Методы идентификации систем

8. ИДЕНТИФИКАЦИЯ СИСТЕМ МЕТОДОМ КВАЗИЛИНЕАРИЗАЦИИ

Метод основан на преобразовании нелинейной стационарной, мно­ готочечной задачи в линейную нестационарную задачу. При этом нели­ нейность должна задаваться. Если ее вид неизвестен, то должен задаваться порядок аппроксимирующего полинома. Процедура квазилинеаризации отличается неплохой сходимостью, но только в случае, если начальные оценки параметров попали в область сходимости.

Метод относится к методам идентификации, основанным на фикси­ рованном числе измерений. Если имеется первоначальный объем измере­ ний для некоторой переменной состояния, а для других переменных со­ стояния измерений нет, то с помощью этого метода можно предсказать, как будут себя вести другие переменные состояния (неизмеряемые).

8.1. Идентификация непрерывных систем методом квазилинеаризации

Рассмотрим нелинейную стационарную систему, описываемую урав­ нением

стояния; U - m-мерный вектор управляющих воздействий; р - г-мерный вектор параметров.

Для у-й строки это уравнение имеет вид Х} = fj(X ,U ,p), вид функ­

ров - г).

Если система работает в режиме больших помех, т.е. измерения за­ шумлены, то для получения более точных значений параметров число из­

мерений должно быть больше, чем (и + г). Для решения результирующей системы можно пользоваться регрессионными методами идентификации.

Воспользуемся процедурой квазилинеаризации, т.е. разложим ис­ ходную функцию в ряд Тейлора и оставим только линейную часть ряда. Рассмотрим разложение в ряд Тейлора (р + 1)-й оценки, используя р-ю оценку.

(8.3)

Выражение (8.3) линейно относительно ZM+1, и его можно предста­

вить в виде

Решение дифференциального уравнения состоит из общего и частного решений. Обозначим общее решение Фц+iC^^o) и частное решение <7ц+1(/).

Тогда полное решение уравнения (8.3) может быть записано в виде

Выражения для ФЦ+1(М0) и #n+i(0 находятся из решений диффе­

ренциальных уравнений

образом, что удовлетворяет многоточечному граничному условию, задан­ ному (п + г) величинами или функциями XJ{tl) i которые доступны измере­ нию.

Следовательно, для уравнения (8.4) получим

^ j,\i+1(^/) Фj\i+1(^/>^0)^ц+1(^0) Яу',ц+1(^j) *

Это система N уравнений, причем N > (п + г). Для решения необхо­ димо задаться начальными оценками вектора параметров. Цель решения - найти Z^+1(/0), так как в него входят искомые параметры. Чем сильнее

выражено неравенство N > (п + г), тем точнее получим значения парамет­ ров.

уравнения (8.7).

Далее используются п + г компонентов начального вектора Z ^ \(А). Для того чтобы обеспечить единственность решения в случае за­

шумленных измерений, необходимо ввести v > п+r граничных условий. Эти условия образуют линейное регрессионное соотношение для получе­ ния п + г компонентов вектора Z ^+1 (0), как и в непрерывном случае.

Для выполнения процедуры идентификации необходимо иметь на­ чальные оценки вектора АТ(0) и начальные оценки р 0 вектора парамет­ ров р. Эти оценки должны быть как можно ближе к реальным значениям, так как сходимость гарантируется не всегда и зависит от начальных оце­ нок. Аналогично непрерывному случаю начальная оценка становится ме­ нее значимой, когда число измерений достаточно велико.

Приведем примеры решения задач методом квазилинеаризации. Задача 1. Определить параметры системы методом квазилинеариза­

ции.

Пусть задана непрерывная система первого порядка, описанная сле­ дующим ДУ:

х = ах2,

при *(0) = 0,5, х(1) = 0,27, и при начальной оценке ах= -4 . Составим систему

Используя начальные условия Ф21ц+1( ^ о ) = Ф Ф22ц+1(^ о ) = 1 и У11рощая систему ДУ, получим:

|Фпц+1 Ы = 2ацхцср11ц+1(/,/0)

(8. 10)

[Ф 12Ц + 1 (*>*0 ) = 2 ^ ^ Ф 1 2 ц + 1 ( ' . h)+4

Решая систему (8.10), находим Фпц+1(М0) и ф^ц+К'Л)-

ФЦ|1+1 Определим решение исходного дифференциального уравнения (хц).

1

хи=-----------, ац(/ + с)

где с - произвольная постоянная. Используем начальное условие х(0) = 0,5,

где С| - вторая произвольная постоянная, которая определяется из началь­ ного условия

Таким образом, окончательное выражение для функции таково:

4 Фпи = (2 - V )\2 *

Приведем решение второго уравнения системы (8.10).

Ф12,ц+1 (*>*о) - 2айхцф12ц+1(/о,*о)+ •

Воспользуемся методом Бернулли. Обозначим у = Ф12ц+1(*»*о)> Т0ГДа

(2 - V ) '

Задача 2. Идентифицируйте систему, заданную уравнением (метод квазилинеаризации)

х (к +1) = ах(к) +Ьи(к);

х(0) = 0, х(1) = 0,095, х(2) = 0,181, *(3) = 0,259;

{o.t.o

Определим начальную оценку, используя экспериментальные значе­

ния:

х(1) = ах(0) + ^1;

Ъх=0,095; 0,181 = а0,095 + 0,095;

ах=0,905.

х(к)

Введем новый вектор Z =

Pik)

х(к)

где р (к )- вектор параметров, т.е. Z = а

Ъ

Тогда исходное дифференциальное уравнение приводится к виду

Z{k + \) = X {Z (k\u[k\k).

Для стационарных систем р{к + 1) =р{к). Тогда функция X равна

ах(к) + Ьи{к)

X = а

Ь

Используя уравнение (8.7), запишем полное решение Z M+1(£), кото­ рое состоит из общего и частного решения дифференциального уравнения.

Z M+l(к) = фм+1 (k,h)ZM+l(h) + qM+l(к),

где срм+1(£,/г) - общее решение уравнения (8.7), a qM+i(k)- частное реше­

ние.

Общее решение находится из решения дифференциального уравне­

ния:

Ф12м+1 (* + 1) =ЯмФ12м+1(*) + Хм(*)ф22м+1(*):

Ф13м+1(* + О = амФПм+lW + Фззм+iWi

Ф21(к, h) = Ф23(к,h) = Ф31(*»■h) = Ф32( М ) = 0 : ф22(Аг,Л) = 1, Фзз(А:,А) = i , Vk,h.

При k =h

<Рш+1(к + 1) = ам <Рш-и(к) + 1-

Частное решение q(k) находится из дифференциальног о уравнения qu+l(k +\) = Bu(k)qM+l(k) +W(k),

где ды (И) = 0, для всех м.

H'(*)=X[ZM(t),■/(*),kh^l z»(k) oZlu

Используя начальные условия, получим

Таким образом, на основании начальных значений параметров а, b и х(к) для всех к можно определить <pM+i(£ + l) и 91м+)(^ + 1), м = 1,VA: по

(8.15), (8.16).

Составим систему уравнений

40] = Ф11,2[М]*2[Й] + Ф12,2[0>А]а2 +Ф13,2[°>Л]&2 + <7I,2[0],

^[1] = Ф11,2[!»Л]^2[Л] + Ф12.2П»А]«2 + V n a W \ b2 + 7l,2[l]>

42] = Ф11,2[2,Л]х2[А] + ф12>2[2,А]а2 + <p132[2,A]b2 + qh2[2], 43] = Фп,2[3,А]х2|7г] + ф12>2[3,А]а2 +Ф1з,2[3,А]62 + 91>2[3].

Перенося 0lf2P] в левую часть, репшм эту систему методом

Крамера и определим новые оценки: х2[h],а2,Ь2.

Итак, м = 1:

ф| 1.2(!) = °мФ11.2(°). Ф11,2(°.h) = амФ11(К h) = aM;

Ф11,2(0 = о„2' ф| 1.2 (1) = 0,905-0,905 = 0,819025;

Фп,2(2) = омФ11>20) = 0,905 • 0,819025; Фп>2(2) = 0,741217;

Ф| 1,2(3) = 0,67080 ; Ф,2,2 0) = 0; ф122(2) = 0,095; ф,2>2(3) = 0,905 • 0,095 + 0,181 = 0,266975;

Ф.3,2 (!) = 1.905; Фи 2 (2) = 2,724025; cp13i2 (3) = 3,465243; <7,2(1) = 0; 7].2(2) = -0,085975; ?12(3) = -0,2416123 .

Получена система алгебраических уравнений, и ее решение записы­ вается в виде