Прикладная теория колебаний

где ∆xII , ∆xIII – динамические перемещения на втором и третьем участках нагружения.

Тогда

A3 = ∆xст sin ωT1 ,

ωT1

B3 = − ∆xст (1−cosωT1 ). ωT1

Уравнение движения на третьем участке имеет вид

Коэффициент динамичности Kд = ∆x ,

∆xст

T

где T – период собственных колебаний конструкции. Максимальное динамическое перемещение x1 д определя-

ется величиной (Kд )max :

Аналогично решается задача при возрастании P(t) и при других произвольных изменениях сил.

81

4.2.Импульсное нагружение тонкостенной оболочки

сзаполнителем

Рассмотрим возможность определения динамических характеристик конструкции на примере плоской модели, состоящей из комбинированной тонкостенной оболочки и вязкоупругого заполнителя, прочно скрепленного с ней. Расчет ведем только для радиальных осесимметричных колебаний при начальных условиях u(rk) = u0, t = 0, где u0 – начальное радиальное перемещение внутреннего канала заполнителя; rk – радиус внутреннего канала.

Такие условия можно интерпретировать как быстрый сброс внутреннего давления, который приводит представленную механическую систему в колебательный режим. В общем виде решение для функции радиального перемещения запишем в форме

на соответствующего порядка.

С учетом граничных, начальных условий и условия совместимости деформаций заполнителя и оболочки и при условии, что радиус оболочки R равен наружному радиусу заполнителя r, можно найти решения для перемещений u(r), радиальных εr и окружных εo деформаций и радиальных σr и окружных σо напряжений в заполнителе и оболочке. Ввиду малости колебаний используем линейную зависимость между напряжениями и деформациями. Таким образом,

82

где штрихами обозначены производные от функций Бесселя и Неймана; λ – коэффициент Ляме; G – модуль второго рода; η – коэффициент потерь материала заполнителя.

Виброускорения найдем по формуле

На рис. 4.3–4.7 приведены расчетные значения параметров динамического состояния системы.

Рис. 4.7. Расчетные значения окружных деформаций оболочки

84

При принятых исходных данных определяется амплитуда виброперемещений или параметры напряженно-деформиро- ванного состояния в заполнителе и в оболочке. Кроме того, можно определить время переходного процесса и величину виброперегрузок как в заполнителе, так и в оболочке. Если расчетные значения не удовлетворяют техническому заданию, то следует задать новые исходные параметры механической системы и расчеты повторить. Такой перебор вариантов с учетом критериев существенно ограничивает область возможных и целесообразных проектных параметров.

4.3. Удар

При ударе скорость элемента конструкции изменяется на конечную величину за короткий промежуток времени, а усилие определяется выражением

д g

где Рд – динамическая нагрузка (сила инерции в момент соприкосновения с телом); Q – вес падающего груза; j – ускорение динамического процесса.

К основным параметрам удара относятся следующие: 1. Коэффициент динамичности

δ

Kд = δд , δд = Kдδст, (4.23)

ст

где δд, δст – динамическое и статическое перемещения. 2. Напряжения (динамическое и статическое):

где F – площадь взаимодействия тел.

85

Определим значение коэффициента динамичности при условии, что K = Wд.

С учетом (4.26) и (4.27) запишем:

86

Тогда

Следовательно, коэффициент динамичности

Область применения линейной гипотезы колебаний:

где σт – характеристика материала стойки (предел текучести); nт – запас прочности, nт =1,4...1,6.

Пример 1. Груз Q весом 50 Н, прикрепленный к стальной проволоке диаметром 3 мм, свободно падает от точки А с ускорением g.

Определить напряжение в проволоке, когда верхний конец внезапно остановлен. Массой проволоки пренебречь.

Напряжения в проволоке определим по формуле

Следовательно, при длине проволоки l = Н имеем:

Пример 2. Определить напряжение σ в канате, поднимающем груз Q со скоростью v, при внезапном торможении. С учетом равенства работ потенциальной и кинетической энергии запишем:

Кинетическая энергия полностью превращается в потенциальную.

88

Отсюда

Пример 3. Определить напряжение в стальном канате, опускающем груз (Q = 45 кН) со скоростью v = 1 м/с, в случае внезапной остановки в момент, когда груз опустился на 18 м. Сечение каната 16 см2, модуль упругости E = 1,05 · 105 МПа.

Определим статическую деформацию каната:

δст = EFQl = 0,48 10−2 м = 0,482 см.

Коэффициент динамичности

Напряжение в канате

σд = Kдσст =157,5 МПа.

Определим напряжения от удара при изгибе на примере балки на двух опорах:

Для балки на двух опорах

89

Для балки-консоли

(σcт )max = MQl ;

сопр

σд = Kд (σcт )max ,

где Мсопр – момент сопротивления сечения балки.

4.4.Удар движущегося объекта

отупиковые ограждения

Рассмотрим случай удара движущейся с небольшой скоростью СДМ о жесткую преграду (рис. 4.9).

Рис. 4.9. Схема взаимодействия СДМ и преграды

По теореме об изменении кинетической энергии системы работа

где G – вес машины.

90