Физические основы микро- и нанотехнологии

Один из аспектов проведенного обсуждения дозволенных решений может вызвать сомнения. Предполагается, что волновая функция обращается в нуль при х = 0 и х = L, так как вне этих пределов она должна равняться нулю. Волновые функции, следовательно, непрерывны на стенках ящика, но их первые производные терпят разрыв. Тогда возникает вопрос: почему функция не может сама быть разрывной на стенках ящика? Причина, по которой функции такого вида не могут быть выбраны, не очевидна, пока не проделаны дальнейшие расчеты последствий такого выбора. Такие вычисления показывают, что если

Ψ-функция терпит в некоторой точке разрыв, то скорость частицы в этой точке оказывается бесконечно большой, а следовательно, бесконечна и кинетическая энергия. Поскольку предполагается, что полная энергия частицы не может быть бесконечно большой, такое решение физически неприемлемо. Таким образом, энергия квантуется по той причине, что только определенные Ψ-функции имеют физический смысл, т.е. энергия не могла бы сохраняться во время движения в потенциальном ящике частицы с некорректно заданной энергией.

Нарушение непрерывности производной от волновой функции на границах потенциального ящика возможно потому, что такое поведение Ψ-функции соответствует действию на частицу бесконечно большой силы. Поскольку стенка потенциального ящика непроницаема для частиц, мгновенная сила, действующая со стороны ящика на частицу в момент ее удара о стенку, является бесконечно большой, но в то же время чрезвычайно кратковременной.

31

Квантование энергии является следствием необходимости физически оправданного выбора решений уравнения Шредингера. Поскольку уравнение Шредингера обусловлено принципом неопределенности, покажем, что минимум энергии спектра (см. рис. 1.3) действительно предсказывается принципом неопределенности. Если частица заключена в потенциальный ящик, наибольшее возможное значение неопределенности в изменении положения частицы равно ширине этого ящика. Следовательно, ∆x = L. Пусть частица обладает импульсом р. Поскольку частица должна отскакивать после соударения от стенки к стенке, неопределенность в определении величины импульса частицы, заключенной в ящике, должна равняться 2р, так как при ударах о стенки импульс меняется от значения +р до значения –р и обратно. Следовательно, соотношение неопределенностей для максимально нелокализованной частицы (обладающей минимальной энергией) имеет вид

(∆x)(∆p)= (L)(2 p)= h.

Сучетом соотношения Е = р2/2т для энергии получаем выра-

жение

которое совпадает с формулой (1.10) при n = 1.

1.2.9. Туннельный эффект

Рассмотрим случай одномерного движения частицы вдоль оси х, когда потенциальная энергия U меняется скачком в одной точке 0. При х < 0 U = 0, а при х > 0 она равна постоянному значению U0, как это показано на рис. 1.3. Эта ситуация соответствует сильно урезанному одномерному потенциальному ящику, одна стенка которого в процессе урезания утратилась совсем, а вторая имеет маленькое конкретное значение и не равна бесконечности. График зависимости потенциальной энергии от координаты х (потенциальная кривая) имеет вид ступеньки высотой U0 и называется потенциальной стенкой. Вдоль осей у и z потенциальная энергия не меняется.

32

Неквантовая картина движения в этом поле такова: если полная энергия частицы ε <U0 , то частица, движущаяся слева направо, дос-

тигнет потенциальной стенки (в точке А) и отразится от нее. Проникнуть в область х > 0 частица не смогла бы ни при каких обстоятельствах, так как при этом ее полная энергия ε, равная соотношению p2 2m0 +U0 (которая в силу закона сохранения энергии остается неизменной), оказалась бы меньше потенциальной, так что при этом импульс p = 2m0 (ε−U0 ) стал бы чисто мнимым. Потенциальная

стенка подобна абсолютно твердой стенке.

В квантовой механике нахождение частицы внутри области ε <U не приводит к бессмысленному выводу об отрицательной кинетической энергии. Кинетические и потенциальные энергии согласно соотношению неопределенностей не имеют одновременно точных значений, так как кинетическая энергия зависит от импульса, а потенциальная энергия – от координаты. Поэтому равенство ε = p2 2m +U имеет в квантовой механике лишь тот смысл, что

в любом состоянии средняя полная энергия равна сумме средней кинетической и средней потенциальной энергий.

Согласно квантовой механике волновая функция частицы, движущейся к стенке с импульсом p = 2m0ε, представляет собой

в этой области плоскую волну де Бройля. При х > 0 полная энергия та же, что и при х < 0, но теперь в выражении для плоской волны

вместо p = 2m0ε должна стоять следующая величина: 2m0 (ε−U0 ) = i 2m0 (U0 −ε).

Эту величину уже нельзя истолковать как импульс частицы. Зависимость волновой функции от времени при х < 0 и х > 0 одна и та же, но зависимость от координат при х > 0 становится апериодической:

33

Волновая функция при х > 0 экспоненциально убывает с ростом х, как это показано на рис. 1.4. В пространстве перед потенциальной стенкой наряду с падающей волной существует и отраженная волна. При этом волновые функции перед стенкой (х < 0) и внутри нее (х > 0) связаны друг с другом, поскольку волновая функция не может прерываться. В точке х = 0 значения волновых функций и значения их производных по координате должны совпадать вследствие непрерывности волновой функции и ее первой производной.

Согласно зависимости (1.11) имеется конечная вероятность обнаружения частицы в классически запрещенной области x > 0. Эта вероятность экспоненциально убывает с увеличением координаты х. Убывание происходит тем быстрее, чем значительнее потенциальная энергия U0 превышает полную энергию частицы ε. Вероятность обнаружения частицы на расстояниях, намного больших длины волны де Бройля, мала.

Возможность проникновения частицы в классически запрещенную область дает ключ к пониманию многих процессов, существование которых с точки зрения классической механики необъяснимо. Рассмотрим простую задачу. Допустим, имеется узкая область шириной а, внутри которой потенциальная энергия равна U0. Вне этой области потенциальная энергия равна нулю. Потенциальная кривая имеет вид барьера прямоугольной формы (рис. 1.5), называемого по-

34

тенциальным барьером. Частица с энергией ε<U0 , движущаяся слева

направо, согласно классической механике не может преодолеть этот барьер и отражается от него.

В квантовой механике экспоненциально убывающая волновая функция не успевает полностью затухнуть внутри барьера и отлична от нуля в области за барьером. Это приводит к тому, что существует небольшая вероятность обнаружения частицы за барьером.

Волновая функция при х > а представляет собой волну де Бройля той же частоты (так как энергия частицы остается прежней), но с гораздо меньшей амплитудой, чем перед барьером,

как это показано на рис. 1.6. Возникает физическое явление – проникновение частиц сквозь потенциальный барьер, получившее на-

звание «туннельный эффект».

Вероятность обнаружения частицы в точке x пропорциональна квадрату модуля волновой функции Ψ 2 . Поэтому отношение двух та-

ких величин, как вероятность найти частицу за барьером в точке х = а и вероятность обнаружения частицы перед барьером в точке x = 0, согласно выражению (1.11) имеет вид

Это отношение определяет вероятность «просачивания» частицы сквозь барьер и называется коэффициентом прохождения частицы через потенциальный барьер. Главная особенность формулы (1.12) заключается в том, что очень малая по сравнению с остальными ингредиентами величина – постоянная Планка – стоит в знаменателе

35

экспоненты. Вследствие этого коэффициент прохождения через барьер для классической частицы, обладающей большой массой, чрезвычайно мал. Но чем меньше масса частицы, тем больше вероятность возникновения туннельного эффекта.

Рис. 1.6. Зависимость действительной части волновой функции Ψ от координаты х для случая прохождения частицы сквозь потенциальный барьер прямоугольной формы

Например, при высоте барьера 2 эВ и ширине 10–8 см вероят-

ность прохождения сквозь барьер для электрона с энергией 1 эВ равна 0,78, а для протона с той же энергией – только 3,6 · 10–19 (очень

маленькой величине). Если же взять макроскопическое тело – шарик массой 1 г, движущийся по горизонтальной поверхности с очень маленькой скоростью (кинетическая энергия близка к нулю), то вероятность преодоления им препятствия – лезвия бритвы толщиной 0,1

мм, выступающего над горизонтальной поверхностью на 0,1 мм, равна 10–26, но не равна нулю.

Прохождением частиц сквозь потенциальный барьер объясняется ионизация атомов в сильном электрическом поле, вырывание электронов из металла под действием электрического поля (автоэлектронная эмиссия) и многие другие удивительные явления. На использовании туннельного эффекта основано действие такого мощного аналитического прибора, как сканирующий туннельный микроскоп, позволяю-

36

щего проводить экспериментальные исследования на атомарном уровне, и многих других приборов, разработанных в последнее время с помощью нанотехнологии для целей нанотехнологии и относящихся к области наноэлектроники и одноэлектроники.

1.2.10. Квантовое состояние и вырождение

Схема энергетических уровней частицы, движущейся в трехмерном потенциальном ящике, более сложная, чем аналогичная схема для частицы, движущейся в одномерном потенциальном ящике. Эта схема представлена на рис. 1.7, где использован ряд обозначений. Для обозначения Ψ-функции используются квантовые числа, связанные с этой волновой функцией. Следовательно, Ψ-функциядлячастногонабораквантовыхчи- сел n1, n2 и n3 записывается в виде Ψ(n1, n2, n3). Она является одним из линейно независимых решений дифференциального уравнения. Эта функция характеризует возможное состояние системы, физически отличное от всех других состояний или функций. Термин «квантовое состояние» используется для обозначения состояния системы, описываемого частным линейно независимым решением уравнения Шредингера, определяемым соответствующимнаборомквантовыхчисел.

На рис. 1.7 обнаруживается явление, характерное для трехмерных задач. Можно показать, что для энергии данный энергетический уровень может быть получен путем задания нескольких комбинаций квантовых чисел. Например, второй энергетический уровень соответствует квантовым со-

стояниям (112), (121) или (211).

Указанные Ψ-функции и, следовательно, связанные с ними квантовые состояния в действительности отличаются друг от друга, как это можно увидеть, если записать Ψ-функции в явном виде:

37

Ψ211 = Asin 2Lπx sin πLy sin πLz .

Вквантовом состоянии (112) частица движется, «прыгает» туда

иобратно в направлении z с импульсом, вдвое большим, чем в направлениях х и у. В состоянии (121) частица обладает импульсом в направлении у, вдвое большим, чем в направлениях х и z, и т.д. Однако главным является то обстоятельство, что указанные три квантовых состояния обладают одной и той же энергией.

Если какой-нибудь энергетический уровень соответствует не одному, а нескольким квантовым состояниям, то этот энергетический уровень называется вырожденным. Рассмотренный нами выше энергетический уровень является трижды вырожденным, так как он может быть реализован тремя различными способами. Наинизший энергетический уровень (см. рис. 1.7) не вырожден, так как он осуществляется при единственном наборе квантовых чисел.

1.3.Электронные состояния в твердых телах

1.3.1.Энергетические уровни атома

Вто время как отдельный атом может обладать уровнем (на-

пример, n-м) с g0-кратным вырождением, этот же уровень у системы из N атомов окажется уже Ng-кратно вырожденным. Если параметр решетки рассматриваемого ансамбля атомов уменьшается, то атомы оказываются в области пространства, где существует взаимодействие между ними, и схема уровней энергии свободного атома изменяется.

Вкачестве начального шага в исследовании энергетической структуры реального твердого тела рассмотрим прежде всего изменение энергетических уровней отдельного атома при наложении на него внешней или возмущающей силы. Если возмущающая сила ока-

38

зывает воздействие на электроны атома, то энергетические уровни электронов смещаются, поскольку при этом изменяется полная энергия электронов. Может возникнуть дополнительное явление: уровни, которые ранее были энергетически вырожденными, могут при наложении возмущающей силы расщепиться на уровни с несколько различными по величине энергиями.

Причина этого расщепления заключается в том, что электроны, находящиеся в различных квантовых состояниях, но обладающие одинаковой энергией, могут по-разному взаимодействовать с возмущающей силой. Вырождение сохраняют лишь те состояния электронов с одинаковой энергией, которые одинаково изменяются под действием внешней силы и в этом смысле являются эквивалентными (или симметричными).

Когда атомы сближаются друг с другом, образуя твердое тело, взаимодействие между ними оказывает возмущающее действие на первоначальные атомные энергетические уровни. В результате при достаточно сильном сближении симметрия электронных состояний, существовавшая в изолированных атомах, нарушается, вследствие чего уровни расщепляются. Тогда единственный сильно вырожденный энергетический уровень твердого тела с большим расстоянием между атомами в решетке превращается в большое число близко расположенных друг к другу уровней твердого тела с малым межатомным расстоянием. В этой полосе (зоне) энергетических уровней сохраняется некоторое вырождение, но не столь значительное, как Ngn-кратное вырождение уровней исходной группы атомов.

Некоторые свойства полос энергетических уровней совершенно очевидны. Во-первых, энергия связи твердого тела должна обусловливаться сдвигом энергетических уровней электронов, подобно тому, что происходит при образовании химической связи. Следовательно, при образовании твердого тела энергетические уровни должны в среднем смещаться вниз. Во-вторых, больше всего подвержены возмущающему воздействию соседних атомов наиболее удаленные от ядра, или валентные, электроны, так как они расположены ближе всех остальных электронов к соседним атомам. В-третьих, равновесное расстояние между атомами решетки

39

должно соответствовать минимуму энергии, поскольку при дальнейшем сближении атомов энергетические уровни начинают смещаться вверх. В-четвертых, состояния исходной системы при сближении атомов должныдеформироватьсянепрерывнымобразом.

Число состояний в твердом теле должно равняться числу состояний в исходной системе отдельных атомов.

Таким образом, поскольку каждый атомный уровень такой системы с большим расстоянием между атомами дает число состояний, равное Ngn, энергетическая зона (полоса), соответствующая этому уровню при межатомном расстоянии, соответствующем параметру решетки реального кристалла, также должна состоять из Ngn уровней. Следовательно, в s-зоне могут находиться лишь два электрона на атом, в р-зоне – шесть и т.д.

Чтобы понять физическое происхождение энергетической структуры кристалла, следует детально рассмотреть, по крайней мере, три вопроса: 1) какова природа сил притяжения между атомами; 2) какова природа сил отталкивания, действующих при сильном сближении атомов друг с другом; 3) какова степень расщепления энергетических уровней вследствие взаимодействий между атомами.

Ответ на первый вопрос дать трудно, поскольку он различен для разных структур твердого тела. Ответ на второй вопрос дать немного проще. Атомы отталкиваются при сближении друг с другом в основном потому, что каждому данному электронному состоянию соответствует определенная область пространства. Принцип запрета Паули постулирует, что одинаковые волновые функции различных атомов не могут локализоваться в одной и той же области пространства, так как в этом случае они будут описывать одно и то же состояние. Если атомы сближаются так, что пространственная область, в которой определены волновые функции, становится все меньше и меньше, происходит пространственное перекрытие волновых функций и возникают условия, при которых принцип Паули не может удовлетворяться, и в силу действия принципа неопределенности энергия системы возрастает.

Уменьшение области пространства, в котором определена волновая функция, можно трактовать как уменьшение ∆x. Тогда значения ∆p и, следовательно, р должны возрастать, в результате чего

40