Методы идентификации систем

Для моделирования апериодического звена второго порядка также использовался модифицированный метод Эйлера, в котором:

-шаг дискретизации должен быть в 4 раза меньше заданной посто­ янной времени, для быстрого схождения системы;

-длительность импульса равна 1,5 значениям постоянной времени, именно за это время система успевает среагировать должным образом на воздействие и не уйти в разнос;

-высота импульса должна быть в 10 раз больше коэффициента уси­

ления.

Для моделирования звена чистого запаздывания высота и длитель­ ность импульса может быть любой.

4.4. Оценивание параметров передаточной функции

Пусть модели описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями л-го порядка с постоянными коэффициентами и нулевыми

Передаточную функцию (отношение изображения выходного сигна­ ла по Лапласу к изображению входного сигнала по Лапласу при нулевых начальных условиях) можно найти, преобразуя по Лапласу обе части урав­ нения (4.5):

р пу{р ) + <*n-iPn~'y(P) + - + a-ipy(p) + о-у(р) = х(р),

где р - оператор Лапласа - комплексный параметр;

у(р) =_________ 1_________

х(р) р п + p n~la n_i + ... + а 0

Если правая часть дифференциального уравнения содержит не толь­ ко функцию х(г), но и ее производные, то в числителе передаточной функ­

Если входным воздействием на подсистему является импульсная функция (5-функция) х(г) = 8(/), для которой

xip) =L[x(tj\ = je~p'5(t)dt = 1,

то соотношение (4.6) принимает вид

yip ) _ у(р) _

= giP )•

xip)

Следовательно, передаточная функция оказывается преобразованной по Лапласу импульсной характеристикой.

В общем случае соотношение (4.6) можно записать как

Таким образом, в пространстве изображений по Лапласу выходной сигнал можно найти как произведение входного сигнала и импульсной ха­ рактеристики.

После обратного преобразования обеих частей (4.7) для любого

В теории преобразований этот интеграл носит название «интеграл свертки», в классической математике - «интеграл Дюамеля».

Импульсная характеристика g(t) также называется весовой функцией. Отклик y{t) эквивалентен некоторому взвешиванию входного сигна­

ла в различные моменты времени от 0 до t.

Для модели с постоянными коэффициентами форма отклика на входной сигнал, поступающий в систему в любой момент времени, зависит только от формы входного сигнала и не зависит от времени его поступ­ ления.

Передаточные функции находят применение при анализе систем управления. Преобразование Лапласа позволяет свести дифференциальное уравнение к алгебраическому, кроме того, исследование устойчивости и чувствительности легче выполнить в пространстве изображений. В об­ ласти изображений легко связывать одну подсистему с другой.

Частотную характеристику можно получить, заменив параметр р на усо и выделив действительную и мнимую части функции g(yco).

Пусть система линейных дифференциальных уравнений первого по­ рядка с матрицей а, не зависящей от Г, с нулевыми начальными условиями записана в виде

— + a¥ =X (t), У(0) = 0. dt

После преобразования по Лапласу выходной сигнал равен

Y(p) = ipI +a )-'X ip ).

Отсюда получим передаточную матрицу g(p) =(p l + а) *с элемен­ тами gi}.

Y(p) = g(p)X (p).

Расписав матричное уравнение по элементам,

т

уЛр ) = Y.Sij(P)Xj{p) , I = 1.2...... п,

j = 1

можно заметить, что влияние х} на yt выражается через gtj.

Каждый из элементов gtj(р ) называется передаточной функцией для

у , относительно х ..

Передаточную функцию можно получить: для моделей, представ­ ленных линейными дифференциальными уравнениями, уравнениями в ча­ стных производных, для моделей с распределёнными параметрами (содер­ жат экспоненты с параметром р в показателе. Во временной области это соответствует запаздыванию выходного сигнала относительно входного).

4.4.1. Оценивание параметров методом наименьших квадратов

Рассмотрим оценивание параметров передаточной функции методом наименьших квадратов (МНК) как во временной области, так и в про­ странстве изображений по Лапласу.

Пусть форма передаточной функции задана и требуется оценить ее коэффициенты.

Допустим, что коэффициенты передаточной функции g(p) постоян­ ны или изменяются незначительно за время, необходимое для получения оценки.

Класс функций g{t) во временной области, соответствующих g(p),

ограничим функциями, которые равны нулю при / < 0 и стремятся к нулю при / -> оо, т.е. функциями, описывающими устойчивые процессы.

Последнее условие не является слишком жестким, например при

к нулю при / -> 00.

Поскольку экспериментальные данные получают во временной об­ ласти, то вначале рассмотрим получение оценок во временной области.

Получение оценок параметров во временной области путем обратного преобразования передаточной функции

Критерии оценивания обычным методом МНК требует минимизации функции Ф.

Для непрерывных данных

0 = ,j[G(?)-g(/,P)]2d/,

О

для дискретных данных

/«I

где G(t) - наблюдаемая (эмпирическая) импульсная характеристика (слу­ чайная переменная); g(t, Р) - импульсная характеристика модели (резуль­

тат обратного преобразования по Лапласу передаточной функции); Р - век­ тор оцениваемых параметров.

Достаточные условия минимума Ф:

2.Матрица Гессе для Ф является положительно определенной.

передаточной функции g{p, Р), которые могут быть как действительны­ ми, так и комплексными, а параметры ах,а 2,... содержат действительные и мнимые части нескольких полюсов.

Заменив интегралы суммами, аналогичные уравнения можно полу­ чить и для дискретных данных.

К сожалению, весьма много векторов р удовлетворяют существенно нелинейным уравнениям (4.9).

Таким образом, использование уравнений (4.9) может привести к весьма смещенным оценкам вследствие существования нескольких экс­ тремумов для Ф.

Показано, что верхний предел числа решений равен (4d - 3), где d - порядок знаменателя передаточной функции, используемой в качестве мо­ дели.

Пример. Приготовим систему для решения методом МНК. Пусть да­ на передаточная функция

g(p, Р) = ---------------------- ----------------------- . (Р + )(р + а 2 + JP)(p + а 2 - уР)

Разложим ее на элементарные дроби:

g(p, Р) = р + а } p + a 2 +JP р + а 2 - у'Р р +р х р +р 2 р + р}

т Q•

£ф>Р)=1-— -

■p + Pj

где у] - предельное значение функции y t{t) при t-> оо, определяемой сле­ дующим образом:

7 i(0 = Я1 _ я о ^ ,

о

>'2(0 = /[y)* -> 'i(o K

о

/

Ут+ЛО= 1[у'т+„-1

О

y i= fc - y (0 } b ,

О

о

•У/я+л —{[У/л+л-1 "** З^/л+лчСО]^^*

О

Значения функции у\ можно связать с параметрами уравнения (4.10) следующим образом:

у\о)=g\(р)х1(р)=-[i- g{p)V\(р)■

р

Полагая хх(р ) = — (т.е. xx(t) = 1 при t >0) и применяя теорему о конечном

Р

значении для преобразований Лапласа, можно записать:

lim рух (р) = limfl - g (p )]- = lim y x(t) = у х,

так что ру](р)-> (а] -Ь ]) при р -> 0.

Следовательно, у* = ах-Ь х. Аналогично при x2(t) = 1