Прикладная теория колебаний

Раскрывая определитель по первой строке и группируя члены, получим кубическое уравнение относительно ω2:

Рассматриваемая система из трех масс имеет три комбинации взаимных продольных смещений, что следует из решения уравнения (3.7), поэтому и существуют три частоты и формы колебаний.

Одна из частот ω32 = 0, а это физически означает, что все

три массы перемещаются как единое целое.

Две других комбинации получаются из решения биквадратного уравнения

где ω1, ω2 – частота 1-го и 2-го тона соответственно.

3.1.2. Определение форм колебаний

Формы колебаний необходимо определять: во-первых, для выяснения мест максимальных деформаций, а следовательно, мест максимальных динамических напряжений; во-вторых, для определения максимальной величины самой деформации – самих динамических напряжений.

При рассмотрении трехмассовой системы мы выяснили, что каждая масса находится в двух колебательных и в одном поступательном движении (относительно неподвижной системы координат) как единое целое.

71

Общее решение системы:

где Аi,j – амплитуда колебаний i-й массы при j-й частоте. Значения Аi,j, ϕj определяются из начальных условий, на-

пример, из перемещений и колебательной скорости V в момент времени t = 0:

x3 t=0 = 0; x3 t=0 =V.

При построении форм колебаний важно найти соотношения между амплитудами масс для каждой частоты. Для этого используют систему алгебраических уравнений (3.5), подстав-

Поскольку два уравнения являются линейно зависимыми, то можно определить лишь соотношения амплитуд, т.е. решить систему с точностью до постоянной, полагая

Аналогично для ω= ω2:

На основании вычислений строят формы колебаний соответственно при колебаниях с частотой ω1 и ω2.

3.2. Расчет поперечных колебаний конструкций

3.2.1. Энергетический способ определения частот собственных поперечных колебаний конструкции

Для расчета частот поперечных колебаний примем следующие допущения:

–конструкцию представляем балкой с постоянной осредненной изгибной жесткостью (EJ )cp = const = EJ;

–конструкцию представля-

ем в виде распределенной постоянной погонной массы µ, а по длине будем полагать, что имеется ряд сосредоточенных масс грузов mi (рис. 3.2).

Точность расчетов 5–10 %. Суть метода заключается в использовании закона сохранения энергии системы при условии пренебрежения энергией рассеивания за счет внутреннего трения

в среде, т.е. при условии равенства максимальной потенциальной энергии деформации балки и максимальной кинетической энергии балки при колебаниях:

Wmax = Kmax .

73

При свободных поперечных колебаниях балки ее прогиб y(x, t) можно записать в виде произведения двух функций:

y (x, t ) = y (x)sin ωt.

При этом прогибе в сечениях балки возникает изгибающий момент

Потенциальная энергия деформации балки длиной L = 2l определяется в основном энергией изгиба, т.е.

а кинетическая энергия определяется энергией конструкции и сосредоточенных масс:

где y(x) – форма изгиба при колебаниях. Она определяется граничными условиями опирания балки.

74

Приближенность формулы заключается в степени представления формы изгиба. Точность расчета ω зависит от точности представления формы изгиба для конкретного случая.

Например, для шарнирного опирания с постоянной массой и жесткостью без грузов mi

где n – номер тона, n = 1, 2, 3…

При произвольных условиях опирания имеем:

где k – коэффициент, зависящий от схемы опирания конструкции, при шарнирном опирании k = nπ, для свободной балки

k= 2n2+1 π.

3.2.2.Расчет частот поперечных колебаний металлоконструкций при переменных конструктивных

параметрах

Для примера рассмотрим колебания стрелы крана

(рис. 3.3).

Рис. 3.3. Динамическая модель конструкции стрелы крана

75

Осредненную погонную массу конструкции µcp и изгибную жесткость (EJ)cp представляем в следующем виде:

где L – длина стрелы; li – длина i-го участка; (EJ)i – изгибная жесткость i-го участка; mi – сосредоточенные массы, i = 1, 2, 3, 4.

Можно принять:

– для 1-го тона колебаний

– для 2-го тона колебаний

Тогда

76

3.2.3. Меры борьбы с вредными влияниями вибраций

Борьба с вибрациями конструкций – очень сложная задача. Это объясняется большим разнообразием колебаний и причинами их возникновения, а также тем, что частоты собственных колебаний изменяются при работе.

Среди мер борьбы с вибрациями получили распространение следующие [6]:

1)отстройка от резонанса путем изменения конструкции, т.е. изменения ее жесткости или массы;

2)уменьшение амплитуд возникающих сил;

3)постановка демпферов;

4)изменение места расположения гидроцилиндров либо установка фильтров в систему управления.

4.ДИНАМИЧЕСКИЕ НАГРУЗКИ НА КОНСТРУКЦИЮ ПРИ БЫСТРОМ ИЗМЕНЕНИИ ВНЕШНЕГО ВОЗДЕЙСТВИЯ

При решении многих практических задач вынужденные и собственные колебания конструкции сводятся к колебаниям системы с одной степенью свободы. Например, при продольных колебаниях могут быть:

– колебания конструкции при выгрузке грунта;

77

– колебания 2-массовой конструкции при запуске двига-

теля;

– продольные колебания конструкции при резкой остановке.

4.1. Расчет коэффициентов динамичности при спаде усилия

Рассмотрим случай динамического воздействия при запуске и выключении двигателя, полагая, что сила изменяется по линейному закону. При спаде усилия различают три участка

(рис. 4.1):

I. P(t) = P;

II.P(t) = P 1− t , где Т1 – время спада усилия;

T1

III. P(t) = 0.

Составим уравнение движения 2-массовой системы, к которой мы условно приводим данную задачу (рис. 4.2). Для этого умножим первое и второе уравнение на коэффициенты, указанные справа от системы уравнений, и из первого уравнения вычтем второе:

78