Прикладная теория колебаний

тановить. Этот вопрос окончательно может решить только математическая теория явления.

1.4.Автоколебания

1.4.1.Общие сведения об автоколебаниях

Автоколебания принципиально отличаются от остальных колебательных процессов тем, что для поддержания стационарного режима в таких системах не нужно периодических воздействий извне. Колебания скрипичной струны при равномерном движении смычка, колебания в генераторе радиоволн, колебания в органной трубе, колебания маятника часов и т.д. являются типичными примерами автоколебательных процессов.

Во всякой реальной системе при стационарном колебательном процессе энергия переходит в тепло или передается другим телам. Поэтому каждая автоколебательная система должна иметь источник энергии, который покрывал бы ее расход. Обычно источник энергии устроен так, что он дает постоянное во времени воздействие. Устройство автоколебательной системы таково, что при колебаниях в ней источник производит переменное действие, которое и поддерживает стационарный колебательный процесс. Переменное воздействие обеспечивает необходимый приток энергии, покрывающий потери при колебаниях.

При анализе автоколебательных систем (правда, не для всех случаев) полезно различать следующие основные элементы: 1) основную колебательную систему; 2) звено «обратной связи», управляющее источником энергии. Основная колебательная система в изолированном виде способна совершать затухающие собственные колебания. Обратная связь связывает основную колебательную систему с источником. Колебания в основной системе так влияют на источник энергии, что он дает переменную силу, действующую через обратную связь на основную систему.

31

Рассмотрим для примера простую схему генератора электромагнитных колебаний – схему лампового генератора

(рис. 1.14).

Рис. 1.14. Ламповый генератор с колебательным контуром в анодной цепи

Колебательный контур, состоящий из катушки связи L, сопротивления R и конденсатора С и находящийся в анодной цепи лампы, представляет основную колебательную систему. Катушка L' и катодная лампа составляют цепь обратной связи.

Механизм возникновения колебаний можно представить себе так: от какого-то небольшого толчка в контуре LC возникли собственные колебания, которые через катушку L' воздействуют на сетку лампы и тем самым изменяют ток iа, идущий через лампу и контур. Колебания тока iа, проходя через контур, усиливают колебания в нем. Амплитуда колебаний в контуре начинает возрастать, пока колебания анодного тока не достигнут наибольшей возможной величины. Процесс нарастания колебаний называется самовозбуждением. При установившемся автоколебательном процессе все потери энергии при колебаниях восполняет анодная батарея.

Автоколебательный процесс имеет следующие основные особенности:

1) самовозбуждение колебаний,

32

2)зависимость частоты и амплитуды установившихся автоколебаний только от параметров системы,

3)произвольность фазы автоколебаний.

Здесь уместно вспомнить, что при собственных колебаниях частота определяется параметрами системы, а амплитуда и фаза – начальными условиями; при вынужденных колебаниях частота определяется внешней силой, а амплитуда и фаза определяются системой и внешней силой.

1.4.2. Генератор электромагнитных колебаний

Теперь более подробно рассмотрим теорию колебаний в генераторе (см. рис. 1.14).

Пусть в контуре по какой-либо причине возникли колебания; тогда они будут иметь место во всех цепях системы. Обозначим: ток через конденсатор IС, ток через катушку контура IL и анодный ток лампы iа. Параметры катушки связи и контура

и условие равенства токов в разветвлении:

из (1.15) и (1.16), получим основное уравнение генератора:

Анодный ток лампы iа зависит от разности потенциалов между сеткой и катодом Vс и разности потенциалов между анодом и катодом Va, т.е. iа есть функция Vc + DVа, где D – константа.

33

где iа0 – ток в рабочей точке; ∆V – отклонение управляющего напряжения Vy от постоянного (равновесного) Vy0, ∆V = = Vy – Vy0. Теоретическая кривая (1.20) отмечена на рис. 1.15 пунктиром.

Постоянные величины S и K определяются свойствами лампы: S – крутизна характеристики (измеряемая обычно в мА/В), представляет производную тока по напряжению в рабочей точке А; K – напряжение насыщения, которое, как можно видеть из формулы (1.20), равно такому значению ∆V, при котором d(di∆aV ) = 0.

Заметим, что теоретическая кривая по формуле (1.20) только на некотором участке вблизи точки А будет близка к действительной зависимости, примерно на участке величиной 2K. Если при колебаниях напряжение ∆V будет значительно выходить за пределы этого участка, то теория, учитывающая закон, представленный формулой (1.20), не будет уже количественно отражать процессов в генераторе. Однако такое «грубое приближение», учитывающее нелинейную зависимость анодного тока от управляющего напряжения, будет гораздо точнее и вернее отображать реальный процесс, чем теория, предполагающая линейную зависимость между iа и Vy.

Если бы рабочая точка была выбрана не на середине характеристики, то для аппроксимации характеристики (см. рис. 1.15) полиномом надо было бы взять в (1.20) еще члены, содержащие вторую степень ∆V (или более высокие степени).

Установим связь между управляющим напряжением и колебаниями в контуре. По схеме (см. рис. 1.14) видно, что напряжение на аноде лампы

Полагаем, что во время процесса ток в цепи сетки равен нулю; тогда напряжение на сетке лампы

35

В формуле (1.22) перед коэффициентом связи М поставлено два знака, так как перемена концов одной из катушек при неизменном расположении их ведет к изменению знака коэффициента М.

Подставив (1.21) и (1.22) в формулу для управляющего напряжения (1.18), получим:

Vy =Vc + DVa = Ec + DEa +(±M − DL) dIdtL − DRIL . (1.23)

Исходя из (1.19), изменение управляющего напряжения можно записать так:

Предполагаем, что в генераторе будут иметь место почти синусоидальные процессы с частотой, близкой к собственной частоте ω. Тогда при достаточно большой добротности контура Q можно пренебречь последним членом в (1.24). Действительно, DLdIdt L имеет амплитуду DωIL0 , где IL0 – амплитуда

тока; последний член имеет амплитуду DRIL0 , которая при

Q = ωRL будет в Q раз меньше амплитуды предыдущего члена

(Q > 1). Введем новую переменную x = IL −ia0 ; тогда уравне-

ние генератора (1.17), учитывая характеристику лампы (1.20) и (1.24), можно после преобразования записать так:

где для сокращения приняты следующие обозначения:

36

Уравнение (1.25) – нелинейное дифференциальное уравнение, содержащее третью степень от x. Таким образом, анализ процессов в генераторе сведется к решению и исследованию нелинейного дифференциального уравнения (1.25).

Прежде чем перейти к этому вопросу, отметим, что важный практический вопрос о возбуждении колебаний в генераторе, или, как говорят, о самовозбуждении колебаний, можно решить (в данном случае) рассмотрением линейного приближения уравнения (1.25), полагая в нем γ = 0. Это физически значит, что мы пока рассматриваем только малые колебания около состояния равновесия, при которых характеристику лампы (1.20) можно считать линейной (см. рис. 1.15).

Тогда вместо (1.25) можем записать:

Из этого уравнения видно, что колебания будут нарастать, если α > 0, или по формуле (1.26)

MS – LSD – RC < 0. (1.28)

Обычно член LSD очень мал; тогда получаем условие самовозбуждения:

В том случае, когда генератор имеет колебательный контур в цепи катод – сетка, а катушку обратной связи в анодной цепи (рис. 1.16), уравнение генератора при тех же предположениях будет иметь несколько иной вид. Если возьмем такую характеристику лампы, которая показана на рис. 1.15

37

и представлена выражением (1.20), то уравнение генератора примет вид

где x – напряжение на конденсаторе контура;

α= ±MSω2 − RL ,

γ= ± ω2MS .

K 2

Рис. 1.16. Генератор с колебательным контуром в цепи катод – сетка

Отличие (1.30) от (1.25), если не обращать внимания на величины параметров α и γ, заключается только в виде нелинейного члена: ранее в (1.25) было γx3 , теперь в (1.30) – γx2 x.

Отметим, что при анализе уравнений (1.25) и (1.30) не будет принципиальной разницы между ними, кроме некоторого различия в окончательном результате.

38

2.ДИНАМИЧЕСКОЕ ДЕЙСТВИЕ НАГРУЗОК НА КОНСТРУКЦИЮ СТРОИТЕЛЬНЫХ

ИДОРОЖНЫХ МАШИН

2.1. Источники и виды колебаний конструкций СДМ

На конструкцию строительных и дорожных машин (СДМ) в общем случае действуют постоянные по времени нагрузки.

Нагружение считается динамическим, если время изменения действующих нагрузок мало по сравнению с периодом собственных колебаний конструкции (или соизмеримо с ним).

Если внешние и внутренние силы не уравновешены, что может быть вызвано однократным воздействием внешней силы или силой, периодически изменяющейся во времени (возмущающей силой), то упругая система отклоняется от равновесного состояния и возникают колебания. При колебаниях напряжения и отклонения упругой системы от равновесного состояния периодически изменяют свои значения.

Колебания конструкции могут возникать в следующих режимах:

–неустановившееся движение (разгон-торможение) в условиях одновременного движения всех масс привода механизма;

–движение, когда массы конструкции машины и тел объектов воздействия вовлекаются в движение не одновременно,

апо мере выбора слабины, люфтов, деформаций грунта при его сдвиге;

–внезапный удар о непреодолимое препятствие или обрыв какого-либо элемента конструкции (например, каната грузоподъемного механизма).

Динамические нагрузки определяются внешними и внутренними динамическими воздействиями. Внешние динамические воздействия перечислены выше, а внутреннее динамиче-

39

ское воздействие – работа двигателей. В подавляющем большинстве приводов современных землеройных машин имеются фрикционные муфты включения, которые многократно включаются и выключаются, что ведет к работе системы в переходных режимах в неустановившемся движении. Периоды включения и выключения муфт характеризуются значительными изменениями скоростей скольжения. Выключение может быть причиной возникновения автоколебаний системы, которые приводят к значительному повышению напряжений в элементах конструкции.

В состав СДМ входят узлы и агрегаты различного назначения. Эти элементы обладают массой, моментами инерции, жесткостью связей и другими параметрами. Элементы взаимодействуют между собой и подвергаются воздействию разных динамических нагрузок. Все это отражается на эквивалентных динамических схемах, представляющих собой объединение всех элементов СДМ и используемых для расчетов.

На рис. 2.1 для примера показана схема работы рыхлителя и механизм возникновения динамических нагрузок от внешних воздействий (на схеме указаны: вес машины G, сила тяги Т, усилия копания Рг и Рв (горизонтальные и вертикальные), реакция грунта R и геометрические параметры машины и ее рабочего органа а, h, c). При продвижении зуба в грунте сила

Рис. 2.1. Схема работы рыхлителя

40