них описывается своим законом распределения, который можно охарактеризовать функцией распределения Fx{x,t).

Для случайной величины x(tx) функция распределения

F\ (*i,tx) = P{x(t\) < JC,} представляет собой вероятность того, что случайная функция в момент времени t\ примет значение меньшее, чем число хх.

случайной функции. Они определяют ее изолированно, в отдельных сече­ ниях, не устанавливая связи между этими сечениями.

Для установления связей между произвольными парами сечений случайной функции рассматривают распределение двух случайных вели­ чин: х(г,) и x(t2) - и характеризуют его совместной функцией распреде­ ления.

Р2(*1,*2; *I»'h ) = P{x(h)< х\< x(h ) < *2} •

Свойства автокорреляционной и взаимно корреляционной функции:

1.Симметричность автокорреляционной функции:

2.Корреляционная функция при tx=t2 =t обращается в дисперсию случайного процесса.

а д о = м { [я - (о - ^ (о ]2} = а д • 3. Взаимно корреляционная функция не является симметричной, но

для нее справедливо соотношение

Kxy(V2) =Ryx(t2'l)‘

Случайная функция X(t) называется стационарной, если некоторые

вероятностные характеристики случайной функции X (t + i) при любых т тождественно совпадают с соответствующими характеристиками случайной функции X(t) (в общем случае ДО считается стационарным процессом, ес­ ли все его вероятностные характеристики не зависят от времени (точнее, не меняются при любом сдвиге аргументов, от которых они зависят, по оси t). Как следствие этого, математическое ожидание случайного процесса, его дисперсия и корреляционная функция не зависят от времени).

Две случайные величины называются стационарно-связанными, ес­ ли их взаимная корреляционная функция является функцией разности ар-

функция Rxy(x) = Ryx(-x).

При определенных условиях стационарный случайный процесс об­ ладает свойством эргодичности. Стационарный случайный процесс явля­ ется эргодическим, если любая вероятностная характеристика, определяе­ мая усреднением по множеству реализаций с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, равна соответствующей характеристике, определяемой усреднением по времени одной достаточно длинной реализации данного процесса. Корреляционная функция для эргодического случайного процес­ са равна

д* м = 7 /М О - тх(О М * + о - ™х(ом*.

* о

если Т достаточно велико.

Корреляционные функции используются для идентификации систем. По результатам эксперимента можно определить необходимые корреляци­ онные функции. Корреляционную функцию в дискретном виде можно оп­

к- At = 0,

М -At =Т,

где At - шаг по времени.

Для процессов, в которых JC(/) = 0 при /<0, R ^ ik ) может быть за­

писана в виде

I М-к

К* {к)=ТГГк J\Xi*kyt’

1 М-к

Y,yty<+k М - к М

при А = 0 , 1 , (М-1).

5.2. Методы определения динамических характеристик

Следует заметить, что реальные объекты всегда нелинейны, в то время как методы расчета динамических характеристик исходят из линей­ ных представлений. Следовательно, в результате идентификации получа­ ются характеристики не реального объекта, а некоторой линейной модели. Рассмотрим методы непосредственного снятия временных и частотных ха­ рактеристик с учетом помех.

5,2.1. Статистический метод определения временных характеристик

Пусть на вход исследуемого линейного объекта поступает полезный сигнал u{t) и помеха л(/), некоррелированная с полезным сигналом. Вы­

ходной сигнал объекта *(/) описывается интегралом свертки.

*(0 = ] к и(т)и(* - T)dx+ ] к п(т)n(t - T)dT,

о о

где £ м(т),ЛТ„(т) - импульсные переходные характеристики по полезному сигналу и сигналу помехи.

Умножим левую и правую части уравнения на u(t) и проинтегрируем в указанном интервале. Тогда взаимная корреляционная функция полезной составляющей входного сигнала и выходного сигнала при условии

Rnu(x) = Q равна

о

В этом интегральном уравнении Лы(т) и ^ ( т ) известны или могут

быть определены, если имеются достаточно длинные реализации u(t)