Прикладная теория колебаний

положим, что они определяют две составляющие одного процесса, так что общий эффект определяется путем сложения этих кривых. Результат такого сложения показан на рис. 1.5, б и обнаруживает явление биений. Расстояние (по оси времени) между точками А и В определяет то время, по прошествии которого число циклов колебаний большей частоты будет на единицу превышать число циклов колебаний меньшей частоты. Чем меньше разность частот для составляющих, тем больше длина интервала АВ. В этом состоит основа метода для чрезвычайно точных измерений малых разностей двух близких частот; так работают некоторые измерительные приборы, где для контроля «формы» колебаний применяются вспышки стробоскопических ламп, управление которыми также основано на принципе биений.

а

б

Рис. 1.5. Явление биения

Обычно понятие колебаний связывают с изменяющимися во времени перемещениями. Однако для понимания причин вибраций необходимо также рассматривать изменяющиеся во времени силы. Все определения, принятые для виброграмм перемещений, справедливы и для виброграмм силы, давления, объема и т.д.; можно, например, говорить об амплитуде и частоте колебаний давления (см. рис. 1.4). Изменения силы также могут иметь характер биений. На рис. 1.6 представлена экспериментальная виброграмма вертикальной силы, возникающей

12

при поперечном обтекании жидкостью горизонтально расположенного жесткого цилиндра, совершающего синусоидальные колебания в вертикальном направлении. Колебания имеют характер биений, и, следовательно, сила содержит две составляющие, частоты которых почти равны между собой. Биения возникли из-за того, что частота вертикальных колебаний цилиндра была близкой к частоте переменной силы, действующей на неподвижный цилиндр (тело, погруженное в поток жидкости, может оставлять за собой волновой след).

Рис. 1.6. Виброграмма

По своему характеру колебания подразделяются на свободные, вынужденные, параметрические и автоколебания.

1.2.Свободные колебания

1.2.1.Природа свободных колебаний

Свободные колебания – это затухающие колебания, возникающие от начального возмущения. Вынужденные колебания возникают от внешних переменных возмущающих сил.

Обычный маятник может совершать свободные колебания благодаря тому, что, во-первых, его гиря обладает массой и, во-вторых, при подъеме гири относительно своего низшего положения она накапливает потенциальную энергию [6].

Пусть свободно висящая цепь первоначально находится в состоянии покоя. Свободные колебания можно вызвать, если отклонить цепь каким-либо образом и затем отпустить или если резко ее ударить. При этом необходимо соблюдать правило, согласно которому боковые перемещения любой точки цепи должны быть малыми (в данном случае малыми по сравнению с длиной цепи). Причина такого ограничения здесь неважна,

13

потому что, в конце концов, амплитуды колебаний точек конструкции редко оказываются сравнимыми по величине с размерами самой конструкции (если речь идет, как и в данном случае, о колебаниях, связанных с изменением формы).

Что же происходит с цепью? Точное описание свободных колебаний затруднительно, однако легко видеть, что они обладают следующими свойствами:

1.Развитие движения во времени зависит от того, как оно началось.

2.Движение постепенно затухает.

3.При своем движении цепь не имеет какой-либо определенной формы; с течением времени форма цепи изменяется (однако в конце движения колебания часто характеризуются более или менее отчетливой формой).

4.Совершенно невозможно указать «частоту» колебаний (с течением времени, однако, движение может принять определенную частоту).

Эти колебания кажутся хаотическими, но их рассмотрение можно упорядочить.

Подвесим цепь к кулисному механизму (рис. 1.7). При вращении кривошипа точка подвеса перемещается в горизонтальном направлении по синусоидальному закону. Если при

сивно раскачиваться с частотой, равной частоте возбуждения; форма цепи для этого случая изображена и рис. 1.8, а. Эти колебания не являются свободными, поскольку цепь приводится в движение под действием внешней силы. Если внезапно остановить двигатель, а следовательно, и точку подвеса, то последующие свободные колебания будут совершенно не такими, как при случайно заданных начальных условиях. В рассматриваемом опыте свободные колебания будут затухать, но при этом все время будут сохраняться форма и частота колебаний цепи. Иными словами, характер движения с течением времени остается неизменным.

Рис. 1.8. Формы свободных колебаний цепи

Возникает естественный вопрос: существуют ли другие значения частоты начального возбуждения, для которых имеет место такой характер движения? Нетрудно показать, что существует целый ряд таких частот. При несколько более высокой частоте колебаний механизма можно возбудить весьма интенсивные колебания, во время которых цепь принимает форму, показанную на рис. 1.8, б. При резкой остановке точки подвеса такие колебания постепенно затухают, также сохраняя при этом свою частоту и форму. При еще более высокой частоте можно получить форму цепи, изображенную на рис. 1.8, в. Такого рода колебания можно получать и при дальнейшем увели-

15

чении частоты (рис. 1.8, г), хотя для одной и той же цепи станет все труднее сделать опыт достаточно наглядным.

Таким образом, цепь обладает рядом форм свободных колебаний; их также называют собственными формами. Каждой собственной форме соответствует определенная частота и скорость затухания колебаний.

Такой более упорядоченный способ изучения движения цепи вполне можно согласовать с наблюдениями над свободными колебаниями, возникающими после удара по цепи или после придания ей какого-либо начального отклонения. В этих случаях более сложное движение является просто результатом наложения (или, как говорят, суперпозиции) колебаний с различными формами, имеющими свои частоты и скорости затухания. Относительная доля каждой формы колебаний в общем движении определяется начальными условиями, при которых возникли свободные колебания.

Собственные частоты системы (вообще любой системы, не обязательно висящей цепи), ее собственные формы и скорости затухания являются, можно сказать, характеристиками системы, поскольку они не связаны с какими бы то ни было внешними воздействиями. Ввиду важной роли, которую играют эти характеристики, рассмотрим каждую из них в отдельности.

1.2.2. Частоты свободных колебаний

Подвесим груз на резиновом шнуре, оттянем его вниз и отпустим. Груз будет совершать возвратно-поступательное движение в вертикальном направлении, причем движение практически имеет одну форму. Последнее обстоятельство объясняется тем, что колебания по другим формам, связанные с искажениями формы резинового шнура, имеют высокие частоты и быстро затухают. Система имеет, таким образом, одну ярко выраженную форму собственных колебаний, и поэтому она особенно удобна для эксперимента.

16

Прежде всего, можно заметить, что частота вертикальных колебаний не зависит от амплитуды. Это обстоятельство не является новым: уже наблюдалось, что при свободных колебаниях цепи, соответствующих одной из собственных форм (а следовательно, при уменьшении амплитуды) частота не изменялась. Однако, хотя можно изменить частоту путем варьирования амплитуды, этого изменения можно достичь, если изменить саму систему. Оказывается, что увеличение массы груза, подвешиваемого на шнуре, приводит к снижению частоты колебаний. Наоборот, частоту можно увеличить, повысив жесткость подвески (например, прикрепив дополнительно параллельный шнур).

Эти результаты носят общий характер. Увеличение массы системы приводит к снижению, а увеличение жесткости – к возрастанию всех ее собственных частот; при этом различные частоты изменяются в различной степени. Однако если жесткость системы пропорциональна ее массе (примером может служить математический маятник), то увеличение массы не приводит к изменению собственной частоты. Изменение массы или жесткости представляет собой изменение наиболее важных характеристик системы, поэтому, как и следовало ожидать, собственные частоты (и, разумеется, собственные формы) окажутся другими.

Располагая достаточной информацией относительно распределения масс и жесткостей системы, можно рассчитать собственные частоты этой системы. Для инженера этот вопрос иногда является наиболее важным. В тех случаях, когда конструкции допускают большое разнообразие типов деформаций (примером могут служить авиационные конструкции), такой расчет может оказаться весьма трудоемким.

Не обязательно знать все частоты, интерес представляют лишь те частоты, значения которых лежат в некотором диапазоне; во многих случаях достаточно лишь знать низшие частоты. У машин и конструкций в целом значения наиболее важ-

17

ных частот в большинстве случаев не выше 50 Гц и редко более 500 Гц.

Наконец, еще одно замечание относительно частот свободных колебаний. Такова природа вещей, что у всех конструкций средняя «густота» распределения собственных частот увеличивается с ростом номеров соответствующих форм колебаний. Это утверждение не противоречит отмеченному выше свойству подвешенной цепи, согласно которому распределение

еесобственных частот с ростом номера форм стремится к равномерному. Дело в том, что указанное свойство цепи относится лишь к рассмотренным выше колебаниям в плоскости наименьшей жесткости. Но, кроме того, цепь может закручиваться, изгибаться в плоскости наибольшей жесткости; отдельные

еезвенья также могут деформироваться сложным образом. Все

колебания этих типов связаны с деформациями материала и поэтому имеют высокие собственные частоты; они и располагаются в промежутках между ранее рассмотренными равномерно распределенными частотами колебаний.

1.2.3. Собственные формы колебаний

Как показывает опыт с цепью, частоты свободных колебаний системы тесно связаны с соответствующими собственными формами.

Форма, соответствующая низшей частоте колебаний маятника, очевидна: при таких колебаниях маятник практически остается прямолинейным. Вторая форма более сложна: маятник изгибается по одной полуволне, и его колебания происходят с гораздо более высокой частотой. Существуют и другие формы колебаний с большим числом полуволн и, соответственно, с еще более высокими частотами. На рис. 1.8 изображено несколько первых собственных форм маятника особого вида – однородной висящей цепи; эти формы можно определить из эксперимента с велосипедной цепью.

18

Струна рояля и маятник – это простые системы, и их собственные формы нетрудно рассчитать. Собственные формы колебаний зданий, деталей машин и других объектов техники гораздо сложнее. На рис. 1.9 показано несколько собственных форм колебаний конструкции, соответствующих определенным частотам. На практике собственные частоты и формы колебаний новой конструкции определяют как расчетным путем, так и из экспериментов.

Собственные формы колебаний системы (каждая из которых соответствует одной собственной частоте) обладают интересным свойством. Любая возможная конфигурация системы может быть представлена в виде суперпозиции (наложения) некоторого числа таких конфигураций, каждая из которых соответствует одной собственной форме колебаний. Таким образом, если задать системе некоторую статическую деформацию, а затем освободить систему, то возникнут свободные колебания всех форм; каждое из таких

колебаний будет происходить с соответствующей собственной частотой независимо от остальных движений. Это положение показывает, каким образом сложный характер движения в целом согласуется с простым характером колебаний по отдельным формам.

19

Если система имеет две частоты или большее число близких по величине собственных частот, возникает трудность в правильном определении соответствующих собственных форм. Это связано с тем, что чем ближе значения собственных частот, тем труднее различать формы колебаний. Маятник может совершать свободные колебания в одной плоскости (скажем, в плоскости х), а также в перпендикулярной к ней плоскости у. Вполне правильно считать колебания в каждой из этих двух плоскостей совершающимися по собственным формам. Ясно, однако, что маятник может совершать колебания и в любой другой плоскости, причем такое движение можно представить в виде суперпозиции колебаний в плоскостях х и у. Таким образом, любая комбинация двух собственных форм также является собственной формой.

Выше отмечалось, что одним из условий существования свободных колебаний является накопление телом энергии при выведении его из состояния равновесия. При изменении состояния тела, например при увеличении его температуры, изменится и этот процесс накопления энергии. В результате система будет иметь другие собственные частоты и формы (например, при полетах со сверхзвуковыми скоростями самолеты заметно нагреваются вследствие трения о воздух («кинетический нагрев»), и в результате их собственные формы и частоты колебаний изменяются).

1.3.Параметрические колебания

1.3.1.Раскачивание маятника

На колебательную систему возможно внешнее воздействие, при котором внешняя сила непосредственно не действует на систему, но параметры системы (входящие в коэффициенты уравнения) явно зависят от времени. Внешнее воздействие по определенному закону изменяет параметры системы.

20