Прикладная теория колебаний

Обычно бывает достаточно рассматривать первые четыре формы упругих колебаний. Таким образом, в обоих случаях эта задача сводится к решению системы уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами, т.е. к исследованию линейной системы.

5.7.1. Механическая проводимость системы

Уравнение вынужденных колебаний системы с затуханием под действием силы P(t) = P0 sin ωt имеет вид:

Рассмотрим решение этого уравнения в комплексном ви-

ханической проводимостью системы.

Тогда решение исходного дифференциального уравнения (5.24) можно записать в виде:

Таким образом, реакция линейной системы на возмущающую силу, изменяющуюся по гармоническому закону, получается умножением возмущающей силы на величину механической проводимости.

5.7.2. Переходная проводимость системы

Рассмотрим действие возмущения в форме ступенчатой

Такую функцию можно получить как предел надлежащим образом выбранной непрерывной функции

Действительно, если ограничиться рассмотрением главных значений многозначной функции (5.28) в интервале

− π2 < arctg αt < π2 , то

Если точка скачка перемещается из точки t = 0 в точку t = τ (рис. 5.7), то единичная функция записывается в виде 1(t – τ).

112

Единичная ступенчатая функция вызывает заброс, равный 2, т.е. коэффициент динамичности λ = 2.

5.7.3. Импульсная переходная функция

Большое значение в анализе колебательных систем имеет реакция системы на δ-функцию, которую можно рассматривать как производную от единичной случайной функции. Для определения δ-функции рассмотрим производную от соответствующей непрерывной функции

113

Функцию δ(t) можно рассматривать как предел непрерывной функции δ(t, α) при α → 0:

Следовательно, δ-функция равна 0 при t ≠ 0 и равна бесконечности при t = 0, так как δ(0, α) =1/ πα.

Если δ-функцию рассматривать сдвинутой по оси абсцисс в точку t = τ, то она записывается в виде δ(t – τ). Часто δ-функ- цию записывают в следующем виде:

Реакция системы на δ-функцию называется импульсной переходной функцией h(t). Для примера рассмотрим уравнение вида

114

Второй интеграл выражения (5.36) стремится к нулю, так как в окрестности t = 0 y является конечной величиной, т.е. y < M и интеграл ограничен величиной 2Mε, которая в преде-

ле при ε → 0 стремится к нулю. Следовательно, в пределе вы-

Между переходной проводимостью системы и импульс-

5.7.4. Интеграл Дюамеля

Рассмотрим реакцию линейной системы на действие силы F(t) (рис. 5.10), произвольно изменяющейся по времени. Функцию F(t) можно приближенно представить в виде суммы случайных функций. В качестве независимой переменной принимается величина τ.

В момент (τ + ∆τ) реакция на случайную функцию с ординатой ∆F(τ) определяется выражением

∆y(t) = ∆F(τ)A(t −τ).

Реакцию на всю совокупность ступенчатых функций от τ = 0 до τ = t находим по принципу наложения (рис. 5.11):

τ=t

y(t) = F(0)A(t) +∑∆F(τ)A(t −τ) =

116

Переходя к определенному интегралу при ∆τ → 0, полу-

чим:

y(t) = F(0)A(t) + ∫t dF(τ) A(t −τ)dτ,

0 dτ

или, интегрируя по частям, получим:

где

h(t −τ) = dA(t −τ) . dt

Эти интегралы известны как интегралы Дюамеля.

5.7.5. Реакция линейной системы на случайные возмущения

Определим соотношения, с помощью которых можно проводить анализ реакции динамических систем на случайные возмущения.

Примерный вид функции механической проводимости и спектральной плотности изгибающего момента при определенном спектре, характеризующем внешнее воздействие, показан на рис. 5.12.

Рис. 5.12. Спектральные плотности воздействия (а), выхода (в), механическая проводимость системы (б)

117

Соотношение (5.41) для стационарного процесса (в этом случае возмущение действует все время) можно записать в виде

y(t) = ∫t F(τ)h(t −τ)dτ.

−∞

Это выражение не изменится, если вместо t положить верхний предел интегрирования равным +∞, так как величина h(t −τ), очевидно, равна 0 для неотрицательного аргумента.

Поэтому для t < τ < +∞ подынтегральное выражение также равно нулю и, следовательно,

где σ′ введено в выражение для y(t + τ).

118

Так как положение интервала 2T при стационарной функции не влияет на результат, то, положив t′ =t −σ, можно получить связь между значениями входной Rвх и выходной Rвых функций:

−∞ −∞

Более важной зависимостью является соотношение между спектральными плотностями входного Sвх(ω) и выходного

Sвых(ω) сигнала. Это соотношение можно вывести, используя зависимость

5.8. Случайные колебания автомобильного крана

Рассмотрим случайные колебания автомобильного крана в продольной плоскости при движении по дороге, характеризующейся заданной спектральной функцией неровностей. Упрощенная расчетная схема автомобильного крана показана на рис. 5.13. Колебания в продольной плоскости возникают при одинаковом профиле дороги под левыми и правыми колесами. Различие в этом профиле вызывает колебания в поперечной плоскости. Вследствие линейности системы и симметрии конструкции эти виды колебаний можно рассматривать независимо.

Рис. 5.13. Схема автомобильного крана

Составим уравнения движения автомобиля, выбрав в качестве координат вертикальные перемещения переднего x1

120