Методы идентификации систем

,- 2 ; ‘ " 2-

^1,062/ + 2,124 + 0,327/2

Таким образом шаг за шагом проходят весь заданный временной ин­ тервал управления.

10. ЭВРИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ

Наиболее простыми методами идентификации процесса являются эвристические методы идентификации. В них отсутствует строгая матема­ тическая формулировка, и их необходимо применять только в тех случаях, когда другие методы идентификации оказываются неэффективными или когда математические формулировки неадекватны. Это может быть в слу­ чае систем, имеющих существенно нелинейную природу (в соотношениях вход/состояние или вход/выход), особенно когда нелинейности не являют­ ся непрерывными по входной или выходной переменной, т.е. когда ап­ проксимации полиномами невозможны. Эвристические методы можно также применять к процессам, описываемым сложными нелинейными функциями априорно известной формы (например, известными из теоре­ тических рассмотрений), параметры которых необходимо идентифициро­ вать и для которых нежелательны аппроксимации полиномами.

Эвристический метод идентификации может привести к неодно­ значным результатам. Однако если диапазон идентифицируемых значе­ ний, к которому принадлежит искомый вектор параметров, известен, то можно, как правило, получить однозначные результаты.

Рассмотрим два основных эвристических метода идентификации, а именно: метод случайного поиска и метод прямого (градиентного) поис­ ка, в котором используется эвристическое отображение градиента. В эври­ стических методах параметры определяются с помощью итерационной процедуры. При идентификации динамических систем в процессе итера­ ции определенного параметра на выход модели влияют обусловленные изменениями параметров переходные процессы, которые необходимо учи­ тывать.

Благодаря своей упрощенной схеме эвристические процедуры иден­ тификации могут весьма долго сходиться к истинным значениям парамет­ ров. Часто эти процедуры можно ускорить, если включить их в систему управления с прогнозом. В этом случае влияние переходных процессов на предыдущих итерациях адекватно учитывается в прогнозе, так что время, в течение которого переходные процессы успокаиваются, можно не при­ нимать в расчет. Эвристические методы, основанные на процедурах слу­ чайного или прямого поиска, можно объединить. Эти методы могут быть использованы также на заключительной стадии идентификации в много­ иерархическом универсальном идентификаторе, в котором идентификация на низких уровнях начинается процедурами более высокого быстродейст­ вия.

10.1. Идентификация на основе случайного поиска

Рассмотрим динамический процесс, заданный в дискретной форме уравнением

смотрение вектор оцениваемых параметров л, компоненты которого обра­ зуют модель системы для целей идентификации, как показано на рис. 10.1. Эта модель описывается следующим разностным выражением:

где х м(к +1) - оценка вектора х на (к + 1) шаге при использовании моде­ ли ц/ с вектором оцениваемых параметров я. Вид функции v;/ должен быть задан, а компоненты вектора параметров я не известны. Функция ц/ не обя­ зательно должна быть идентична истинной (не всегда известной) функции f которая описывает действительную систему. Более того, вектор я не обя­ зательно должен иметь такую же размерность, как Р. Предполагается, од­ нако, что вектор я принадлежит к ограниченному пространству Q , т.е.

я е О ,

причем границы Q априорно заданы и определяют пространство, внутри которого может осуществляться поиск вектора я.

Действительный процесс

Рис. 10.1. Общая схема идентификации

Для организации процедуры поиска должен быть сформулирован показатель качества идентификации J(v), такой, чтобы 7(v) был изме­ ряемой скалярной функциейх(к) и хм(к) :

где v обозначает номер итерации вектора я.

Учитывая обозначения и соотношения в уравнениях (10.1>-(10.3), организуют процедуру случайного поиска следующим образом. Сначала одновременно генерируются р моделей, соответствующих уравне­ нию (10.3), таким образом, чтобы компоненты их соответствующих векто­ ров параметров я(1, т) при т = 1, ..., р (при их случайном выборе) нахо­ дились внутри Q, и оцениваются соответствующие показатели качества идентификации У(1, т) для каждой такой модели. Отметим, что п(\,т). У(1,т) относятся к т-й модели первой генерации. Если предположить, что вектор п может принимать только дискретные положения в пространстве Q и принадлежать только к одной из г (скажем, 1000) ячеек, на которые пространство и разделено, то показатель качества J определяется для каж­ дой ячейки, т.е. для каждого возможного положения п. Вероятность того, что случайно выбранный вектор п будет соответствовать ячейке, относя­ щейся к 7-/100 ячейкам, имеющим наилучшие характеристики, равна 0,01. Следовательно, вероятность того, что вектор п не будет находиться ни в одной из г!100 ячеек с наилучшими показателями качества, определяется как 1 - 0,01 = 0,99. Соответственно, когда случайно выбираются р. различ­ ных векторов я, вероятность того, что ни один из них не будет внутри г/100 ячеек с наилучшими показателями, равна 1-0,99ц, V r » p (если

ц = 228, то эта вероятность составляет 0,9).

Приведенный выше краткий анализ показывает, что число одновре­ менных вычислений, которые необходимо выполнить для идентификации, весьма значительно, если анализируется разделение пространства Q на очень мелкие ячейки. Весьма важно вычислить оценки хм для различных n{h,m) при т = 1 ,2 ,..., р , h = 1, 2 ,... одновременно, так как в противном случае необходимо часто изменять начальные условия или вводить паузу между итерациями п для устранения влияния переходных процессов на хи

из-за изменения п.

10.2. Идентификация на основе прямого (градиентного) поиска

Процедуры прямого поиска для идентификации динамических про­ цессов основаны на градиентных методах оптимизации, называемых так­ же методами крутого спуска.

В градиентной процедуре, таким образом, рассматриваются показа­ тель качества идентификации У(10.3) и обобщенная схема идентификации (рис. 10.1). Если используемой априорной информации недостаточно, то процедура начинается с произвольного выбора вектора параметров 7с(1, 1) и одновременного вычисления показателей У(1, 1) для 7с(1, 1) и У(1, т) для нескольких векторов тс(1, т \ которые случайно или симметрично выби­

раются вблизи 7с(1, 1). Одновременное вычисление показателей У(1, т) для я(1, т) вблизи я( 1, 1) необходимо для того, чтобы избежать влияния пере­ ходных процессов одной группы параметров я(1, г) на другую я(1, т), V т, или для того, чтобы исключить необходимость частого изменения началь­ ных условий. Так как показатели У(1, т) оцениваются при различных /и и я(1, 1) и при одних и тех же входных данных, то можно определить градиент и выбрать следующую группу векторов параметров по получен­ ному градиенту, для того чтобы назначить вектор я(2, 1) и новые векторы я(2, т) относительно первого вектора. Затем заново вычисляют показатели У(2, т) при новых я(2, т) и определяют градиенты до тех пор, пока после анализа нескольких дальнейших векторов я(Л, т) при h = 3, 4, вдоль градиента не будет приближенно определен минимум У(А, т). Переходные процессы из-за ступенчатых изменений от n(h, т) до я(/г+1, т) должны, естественно, заканчиваться перед вычислением У(А+1, т).

Определение градиента по оптимальному направлению, которое вы­ бирается в процедуре поиска, производится путем следующего анализа. Пусть

AJ = V /T дп

где V /T - градиент показателя качества идентификации; ДJ - изменение показателя качества вследствие изменения вектора параметров 9я, которое подчинено ограничению, заданному выражением:

мерной гиперсферы относительно заданного я .

Необходимо найти максимально возможное улучшение показателя качества ДУ при изменении параметров внутри заданной сферы г. В связи с этим определим лагранжиан таким образом:

Z, = V / T d it-X .(|d rc |2 - r 2),

где X - множитель Лагранжа. Изменение дп* для обеспечения максиму­ ма АУ удовлетворяет условию

“ - о .

дп

При этом получаем

! vy I 2r

Подставляя последнее выражение для X в уравнение (10.5), получим

дл* = — г V / ,

•V/!

где дтс* - вектор в направлении, противоположном градиенту V /

Так как каждому шагу поиска предшествует отображение показателя качества в пространстве параметров, эвристическая градиентная процеду­ ра должна сходиться к окрестности истинного минимума, когда изменяет­ ся знак градиента. На шаге итерации, при котором происходит такое изме­ нение знака, можно соответствующим образом уменьшить величину ва­ риаций в векторе л , чтобы улучшить отображение и, следовательно, точ­ нее приблизиться к истинному минимуму.

Разделим диапазон а на отрезки по 0,035, а диапазон Ъ- по 0,03, таким об­ разом получается 10000 ячеек в пространстве Q . Выберем последователь­ но 10 групп случайных величин для а, Ь:

Определим показатель качества для каждой группы, получим: J\ = 31,316265,

J2= 34,407628, j 3 = 59,744858, JA= 63.900608.

Далее находим максимальную разность между показателем качества, который получился при векторе параметров, являющемся центром окруж­ ности и найденным. После чего строим окружность с параметрами, при которых поучился наилучший показатель качества. Процедура повторяет­ ся до тех пор, пока все разности не станут отрицательными.

Через несколько итераций получены следующие результаты: а = -2,00, Ъ= 0,3 при 7= 0,014.

Примечание. У исходной системы а = -2, Ь= 1,1.