Методы идентификации систем

Раскрыв определитель, получаем уравнение для вычисления собст­ венных значений X. Оно называется характеристическим уравнением мат­ рицы А.

Применив каноническое преобразование к исходному уравнению

X = AX + BU ,

получим:

X * = V~lAVX' + V XBU,

X = V~lAV,B' = V~XB,

AT* = XX* +B'U.

Система дифференциальных уравнений примет вид

х; =х1х ; +ь;]и] +ь;2и2+...+ь;тит

х:= хпх:+ь:1и]+ь,п2и2+...+ь:тит

Таким образом, каноническое преобразование приводит к системе уравнений состояния, в которой каждая производная канонической пере­ менной состояния зависит только от соответствующей канонической пе­ ременной состояния и от входных сигналов.

На основе канонического вида дифференциальных уравнений можно сделать выводы об управляемости и наблюдаемости системы управления.

3.3. Управляемость и наблюдаемость систем. Критерий Гильберта

Система является управляемой, если она может быть переведена из

жен быть по меньшей мере один ненулевой элемент Ъ*). Следовательно, если хотя бы одна строка матрицы В9 является нулевой, то система не­ управляема.

процесс

Рис. 3.2. Пример ненаблюдаемой системы

Наблюдаемость дополняет управляемость. Наблюдаемость требует, чтобы каждое состояние системы влияло на измеряемый выходной сигнал.

Система наблюдаема, если все ее состояния можно непосредственно или косвенно определить по выходному вектору системы. На рис. 3.2 при­ веден пример ненаблюдаемой системы. Ненаблюдаемая система не может быть идентифицирована.

Критерий наблюдаемости канонических систем

Пусть система описывается следующими уравнениями. Второе урав­ нение является измерительным:

где С* = C V ; К - матрица собственных векторов.

Система, представленная в каноническом виде, наблюдаема, если ни один из столбцов С* не является нулевым, т.е. если в матрице С присут­ ствуют все X 9 Если хотя бы один столбец матрицы С нулевой, то сис­ тема становится ненаблюдаемой.

Поскольку первый столбец матрицы (? равен 0, система ненаблю­ даема.

X(j®) =G(j(£i)U(j(i>).

Получение характеристики G(yco) с помощью преобразования Фурье в случае использования ступенчатых или импульсных входных сигналов простое, так как преобразование Фурье для выходного сигнала при им­ пульсном входном сигнале есть требуемая функция G(y©), а при ступен-

G(jco) чатом входном сигнале равно ——— .

у©

Ступенчатый входной сигнал реализуется в виде возрастающей экс-

_t_

поненты (1-е т ), и самая высокая частота ©, которая может быть иден­

тифицирована с помощью преобразования Фурье, равна © = , где

Т - наименьшая постоянная времени системы.

Очевидно, входные сигналы, используемые в методах идентифика­ ции с преобразованием Фурье, должны содержать все частоты, представ-

2 л ляющие интерес при анализе системы до © = — (в идеальном случае по­

стоянная Г= 0).

Цифровое преобразование Фурье

Х{)‘ш) = ]x(t)e-ja,dl.

—оо

Интеграл Фурье заменяется суммированием.

к=0

где п - номер гармоники восстанавливаемого сигнала; к - номер отсчета аналогового сигнала при его преобразовании в цифровую форму.

Интервал времени Т в случае ступенчатых или импульсных входных сигналов должен быть больше времени, необходимого для того, чтобы ре­ акция системы изменилась до некоторой заданной минимальной величины. Таким образом, интервал At связан с самой высокой частотой в анализи­

руемой частотой характеристике, так как частота, большая не будет

иметь практического значения (в соответствии с теоремой Котельникова). На практике для вычисления преобразований Фурье и их инверсий

используется процедура быстрого преобразования Фурье (БПФ), которая в

N

--------раз быстрее процедуры прямого вычисления Х(п) и характеризуетlog2N

ся меньшими ошибками округления из-за меньшего числа необходимых вычислительных операций.

БПФ базируется на матричной форме уравнения (4.4):

F =WX,

где

F= [X(0),jr(l),

Х= [х(0),х(1),...,

wN_x

Элемент Wй определяется выражением

-У2п£

ЙГ =е *, \х=пк

в уравнении (4.4).

Матрица W симметричная, что приводит к значительному уменьше­ нию числа арифметических операций. Алгоритмы БПФ имеются практиче­ ски в каждой библиотеке вычислительных программ.

4.2.Идентификация с помощью частотной характеристики

Частотный метод идентификации линейных систем основан на алго­ ритмах Найквиста и Боде.

На вход системы подается частотный сигнал, частота которого изме­ няется в рассматриваемом диапазоне. Однако довольно сложно задавать синусоидальные сигналы с различными частотами.

Запишем передаточную функцию исследуемой системы:

а д = ^ ,

U(P)

где р - параметр преобразования Лапласа, р = а + j ®.

Если интересует изменение соотношения вход-выход в передаточной функции G(p) по частоте, то можно предположить, что а = 0, тогда

G(yco) - характеристика комплексная, поэтому необходимо рассмат­ ривать характеристики АЧХ и ФЧХ. Выделяя действительную и мнимую часть в С7(усо), определим модуль и начальную фазу:

<?(>) = а(ш)+у'р(со);

|С?(7Ш)| = л/а2(со) + Р2(со);

ср(ш) = Arg(G(co)) = arc tg -^ -. a(co)

Во временной области выход x(t) линейной системы будет иметь ту же частоту, что и вход м(/), если u(t) - синусоидальный сигнал с единст­ венной частотой со.

Пусть u(t) = М sin Ш , тогда

*(/) = N • sin(o t + у),

|G(7'CO)| = ^ - , 4/= arg|GO‘co)|.

Частотная характеристика G(y'co) определяется путем подачи сину­

соидальных входных сигналов Msin©f на различных частотах © и записи соответствующих выходных сигналов Nsin(©f+ \j/). С целью получения необходимой частотной характеристики для каждой рассматриваемой час­

тоты © определяются величины :~ ( 0)) и v|/(©).

В классической теории управления широко используются характери­ стики амплитудно-частотные (АЧХ) и фазочастотные (ФЧХ), логарифми­ ческие амплитудно-частотные (ЛАЧХ) и логарифмические фазочастотные характеристики (ЛФЧХ).

Если снять такие характеристики и построить их, то можно непо­ средственно идентифицировать рассматриваемую систему. Но это воз­ можно только для устойчивых систем, для неустойчивых частотные харак­ теристики снять нельзя.

4.3. Идентификация с помощью импульсной и переходной функции

Идентификация с помощью импульсной и переходной функции про­ водится автономно, вне процесса управления, поэтому применима только к стационарным процессам.