Прикладная теория колебаний

Поскольку скорость в момент сжатия равна 0, K2 = 0, и тогда

где c – жесткость конструкции и преграды; λд – величина суммарного сжатия ножа и тупикового ограждения.

Учитывая, что сила, действующая на бульдозер, будет совершать отрицательную работу, получим:

или, приравнивая (4.37) и (4.39), получим:

−Gv2 = − Pд2 . 2g 2с

Сила после наезда

д g

Например, при весе машины G = 60 т и v = 0,1 м/с сжатие от Р = 1 т равно 1 см, следовательно:

91

4.5. Определение допустимой скорости транспортировки

В практике эксплуатации строительных и дорожных машин часто встречаются задачи по определению допустимых с точки зрения динамических нагрузок на конструкцию параметров движения транспортных средств. Рассмотрим определение допустимой скорости движения прицепа и собственных частот колебаний конструкции [9] .

Для прицепа массой m, двигающегося со скоростью v (точка 0 не имеет вертикальных перемещений) (рис. 4.10), определим скорость установившегося движения системы, когда амплитуда колебаний достигает максимальной величины.

Рис. 4.10. Расчетная модель прицепа

Допустим, что жесткость шин намного больше, чем жесткость рессор с. Неровности дороги описываются уравнением

h= h0 1−cos 2lπx ,

1

где x = vt; h – высота неровности; h0 – амплитуда неровностей; l – длина волны.

Момент инерции массы прицепа относительно точки 0 равен J0. Трение вязкое, коэффициент трения α. Масса колес при-

92

цепа по сравнению с массой прицепа m мала, ею можно пренебречь.

Воспользуемся уравнением Лагранжа второго рода. Определим кинетическую и потенциальную энергию и диссипативную функцию Рэлея:

Очевидно, что D = hl0 , а для определения постоянных A

и B получим систему уравнений:

Эксперименты показывают, что при возрастании числа опытов частотность ν/n определенного события A стремится к некоторому более или менее постоянному значению, что отражено на рис. 5.1.

Рис. 5.1. Зависимость частотности опытов от числа опытов

Устойчивость частотности для большого объема испытаний, повторяемых при одинаковых условиях, известна давно. Имеются основания допустить, что для любого события A, связанного со случайным экспериментом, можно определить такое число P, при котором частотность появления события A при большом повторении опыта приблизительно будет равна P. Это число P называется вероятностью события A. Ясно, что

0 ≤ P ≤ 1.

Если событие A является невозможным, то Р = 0. Если же A достоверное событие, то Р = 1.

В качестве примера случайной величины рассмотрим усилие N, измеряемое в элементе конструкции.

Пусть при первом измерении получено значение усилия N1, при втором N2 и т.д., при n-м измерении Nn. Будем откладывать на графике вдоль оси абсцисс величину N, а вдоль оси ординат вероятность того, что усилие не превышает значения N = x. Эту вероятность приближенно можно определить при помощи суммирования частотностей всех измеренных значений усилий, меньших или равных х. Обозначим ее Р(N ≤ x). Полученные значения вносим в таблицу и строим по ним график.

98

Кривая F(x) = Р(N ≤ x) называется кривой интегрального распределения вероятностей

(рис. 5.2).

Интегральная функция распределения F(x) есть неубывающая функция x, и для нее справедливы соотношения:

0 ≤ F(x) ≤ 1, F(–∞) = 0, F(+∞) = 1.

Производная от функции распределения

dF(x) = ω

dx

(x), (5.1)

если она существует, называется плотностью вероятности или функцией распределения случайной величины.

Распределение бывает двух типов – дискретное и непрерывное.

Случайная величина x называется величиной дискретного типа, если она может принимать конечное или бесконечное счетное множество значений, т.е. такое множество значений, элементы которого могут быть занумерованы в каком-нибудь порядке и выписаны в последовательность х1, х2, …, х.

Распределение дискретной случайной величины х будет полностью определено, если указать для любого значения v(v ≠ 1, 2, …) вероятность Рv того, что х принимает значение х0. Так как вероятность того, что события х1, х2, …, х произойдут, равна 1, то

n

∑Pv =1.

v=1

При этом интегральная функция распределения F(x) задается соотношением

99

где суммирование распространено на все значения индекса v,

При измерении нагрузок исследуют, как правило, непрерывные случайные величины, т.е. переменные, которые могут принять любое значение в одном или нескольких интервалах.

Для непрерывной величины х функция распределения Р(х)

Распределение непрерывной случайной переменной величины можно представить графиком функции распределения или графиком плотности вероятности данного распределения ω(x)

Рис. 5.4. Плотность вероятности (рис. 5.4).

100